射影ユニタリ群

同様の構成は、無限次元ヒルベルト空間に作用する行列にも適用できる。$\displaystyle {\mathcal {H}}}$。

U( H ) を無限次元ヒルベルト空間上のユニタリ作用素の空間とする。f : X → U( H )がコンパクト空間Xからユニタリ群への連続写像である場合、その像の有限次元近似と簡単な K 理論のトリックを用いることができる。

$\displaystyle u\oplus 1_{\ell ^{2}}\sim u\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus \cdots \sim u\oplus u^{-1}\oplus u\oplus u^{-1}\oplus \cdots \sim 1_{\ell ^{2}}\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus \cdots ,\qquad u\in {\rm {U}}(H),}$

実際には一点への自明な写像と同相であることを示す。これは、U( H )が弱可縮であることを意味し、追加の議論により、実際に可縮であることが示される。これは純粋に無限次元の現象であり、行列の行列式によって与えられるU(1)への同相的に非自明な連続写像を許容する包含写像の下で可縮ではない有限次元の同類U( n )とその極限U(∞)とは対照的であることに注意する。

無限次元ユニタリ群の中心${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$は、有限次元の場合と同様に U(1) であり、位相による乗算を介してユニタリ群に作用します。ユニタリ群は零行列を含まないため、この作用は自由です。したがって${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$は U(1) 作用を持つ可縮空間であり、これはEU(1)と識別され、U(1) 軌道の空間はBU(1)と識別され、これは U(1) の分類空間である。

${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$は、上の U(1) 作用の軌道の空間として正確に定義されます。${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$、 したがって${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$これは分類空間BU(1)の実現である。特に、同型性を用いると

$\displaystyle \pi _{n}(X)=\pi _{n+1}(BX)$

空間 X のホモトピー群と、その分類空間 BX のホモトピー群と、円 U(1) のホモトピー型との組み合わせ

${\displaystyle \pi _{k}(\mathrm {U} (1))={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\0&k\neq 1\end{cases}}}$

ホモトピー群を見つける${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle \pi _{k}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=2\\0&k\neq 2\end{cases}}}$

それによって識別される${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$アイレンバーグ＝マクレーン空間の代表として${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)}$。

その結果、${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$無限次元複素射影空間と同じホモトピー型でなければならない。${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)}$これは特に、それらが同型なホモロジー群とコホモロジー群を持つことを意味します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} ^{2n}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))&=\mathrm {H} _{2n}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=\mathbb {Z} \\\mathrm {H} ^{2n+1}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))&=\mathrm {H} _{2n+1}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=0\end{aligned}}}$

一般に、PU( n )にはn次元表現がなく、SO(3)には2次元表現がないのと同様である。

PU( n )はSU( n )に随伴作用を持つため、${\displaystyle (n^{2}-1)}$n次元表現。n = 2 の場合、これは SO(3) の 3 次元表現に対応します。随伴作用は、PU( n )の要素を位相が異なるU( n ) の要素の同値類と考えることで定義されます。これらの U( n ) の代表のいずれに対しても随伴作用を取ることができ、位相はすべてと可換であるため相殺されます。したがって、作用は代表の選択に依存しないため、適切に定義されます。

多くの応用において、PU( n )は線形表現ではなく射影表現で作用します。射影表現とは、作用するベクトルに依存しない位相までの表現です。量子力学では、物理状態は位相までしか定義されないため、このような表現が有用です。例えば、質量を持つフェルミオン状態は射影表現の下では変換しますが、小群PU(2) = SO(3)の表現の下では変換しません。

群の射影表現は、その第2整数コホモロジーによって分類され、この場合、

${\displaystyle \mathrm {H} ^{2}(\mathrm {PU} (n))=\mathbb {Z} /n}$

または

${\displaystyle \mathrm {H} ^{2}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=\mathbb {Z} .}$

有限の場合のコホモロジー群は、束の長完全列とSU( n )が${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$PU( n ) 上の束。無限の場合のコホモロジーは、無限複素射影空間のコホモロジーとの同型性から上で論じられた。

したがって、PU( n )はn個の射影表現を持ち、そのうち最初のものはSU( n )カバーの基本表現であるが、${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$可算無限個存在する。通常通り、群の射影表現は、群の中心拡大の通常の表現である。この場合、各射影ユニタリ群の最初の射影表現に対応する中心拡大群は、PU の定義で U(1) で商を取った元のユニタリ群である。

無限射影ユニタリ群の随伴作用は、ねじれK理論の幾何学的定義において有用である。ここで、無限次元の随伴作用は${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$フレドホルム作用素または無限ユニタリ群のいずれかが使用される。

ねじれHを持つねじれたK理論の幾何学的構成では、${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$は束の繊維であり、異なるねじれH は異なるファイブレーションに対応します。以下に示すように、位相的に${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$アイレンベルク・マクレーン空間を表す${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)}$したがって、分類空間は${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$バンドルはアイレンバーグ・マクレーン空間である${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,3)}$。${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,3)}$また、第3の整数コホモロジー群の分類空間でもあるため、${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$束は第三積分コホモロジーによって分類される。その結果、ねじれK理論の可能なねじれHは、まさに第三積分コホモロジーの要素となる。

純粋なヤン・ミルズSU( n )ゲージ理論（グルーオンのみで基本物質を含まないゲージ理論）では、すべての場はゲージ群SU( n )の随伴で変換される。${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$SU( n )の中心は、中心にあるため、SU( n )値場と可換であり、したがって中心の随伴作用は自明である。したがって、ゲージ対称性はSU( n )をで割った商である。${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$これは PU( n ) であり、上記の随伴作用を用いて場に作用します。

この文脈では、SU( n )とPU( n )の区別は重要な物理的帰結を持つ。SU( n )は単連結であるが、PU( n )の基本群は${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$位数nの巡回群。したがって、随伴スカラーを持つ PU( n ) ゲージ理論は、非自明な余次元 2 の渦を持ち、その渦を一周すると、スカラーの期待値は PU( n ) の非自明なサイクルを巻きます。したがって、これらの渦は、電荷も持ちます。${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$これは、それらが互いに引き合い、nが接触すると消滅することを意味します。このような渦の例としては、SU( n )セイバーグ・ウィッテンゲージ理論のダグラス・シェンカー弦があります。