レフシェッツの不動点定理

数学において、レフシェッツの不動点定理^{[ 1 ]}は、コンパクトな位相空間からの連続写像の不動点の数を数える公式である。${\displaystyle X}$相同群上の誘導写像の痕跡によってそれ自身に${\displaystyle X}$これは、 1926年に初めて提唱したソロモン・レフシェッツにちなんで名付けられた。

計数には、固定点インデックスと呼ばれる固定点における推定重複度が適用される。この定理の弱いバージョンでも、固定点を持たない写像は（円の回転のように）かなり特殊な位相的性質を持つことを示すのに十分である。

定理の正式な記述として、

${\displaystyle f\colon X\rightarrow X\,}$

コンパクトな三角形分割可能な空間からの連続マップである${\displaystyle X}$自身に対して。レフシェッツ数を定義する^{[ 2 ]}$\displaystyle \Lambda _{f}}$の${\displaystyle f}$による

${\displaystyle \Lambda _{f}:=\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}\mathrm {tr} (H_{k}(f,\mathbb {Q} )),}$

によって誘導される線形マップの行列トレースの交代（有限）和${\displaystyle f}$の上${\displaystyle H_{k}(X,\mathbb {Q} )}$特異相同群${\displaystyle X}$有理係数を持つ。

レフシェッツの不動点定理の簡単なバージョンは次のとおりである。

${\displaystyle \Lambda _{f}\neq 0\,}$

それから${\displaystyle f}$少なくとも１つの固定点が存在する、すなわち、少なくとも１つの固定点が存在する${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle f(x)=x}$実際、レフシェッツ数はホモロジーレベルで定義されているため、この結論は、にホモトピックな任意の写像は、と拡張できる。${\displaystyle f}$固定点も存在する。

ただし、一般的にはその逆は当てはまらないことに注意してください。$\displaystyle \Lambda _{f}}$ゼロになる可能性もある${\displaystyle f}$奇数次元球面上の恒等写像の場合と同様に、固定点を持つ。

同様の結論は、任意のコンパクトなANR、特に任意のコンパクトな位相多様体についても得られる。この拡張の基本的な要素は、コンパクトなANRが有限単体複体とホモトピー同値であるということである。

まず、単体近似定理を適用することにより、次のことが示される。${\displaystyle f}$固定点がないため、（おそらく細分化後）${\displaystyle X}$）${\displaystyle f}$は固定点のない単体写像とホモトピックである（つまり、各単体を異なる単体に写す）。これは、単体鎖複体上に誘導される線形写像の行列の対角値が${\displaystyle X}$すべてゼロでなければならない。一般に、レフシェッツ数は、前述の線形写像の行列トレースの交代和を用いて計算することもできることに注意する（これは、オイラー特性がホモロジー群で定義されるのとほぼ同じ理由による。オイラー特性との関係については後述を参照）。固定点のない単体写像の特殊な場合、対角値はすべてゼロであり、したがってトレースもすべてゼロである。

この定理のより強い形式は、レフシェッツ・ホップの定理としても知られており、もし${\displaystyle f}$有限個の固定点しか持たない場合、

${\displaystyle \sum _{x\in \mathrm {Fix} (f)}\mathrm {ind} (f,x)=\Lambda _{f},}$

どこ${\displaystyle \mathrm {修正} (f)}$は固定点の集合である${\displaystyle f}$、 そして${\displaystyle \mathrm {ind} (f,x)}$は不動点のインデックスを表します${\displaystyle x}$^{[ 3 ]}この定理から、ベクトル場に対するポアンカレ・ホップの定理を次のように導出できる。コンパクト多様体上の任意のベクトル場は流れを誘導する。${\displaystyle \varphi (x,t)}$自然な方法で、そしてあらゆる${\displaystyle t}$地図${\displaystyle \varphi (x,t)}$は恒等関数と同相であり（したがって同じレフシェッツ数を持つ）、さらに、十分に小さい場合、${\displaystyle t}$流れの固定点とベクトル場の零点は、同じインデックスを持つ。

