射影線型群

数学、特に代数学の群論的分野において、射影線型群（射影一般線型群、PGLとも呼ばれる）は、ベクトル空間Vの一般線型群が関連する射影空間P( V ) に及ぼす誘導作用である。明示的には、射影線型群は商群である。

PGL( V ) = GL( V ) / Z( V )

ここで、GL( V ) はVの一般線型群であり、Z( V ) はVのすべての非ゼロのスカラー変換の部分群です。これらは射影空間に自明に作用し、作用の核を形成するため除算され、表記「Z」はスカラー変換が一般線型群の中心を形成することを反映しています。

射影特殊線型群PSL は、同様に、関連する射影空間に対する 特殊線型群の誘導作用として定義されます。明示的には、

PSL( V ) = SL( V ) / SZ( V )

ここで、SL( V ) はV上の特殊線型群であり、SZ( V ) は単位行列式を持つスカラー変換の部分群です。ここで、SZ は SL の中心であり、 Fのn乗根の群と自然に同一視されます( nはVの次元、Fは基底体)。

PGL と PSL は研究対象の基本群の一部で、いわゆる古典群の一部です。PGL の要素は 射影線型変換、射影変換、ホモグラフィと呼ばれます。Vが体F上のn次元ベクトル空間、つまりV = F ⁿである場合、代替表記PGL( n , F )とPSL( n , F )も使用されます。

PGL( n , F )とPSL( n , F )が同型なのは、 Fのすべての要素がFにn乗根 を持つ場合のみであることに注意してください。例として、PGL(2, C ) = PSL(2, C )ですが、PGL(2, R ) > PSL(2, R )であることに注意してください。^[1]これは、実射影直線が向き付け可能であり、射影特殊線型群が向きを保存する変換のみであることに対応します。

PGLとPSLは環上でも定義することができ、重要な例としてはモジュラー群PSL (2, Z )がある。

名前は射影幾何学に由来しており、同次座標( x ₀  : x ₁  : ... : x _n )に作用する射影群が幾何学の基礎群です。^{[注 1]}言い換えると、VへのGL( V )の自然な作用は、射影空間P ( V ) への PGL( V )の作用につながります。

したがって、射影線型群は、射影直線上に作用するメビウス変換（メビウス群と呼ばれることもある）のケースPGL(2, C )を一般化します。

一般的に「線型（ベクトル空間）構造を保存する可逆関数」として公理的に定義される一般線型群とは異なり、射影線型群は「射影線型構造を保存する可逆関数」として公理的に定義されるのではなく、関連するベクトル空間の一般線型群の商として構成的に定義されることに注意してください。これは表記法に反映されています。PGL ( n , F )はGL( n , F )に関連付けられた群であり、n次元射影空間ではなく、( n − 1)次元射影空間の射影線型群です。

関連する群は共線化群であり、これは公理的に定義されます。共線化は、共線上の点を共線上の点に送る可逆な（またはより一般的には一対一の）写像です。射影空間は、ある公理を満たす接続構造（点の集合P、直線L、およびどの点がどの直線上にあるかを指定する接続関係 I ）によって公理的に定義できます。このようにして定義された射影空間の自己同型は、接続関係を保存する点の集合の自己同型fと直線の集合の自己同型gであり、 ^{[注 2]}まさに空間の共線化です。射影線形変換は共線変換です (ベクトル空間の平面は関連する射影空間の線に対応し、線形変換は平面を平面にマッピングするため、射影線形変換は線を線にマッピングします)。ただし、一般にすべての共線変換が射影線形変換であるわけではありません。PGL は一般に共線変換群の適切な部分群です。

