リーマン球面

数学において、ベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられたリーマン球面^{[ 1 ]}は、 拡張複素平面（閉複素平面とも呼ばれる）のモデルである。拡張複素平面とは、複素平面に無限遠点を加えたものである。この拡張平面は拡張複素数、すなわち複素数に値を加えたものを表す。${\displaystyle \infty }$無限大に対して。リーマンモデルでは、点${\displaystyle \infty }$非常に大きな数に近い点${\displaystyle 0}$非常に小さな数値に近い。

拡張複素数は、ある状況下でゼロ除算を可能にするため、複素解析において有用であり、次のような式を${\displaystyle 1/0=\infty }$性質が良い。例えば、複素平面上の任意の有理関数は、リーマン球面上の正則関数に拡張でき、有理関数の極は無限大に写像される。より一般的には、任意の有理型関数は、終域がリーマン球面である正則関数と考えることができる。

幾何学において、リーマン球面はリーマン面の典型的な例であり、最も単純な複素多様体の1つである。射影幾何学において、球面は複素射影空間の一例であり、複素射影線と考えることができる。${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$、すべての複素直線の射影空間$\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$コンパクトなリーマン面と同様に、球面も射影代数曲線とみなすことができ、代数幾何学における基本的な例となっています。また、量子力学のブロッホ球や物理学の他の分野など、解析学と幾何学に依存する他の分野でも有用です。

拡張複素数は複素数から構成される${\displaystyle \mathbb {C} }$と共に${\displaystyle \infty }$拡張複素数の集合は次のように表すことができます。$\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$、そして多くの場合、文字に何らかの装飾を加えることで示される。${\displaystyle \mathbb {C} }$、 のような

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }},\quad {\overline {\mathbb {C} }},\quad {\text{または}}\quad \mathbb {C} _{\infty }.}$

表記法${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$も使用されているが、この表記法は穴あき平面にも使用されている${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$曖昧さを招く可能性がある。^{[ 2 ]}

幾何学的には、拡張複素数の集合はリーマン球面（または拡張複素平面）と呼ばれます。

1次元複素多様体であるリーマン球面は、複素数平面を定義域とする2つのチャートで表すことができる。${\displaystyle \mathbf {C} }$。 させて${\displaystyle \zeta }$1つのコピーで複素数となる${\displaystyle \mathbf {C} }$、そして${\displaystyle \xi }$別のコピーでは複素数である${\displaystyle \mathbf {C} }$ゼロ以外の複素数をそれぞれ特定する${\displaystyle \zeta }$最初の${\displaystyle \mathbf {C} }$非ゼロの複素数${\displaystyle 1/\xi }$2番目の${\displaystyle \mathbf {C} }$.それから地図

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$

これは、2 つのコピー間の遷移マップと呼ばれます。${\displaystyle \mathbf {C} }$いわゆるチャートと呼ばれるものがそれらを繋ぎ合わせます。遷移写像は正則であるため、リーマン球面と呼ばれる複素多様体を定義します。1つの複素次元（つまり2つの実次元）の複素多様体であるため、これはリーマン面とも呼ばれます。

直感的に言えば、遷移マップは、2 つの平面を接着してリーマン球面を形成する方法を示しています。平面は「内側から外側へ」接着されるため、ほぼすべての場所で重なり合い、各平面はもう一方の平面にはない 1 つの点 (その原点) だけを提供します。言い換えれば、リーマン球面の (ほぼ) すべての点には、${\displaystyle \zeta }$価値と${\displaystyle \xi }$値であり、2 つの値は次のように関連付けられています。${\displaystyle \zeta =1/\xi }$. その時点で${\displaystyle \xi =0}$そうすれば${\displaystyle \zeta }$-価値 "${\displaystyle 1/0}$「; この意味で、${\displaystyle \xi }$-チャートは${\displaystyle \infty }$で${\displaystyle \zeta }$-チャート。対称的に、${\displaystyle \zeta }$-チャートは${\displaystyle \infty }$で${\displaystyle \xi }$-チャート。