有限CW複体上の恒等写像のレフシェッツ数^{[ 2 ]}は、各${\displaystyle f_{\ast }}$これは単位行列とみなすことができ、したがって各トレース項は適切なホモロジー群の次元に等しくなります。したがって、恒等写像のレフシェッツ数は空間のベッチ数の交代和に等しく、これはオイラー標数に等しくなります。${\displaystyle \chi (X)}$したがって、

${\displaystyle \Lambda _{\mathrm {id} }=\chi (X).\ }$

レフシェッツの不動点定理は、ブロウワーの不動点定理^{[ 4 ]}を一般化したもので、すべての連続写像は${\displaystyle n}$次元閉円盤${\displaystyle D^{n}}$に${\displaystyle D^{n}}$少なくとも1つの固定点を持つ必要があります。

これは以下のように理解できる。${\displaystyle D^{n}}$コンパクトで三角形化可能であり、その相同群はすべて${\displaystyle H_{0}}$はゼロであり、すべての連続マップ${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$恒等写像を誘導する${\displaystyle f_{*}\colon H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )\to H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )}$痕跡が1である。これらすべてを合わせると、$\displaystyle \Lambda _{f}}$任意の連続写像に対してはゼロではない${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$。

^{レフシェッツは[ 1 ]}で不動点定理を発表した。レフシェッツの焦点は地図の不動点ではなく、現在では地図の一致点と呼ばれるものにあった。

2つのマップが与えられた場合${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$向き付け可能な多様体から${\displaystyle X}$向き付け可能な多様体へ${\displaystyle Y}$同じ次元のレフシェッツ一致数は${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$は次のように定義される。

${\displaystyle \Lambda _{f,g}=\sum (-1)^{k}\mathrm {tr} (D_{X}\circ g^{*}\circ D_{Y}^{-1}\circ f_{*}),}$

どこ${\displaystyle f_{*}}$上記のとおりです。${\displaystyle g^{*}}$によって誘導される準同型は${\displaystyle g}$有理係数を持つコホモロジー群において、${\displaystyle D_{X}}$そして${\displaystyle D_{Y}}$ポアンカレ双対性同型写像は${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$、 それぞれ。

レフシェッツは、一致数がゼロでない場合、${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$一致点がある。彼は論文の中で、${\displaystyle X=Y}$そして${\displaystyle g}$恒等写像を用いると、より単純な結果が得られ、これは現在では不動点定理として知られている。

させて${\displaystyle X}$有限体上で定義された多様体である。${\displaystyle k}$と${\displaystyle q}$要素と${\displaystyle {\bar {X}}}$基本変化${\displaystyle X}$代数的閉包へ${\displaystyle k}$フロベニウスの自己準同型${\displaystyle {\bar {X}}}$（多くの場合、幾何学的フロベニウス、または単にフロベニウス）は、 ${\displaystyle F_{q}}$座標を持つ点をマッピングします${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$座標付きで要点まで${\displaystyle x_{1}^{q},\ldots ,x_{n}^{q}}$したがって、${\displaystyle F_{q}}$まさにその点が${\displaystyle X}$座標は${\displaystyle k}$;そのような点の集合は、で表されます。${\displaystyle X(k)}$この文脈では、レフシェッツのトレース公式が成り立ち、次のようになる。

${\displaystyle \#X(k)=\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} (F_{q}^{*}|H_{c}^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).}$

この公式は、コンパクトな台を持つエタールコホモロジー上のフロベニウスのトレースを含みます。${\displaystyle {\bar {X}}}$の分野における価値を持つ${\displaystyle \ell }$-進数、ここで${\displaystyle \ell }$は互いに素である${\displaystyle q}$。

もし${\displaystyle X}$滑らかで等次元である場合、この式はフロベニウスの算術を用いて書き直すことができる。${\displaystyle \Phi _{q}}$これは、の逆として作用します。${\displaystyle F_{q}}$コホモロジーについて：

${\displaystyle \#X(k)=q^{\dim X}\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} ((\Phi _{q}^{-1})^{*}|H^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).}$

この公式は、コンパクト台を持つコホモロジーではなく、通常のコホモロジーを用いている。

レフシェッツのトレース公式は、有限体上の代数スタックにも一般化できる。

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• レフシェッツのゼータ関数
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