反転変換

数理物理学において、反転変換はポアンカレ変換の自然な拡張であり、座標時空上のすべての共形な1対1変換を含みます。^{[1] [2]}ポアンカレ対称性の回転や平行移動とは異なり、反転対称性によって物体を物理的に変換できないため、物理学ではあまり研究されていません。一部の物理理論はこの対称性の下で不変であり、このような場合は「隠れた対称性」として知られています。物理学の他の隠れた対称性には、ゲージ対称性や一般共変性などがあります。

1831 年、数学者ルートヴィヒ・イマヌエル・マグヌスは、半径Rの円内で反転によって生成される平面の変換に関する論文を発表し始めました。彼の研究は、現在では反転幾何学と呼ばれる膨大な出版物のきっかけとなりました。最も有名な数学者は、平面変換を複素数演算に還元したアウグスト・フェルディナント・メビウスです。反転変換を初期に採用した物理学者の中にはケルビン卿がおり、彼との関連から、この変換はケルビン変換と呼ばれるようになりました。

以下では、時空がユークリッド的であり方程式が単純になるように虚数時間（ ）を使用する。ポアンカレ変換は、4次元ベクトル Vによってパラメータ化された時空上の座標変換によって与えられる。${\displaystyle t'=it}$

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=O_{\mu }^{\nu }V_{\nu }+P_{\mu }\,}$

ここで、は直交行列、 は4 次元ベクトルです。この変換を4 次元ベクトルに 2 回適用すると、同じ形式の 3 番目の変換が得られます。この変換における基本的な不変量は、4 次元ベクトルxと yによって与えられる 2 つの時空間点間の距離によって与えられる時空間の長さです。 ${\displaystyle O}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle r=|xy|.\,}$

これらの変換は、時空上の一般的な1-1共形変換の部分群である。これらの変換を拡張して、時空上のすべての1-1共形変換を含めることが可能である。

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=\left(A_{\tau }^{\nu }V_{\nu }+B_{\tau }\right)\left(C_{\tau \mu }^{\nu }V_{\nu }+D_{\tau \mu }\right)^{-1}.}$

ポアンカレ変換の直交条件と同等の条件も必要です。

${\displaystyle AA^{T}+BC=DD^{T}+CB\,}$

変換の上端と下端を で割ることができるので、 を単位行列に 設定しても一般性は失われません。${\displaystyle D,}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=\left(O_{\mu }^{\nu }V_{\nu }+P_{\tau }\right)\left(\delta _{\tau \mu }+Q_{\tau \mu }^{\nu }V_{\nu }\right)^{-1}.\,}$

この変換を 4 ベクトルに 2 回適用すると、同じ形式の変換が得られます。 '反転' の新しい対称性は、3 テンソルによって与えられます。この対称性は、 を設定するとポアンカレ対称性になります。 2 番目の条件では、 が直交行列であることが要求されます。 この変換は 1-1 であり、理論的に無限遠点を含める場合にのみ、各点が一意の点にマッピングされることを意味します。 ${\displaystyle Q.}$${\displaystyle Q=0.}$${\displaystyle Q=0}$${\displaystyle O}$

4次元におけるこの対称性の不変量は不明ですが、不変量には少なくとも4つの時空間点が必要であることがわかっています。1次元では、不変量はメビウス変換からのよく知られたクロス比です。

${\displaystyle {\frac {(xX)(yY)}{(xY)(yX)}}.}$

この対称性の下での唯一の不変量は最低 4 点に関係するため、この対称性は点粒子理論の対称性にはなり得ません。点粒子理論は、時空を通過する粒子の経路の長さ (たとえば、から まで) を知っていることを前提としています。この対称性は、弦がその端点によって一意に決定される弦理論の対称性である可能性があります。端点から始まり端点で終わる弦のこの理論の伝播関数は、4 次元不変量の共形関数です。端点弦理論の弦場は、端点上の関数です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,X)}$${\displaystyle (y,Y)}$

${\displaystyle \phi (x,X).\,}$

物理学における隠れた対称性を見つけ、高エネルギー物理学の可能な理論の数を絞り込むためにポアンカレ変換を一般化するのは自然なことですが、この対称性の下では物体を変換することができないため、この対称性を実験的に調べることは困難です。この対称性の間接的な証拠は、この対称性の下で不変である物理学の基本理論がどれだけ正確に予測を行うかによって与えられます。他の間接的な証拠は、この対称性の下で不変である理論が、1より大きい確率を与えるなどの矛盾につながるかどうかです。これまでのところ、宇宙の基本構成要素が弦であるという直接的な証拠はありません。対称性は、物理学の対称性ではあるものの、宇宙が特定の方向に「凍結」しているため、この対称性がもはや明らかではないことを意味する破れた対称 性である可能性もあります。

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