位相的に、結果として得られる空間は、平面を球面へ一点コンパクト化したものである。しかし、リーマン球面は単なる位相的な球面ではない。それは明確に定義された複素構造を持つ球面であり、球面上のすべての点の周りには、双正則的に同一視できる近傍が存在する。${\displaystyle \mathbf {C} }$。

一方、リーマン面の分類における中心的な結果である一様化定理は、すべての単連結リーマン面が複素平面、双曲平面、またはリーマン球面と双正則であることを述べている。これらのうち、リーマン球面だけが閉曲面（境界のないコンパクトな曲面）である。したがって、2次元球面は一意の複素構造を持ち、1次元複素多様体となる。

リーマン球面は複素射影直線としても定義できる。複素射影直線上の点は、複素ベクトル空間における零ベクトルでないベクトルの同値類として定義できる。${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$：2つの非ヌルベクトル${\displaystyle (w,z)}$そして${\displaystyle (u,v)}$同等であるのは、${\displaystyle (w,z)=(\lambda u,\lambda v)}$ 非ゼロ係数の場合${\displaystyle \lambda \in \mathbf {C} }$。

この場合、同値類は次のように記述されます。${\displaystyle [w,z]}$射影座標を使用する。任意の点が与えられた場合${\displaystyle [w,z]}$複素射影線では、${\displaystyle w}$そして${\displaystyle z}$ゼロ以外でなければならない、例えば${\displaystyle w\neq 0}$そして等価性の概念により、${\displaystyle [w,z]=\left[1,z/w\right]}$これはリーマン球面多様体の図表にある。^{[ 3 ]}

このリーマン球面の扱いは、射影幾何学と最も容易に結びつきます。例えば、複素射影平面上の任意の直線（または滑らかな円錐曲線）は、複素射影直線と双正則です。また、この方法は、本稿後半で扱う球面の自己同型写像​​の研究にも便利です。

リーマン球面は単位球面として視覚化できる。${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$三次元実空間において${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$この目的のために、単位球面から点を除いた立体投影を考えます。${\displaystyle (0,0,1)}$飛行機に${\displaystyle z=0,}$これは複素平面と同一視される。${\displaystyle \zeta =x+iy}$デカルト座標系において${\displaystyle (x,y,z)}$および球面座標${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$球面上（${\displaystyle \theta }$天頂角と${\displaystyle \varphi }$方位角）、投影は

${\displaystyle \zeta ={\frac {x+iy}{1-z}}={\cot }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}\,e^{i\varphi }.}$

同様に、立体投影から${\displaystyle (0,0,-1)}$飛行機に${\displaystyle z=0,}$複素平面の別のコピーと識別される${\displaystyle \xi =x-iy,}$書かれている

${\displaystyle \xi ={\frac {x-iy}{1+z}}={\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}\,e^{-i\varphi }.}$

これら2つの立体投影の逆写像は、複素平面から球面への写像である。最初の逆写像は、点を除く球面を覆う。${\displaystyle (0,0,1)}$2番目は、点を除く球面を覆う。${\displaystyle (0,0,-1)}$これらのマップの領域である2つの複素平面は、平面と異なる方法で識別されます。${\displaystyle z=0}$なぜなら、球面上で一貫した向きを維持するためには、向きの反転が必要だからです。

遷移マップ間の${\displaystyle \zeta }$-座標と${\displaystyle \xi }$-座標は、一方の投影と他方の投影の逆を合成することによって得られます。それらは次のようになります。${\displaystyle \zeta =1/\xi }$そして${\displaystyle \xi =1/\zeta }$上述の通りである。したがって、単位球面はリーマン球面と微分同相である。

この微分同相写像の下では、${\displaystyle \zeta }$-チャート、単位円${\displaystyle \xi }$図表と単位球の赤道はすべて特定されている。単位円盤${\displaystyle |\zeta |<1}$南半球と関連付けられている${\displaystyle z<0}$ユニットディスク${\displaystyle |\xi |<1}$北半球と関連付けられている${\displaystyle z>0}$。