具体的には、n = 2 (射影直線) の場合、すべての点は同一線上にあるため、共線群はまさに射影直線上の点の対称群となり、 F ₂とF ₃ (PGL は完全対称群) を除いて、PGL はこれらの点上の完全対称群の適切な部分群となります。

n ≥ 3の場合、共線群は射影半線型群PΓL です。これは PGL を体の自己同型でねじったものです。正式には、PΓL ≅ PGL ⋊ Gal( K  /  k )で、k はKの素体です。これは射影幾何学の基本定理です。したがって、 K が素体 ( F _pまたはQ ) の場合、PGL = PΓLとなりますが、Kが非自明なガロア自己同型 ( n ≥ 2の場合のF _{p ⁿ}またはCなど) を持つ体の場合、射影線型群は共線群の適切な部分群であり、「射影半線型構造を保存する変換」と考えることができます。これに対応して、商群PΓL / PGL = Gal( K  /  k )は「線型構造の選択」に対応し、恒等式 (基点) は既存の線型構造です。

射影線型変換の自然な概念が存在しない、公理的に定義された射影空間に対して共線群を定義することもできる。しかし、非デザルグ平面を除いて、すべての射影空間は分割環上の線型空間の射影化であるが、上で述べたように、線型構造には複数の選択肢があり、具体的にはGal( K  /  k )上のトルサー( n ≥ 3の場合) である。

射影線型群の要素は、軸の 1 つに沿って「平面を傾ける」ことと、元の平面に射影することとして理解でき、次元もnです。

射影変換を理解するためのより馴染みのある幾何学的な方法は、射影回転（ PSO( n + 1)の要素）を介することです。これは、単位超球の回転の立体射影に対応し、次元⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle {1+2+\cdots +n={\binom {n+1}{2}}}}$を持ちます。視覚的には、これは原点に立って（またはカメラを原点に置いて）、視野角を回転させ、平面に投影することに相当します。超平面に垂直な軸の回転は超平面を保存し、超平面の回転（SO( n ) の要素で、次元⁠ ⁠ .）を生み出します。一方、超平面に平行な軸の回転は適切な射影マップであり、残りの${\displaystyle \textstyle {1+2+\cdots +(n-1)={\binom {n}{2}}}}$n次元を説明します。

• PGL は共線上の点を共線上の点に送信します (射影直線は保存されます) が、完全な共線群ではなく、代わりに PΓL ( n > 2の場合) またはn = 2の場合の完全な対称群(射影直線) になります。
• 射影空間のすべての（双正則）代数的自己同型は射影線型である。双有理的自己同型はより大きな群、クレモナ群を形成する。
• PGL は射影空間に忠実に作用します。つまり、非単位元は非自明に作用します。
  具体的には、射影空間に対する GL の作用の核は、まさに PGL で商化されたスカラー マップです。
• PGL は射影空間に対して2 推移的に作用します。
  これは、射影空間内の 2 つの異なる点が、単一の線形空間上になく、したがって線形独立である 2 つのベクトルに対応し、GL が線形独立ベクトルのk要素セットに対して推移的に作用するからです。
• PGL(2, K ) は射影直線上で鋭く 3 推移的に作用する。
  任意の 3 点は慣例的に [0, 1]、[1, 1]、[1, 0] に写像されるが、別の表記法では 0, 1, ∞ となる。分数線形変換表記法では、関数⁠x − a/x − c⁠ ⋅ ⁠b − c/b − a⁠ はa ↦ 0、 b ↦ 1、 c ↦ ∞を写像し、そのような写像は 1 つしかありません。これがクロス比 ( x、b ; a、c )です。詳細についてはクロス比 § 変換的アプローチを参照してください。
• n ≥ 3の場合、PGL( n , K )は3 推移的に動作しません。これは、3 つの共線上の点を任意の集合ではなく、他の 3 つの共線上の点に送る必要があるためです。n = 2の場合、空間は射影直線であるため、すべての点は共線上であり、これは制限ではありません。
• PGL(2, K )は射影直線上で 4-推移的に作用しません ( PGL(2, 3)は例外で、P ¹ (3)には3 + 1 = 4点があり、3-推移的であれば 4-推移的であることを意味します)。保存される不変量は複比であり、これによって 1 つおきの点がどこに送られるかが決まります。つまり、3 つの点がどこにマップされるかを指定することでマップが決まります。したがって、特にこれは射影直線の完全な共線群ではありません ( F ₂とF ₃を除く)。
• PSL(2, q )とPGL(2, q )（q > 2、 PSLではqが奇数）は、ザッセンハウス群の4つのファミリーのうちの2つです。
• PGL( n , K ) は、次元n ² − 1の代数群であり、射影空間P ^{n 2 −1}の開部分群です。定義されているように、関手PSL( n , K )は代数群、さらには fppf 層さえも定義せず、fppf 位相におけるその層化は実際にはPGL( n , K )です。
• PSL と PGL は中心を持たない。これは対角行列が中心であるだけでなく、超中心でもあるためである（群をその中心で割った商は必ずしも中心を持たないわけではない）。^{[注 3]}