リーマン面には、特定のリーマン計量は備わっていません。しかし、リーマン面の共形構造は、計量のクラスを決定します。それは、従属共形構造が与えられたものと同じである計量すべてです。より詳しく説明すると、リーマン面の複素構造は、共形同値を除いて計量を一意に決定します。（2つの計量は、正の滑らかな関数を乗じることで異なる場合、共形同値であると言われます。）逆に、向き付けられた曲面上の任意の計量は、共形同値を除いて計量のみに依存する複素構造を一意に決定します。したがって、向き付けられた曲面上の複素構造は、その曲面上の共形計量のクラスと1対1に対応します。

与えられた共形クラス内では、共形対称性を利用して、便利な性質を持つ代表的な計量を見つけることができる。特に、任意の共形クラスには、常に一定曲率を持つ完全計量が存在する。

リーマン球面の場合、ガウス・ボンネの定理は一定曲率計量が ${\displaystyle \gamma }$正の曲率を持つ必要がある${\displaystyle K}$したがって、計量は半径の球と等長でなければならない。${\displaystyle 1/{\sqrt {K}}}$で${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$立体投影法によって。${\displaystyle \zeta }$-リーマン球面上のチャート、計量${\displaystyle K=1}$は

${\displaystyle ds^{2}=2\gamma _{\zeta {\overline {\zeta }}}\,d\zeta \,d{\overline {\zeta }}={\frac {4}{\left(1+\zeta {\overline {\zeta }}\right)^{2}}}\,d\zeta \,d{\overline {\zeta }}=\left({\frac {2}{1+|\zeta |^{2}}}\right)^{2}\,|d\zeta |^{2}.}$

実際の座標系で${\displaystyle \zeta =u+iv}$式は

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{\left(1+u^{2}+v^{2}\right)^{2}}}\left(du^{2}+dv^{2}\right).}$

定数係数を除いて、この計量は複素射影空間（リーマン球面はその一例）上の標準的なフビニ・スタディ計量と一致する。そのレヴィ・チヴィタ接続の2つの非零クリストッフェル記号は ${\displaystyle \Gamma _{\zeta \zeta }^{\zeta }=-2{\overline {\zeta }}/(1+|\zeta |^{2})}$そしてその共役。したがってこの計量はそれ自身のリッチ曲率 に等しい。 ${\displaystyle \gamma =\mathrm {Ric} }$。

スケーリングを除いて、これは球面上で唯一、向きを保存する等長変換のグループが3次元である（そして3次元を超えるものはない）計量であり、そのグループは${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$この意味で、これは球面上で最も対称的な計量である。（すべての等長変換の群は、${\displaystyle {\mbox{O}}(3)}$も3次元ですが、${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$（接続された空間ではありません。）

逆に、${\displaystyle S}$球面を（抽象的な滑らかな多様体または位相多様体として）表す。一様化定理により、上に一意の複素構造が存在する。${\displaystyle S}$共形同値まで。したがって、上の任意の計量は${\displaystyle S}$は、円形計量と共形的に等価です。このような計量はすべて同じ共形幾何学を決定します。したがって、「円形性」は共形幾何学の不変量ではないため、円形計量はリーマン球に固有のものではありません。リーマン球は共形多様体であって、リーマン多様体ではありません。しかし、リーマン球上でリーマン幾何学を行う必要がある場合、円形計量は自然な選択です（任意の固定半径で、ただし半径は${\displaystyle 1}$は最も単純で一般的な選択肢です。これは、リーマン球面上の円形計量のみがその等長群が3次元群となるためです。（具体的には、${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$連続（「リー」）群であり、位相的には3次元射影空間である。${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$）

あらゆる数学的対象の研究は、その対象の自己同型群、すなわち対象から対象自身への写像であって、対象の本質的な構造を保存する写像を理解することによって助けられる。リーマン球面の場合、自己同型とは、リーマン球面から自身への可逆な等角写像（すなわち双正則写像）である。このような写像はメビウス変換のみであることが分かっている。これらは次の形式の関数である。

${\displaystyle f(\zeta )={\frac {a\zeta +b}{c\zeta +d}},}$

どこ${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$、 そして${\displaystyle d}$は複素数で、${\displaystyle ad-bc\neq 0}$メビウス変換の例としては、拡大縮小、回転、平行移動、複素反転などがあります。実際、あらゆるメビウス変換はこれらの組み合わせとして表すことができます。

メビウス変換は複素射影直線上のホモグラフィである。射影座標では、変換fは次のように書ける。

${\displaystyle [\zeta ,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [a\zeta +b,\ c\zeta +d]\ =\ {\begin{pmatrix}{\tfrac {a\zeta +b}{c\zeta +d}}&1\end{pmatrix}}\ =\ [f(\zeta ),\ 1].}$

したがって、メビウス変換は、非零の行列式を持つ2×2の複素行列として記述できます。射影座標に作用するため、2つの行列が同じメビウス変換を与えるのは、それらが非零の因子だけ異なる場合のみです。メビウス変換の群は射影線形群です。${\displaystyle {\mbox{PGL}}(2,\mathbf {C} )}$。

リーマン球面にフビニ・スタディ計量を与えると、すべてのメビウス変換が等長変換になるわけではない。例えば、拡大縮小や平行移動は等長変換ではない。等長変換は、次の真部分群を形成する。${\displaystyle {\mbox{PGL}}(2,\mathbf {C} )}$すなわち${\displaystyle {\mbox{PSU}}(2)}$この部分群は回転群と同型である。${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$これは、単位球の対称群である。${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$（これらを球面内に限定すると、球面の等長変換となる。）

複素解析では、複素平面上（あるいは任意のリーマン面上）の有理型関数は、${\displaystyle f/g}$2つの正則関数${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$複素数への写像として、それは定義されていない。${\displaystyle g}$はゼロである。しかし、それは正則写像を誘導する。${\displaystyle (f,g)}$複素射影線は、${\displaystyle g=0}$この構成は、正則関数や有理型関数の研究に役立ちます。例えば、コンパクトなリーマン面上には、複素数への非定数正則写像は存在しませんが、複素射影直線への正則写像は豊富に存在します。

リーマン球面は、拡張複素平面の連結した開部分集合間の一般化された円、メビウス変換、等角写像を容易に視覚化できる構成物としてしばしば引用される。

リーマン球は物理学において多くの用途がある。量子力学では、複素射影直線上の点は、光子の偏光状態、質量を持つ粒子のスピン状態の自然な値となる。${\displaystyle 1/2}$、および一般に 2 状態粒子 (量子ビットおよびブロッホ球も参照)。リーマン球は、天球の相対論的モデルとして提案されている。^{[ 4 ]}弦理論では、弦の世界面はリーマン面であり、最も単純なリーマン面であるリーマン球は重要な役割を果たしている。ツイスター理論でも重要である。

• 等角幾何学― 幾何学的空間の角度保存変換の研究 
• 交差比– 射影幾何学において不変 
• Dessin d'enfant – リーマン面を研究するために使用されるグラフ描画 
• ホップ束– 2球面上の3球面のファイバー束（ファイバーは1球面）リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• メビウス平面
• 並列（演算子）§ 特性
• 射影的に拡張された実数直線– 無限遠点が追加された実数 
• スミスチャート– 電気工学で使用されるグラフ計算機 
• ホイール理論– 除算が常に定義されている代数学 

• Brown, James & Churchill, Ruel (1989).複素変数とその応用. ニューヨーク: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010905-2。
• ゴールドマン、ウィリアム・マーク（1999）。複素双曲幾何学。オックスフォード ：ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-853793-X。
• グリフィス、フィリップ＆ハリス、ジョセフ（1978）。代数幾何学の原理。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-32792-1。
• ペンローズ、ロジャー（2007）。『現実への道』ロンドン：ナショナルジオグラフィックブックス。ISBN 978-0-679-77631-4。
• リーマン、ベルンハルト (1857)。"Theorie der Abel'schen Functionen" [アーベル関数の理論]。Journal für die reine und angewandte Mathematik (ドイツ語)。54：115～ 155
• ルーディン、ウォルター（1987）。実解析と複素解析。ニューヨーク：マグロウヒル。ISBN 0-07-100276-6。

• 「リーマン球」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• メビウス変換の解明、ダグラス・N・アーノルドとジョナサン・ログネス著（ミネソタ大学の2人の教授が、球面からの立体投影を用いてメビウス変換を解説・図示するビデオ）