メビウス変換と同様に、群PGL(2, K )はKに係数を持つ分数線型変換として解釈できます。 K上の射影直線上の点はK ²のペアに対応し、2 つのペアは比例している場合は同等です。2 番目の座標がゼロでない場合、点は[ z , 1]で表すことができます。 ad − bc ≠ 0の場合、 PGL(2, K )の作用は線型変換です。

${\displaystyle [z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [az+b,\ cz+d]\ =\ \left[{\frac {az+b}{cz+d}},\ 1\right].}$

このように、連続する変換はそのような行列による右乗算として記述することができ、行列乗算はPGL(2, K )の群積に使用できます。

有限体F _qに対する射影特殊線型群PSL( n , F _q )は、しばしばPSL( n , q )またはL _n ( q )と表記される。nが 2 以上のときは常に有限単純群であるが、次の 2 つの例外がある^[2]。L 2 (2) は 3 文字の対称群S ₃に同型で、解ける。L _{2 (3) は 4 文字の}交代群A 4_に同型で、解ける。これらの例外的な同型は、射影直線への作用から生じると理解できる。

したがって、特殊線型群SL( n , q )は準単純、すなわち単純群の完全な中心拡大である ( n = 2かつq = 2または3 でない限り)。

任意の素数 p に対する群PSL(2, p )は、1830 年代にエヴァリスト・ガロアによって構築され、交代群に続く有限単純群の 2 番目の族でした。^[3]ガロアはこれを分数線型変換として構築し、pが 2 または 3 の場合を除いて単純であることを観察しました。これは、シュヴァリエへの最後の手紙に記載されています。^[4]同じ手紙と添付の原稿で、ガロアは、一般次数p ^νのガロア群を研究する際に、素体上の一般線型群GL( ν , p )も構築しました。

任意の素数べきqに対する群PSL( n , q ) (一般のn 、一般の有限体) は、1870 年の古典的なテキスト、カミーユ・ジョルダン「代数代数と方程式の研究」で構築されました。

PGL( n , q )の順序は

( q ⁿ − 1)( q ⁿ − q )( q ⁿ − q ² ) ⋅⋅⋅ ( q ⁿ − q ^{n −1} )/( q − 1) = q ^{n 2 −1} − O( q ^{n 2 −3} )、

これはGL( n , q )の位数に相当し、射影化のためにq − 1で割った値です。このような公式についてはq類似体を参照してください。次数がn ² − 1であることに注意します。これは代数群としての次元と一致します。"O" は大きな O 表記法で、「より低い位数を含む項」を意味します。これはSL( n , q )の位数にも等しく、 q − 1で割るのは行列式のためです。

PSL( n , q )の位数は、上記のPGL( n , q )の位数をgcd( n , q − 1)で割ったものである。これは、行列式が 1 であるスカラー行列の数| SZ( n , q ) | 、 n乗根を持たない要素のクラスの数| F ^×  / ( F ^× ) ⁿ | に等しく、また、 F _qのn乗根の数でもある。^{[注 4]}

同型性に加えて

L ₂ (2) ≅ S ₃、 L ₂ (3) ≅ A ₄、 PGL(2, 3) ≅ S ₄、

射影特殊線型群と交代群の間には、他の例外的な同型関係が存在する（5文字以上の交代群は単純であるため、これらの群はすべて単純である）。

L ₂ (4) ≅ A ₅

L ₂ (5) ≅ A ₅ (証明については§ p点への作用を参照)

L ₂ (9) ≅ A ₆

L ₄ (2) ≅ A ₈ ^[5]

同型L ₂ (9) ≅ A ₆は、体の自己同型と行列演算の観点からA _6の異種外部自己同型を見ることを可能にする。同型L ₄ (2) ≅ A ₈は、マシュー群M ₂₄の構造において興味深い。

付随拡張SL( n , q ) → PSL( n , q )は、普遍完全中心拡張の一意性により、A ₄、 A _{5に対して}交代群（普遍完全中心拡張）の被覆群である。 L ₂ (9) ≅ A ₆に対して、付随拡張は完全中心拡張であるが、普遍的ではない。3重被覆群が存在する。

F ₅以上の群には、いくつかの例外的な同型性があります。

PSL(2, 5) ≅ A ₅ ≅ I、5つの要素の交代群、または同等の二十面体群。

PGL(2, 5) ≅ S ₅、 5つの要素上の対称群。

SL(2, 5) ≅ 2 ⋅ A ₅ ≅ 2 I交代群 A ₅の二重被覆、または同等の二元二十面体群。

これらは、以下で説明するように、エキゾチックマップS ₅ → S ₆の構築にも使用できます。ただし、 GL(2, 5) はS ₅の二重カバーではなく、むしろ 4 重カバーであること に注意してください。

さらに同型性は次のようになります。

L ₂ (7) ≅ L ₃ (2)は位数168の単純群であり、2番目に小さい非可換単純群であり、交代群ではない。PSL (2, 7)を参照。

射影特殊線型群を含む上記の例外同型は、有限単純群の族間の例外同型はほとんどすべてである。他の唯一の例外同型は、射影特殊ユニタリ群と射影シンプレクティック群の間のPSU(4, 2) ≃ PSp(4, 3)である。^[3]

上記の写像のいくつかは、関連する射影直線に対する PSL と PGL の作用として直接見ることができます。PGL ( n , q )は、 ( q ⁿ − 1)/( q − 1)個の点を持つ射影空間P ^{n −1} ( q ) に作用し、これにより、 ( q ⁿ − 1)/( q − 1)個の点上の射影線型群から対称群への写像が生成されます。n = 2の場合、これは( q ² − 1)/( q − 1) = q + 1個の点を持つ射影直線P ¹ ( q )であるため、写像PGL(2, q ) → S _{q +1}が存在します。

これらのマップを理解するには、次の事実を思い出すと役立ちます。

• PGL(2, q )の順序は

  ( q ² − 1)( q ² − q )/( q − 1) = q ³ − q = ( q − 1) q ( q + 1);

PSL(2, q )の位数はこれに等しい（特性が2の場合）、またはこれに半分になる（特性が2でない場合）。

• 射影線型群の射影直線への作用は鋭く 3 推移的 (忠実かつ 3推移的) なので、写像は 1 対 1 であり、3 推移的部分群のイメージを持ちます。

したがって、この画像は順序がわかっている 3 推移的部分群であり、識別することができます。これにより、次のマップが生成されます。

• PSL(2, 2) = PGL(2, 2) → S ₃、位数6であり、同型である。
  • 逆写像（S ₃の射影表現）は非調和群によって実現でき、より一般的にはすべての体に対して埋め込みS ₃ → PGL(2, q )を生成します。
• PSL(2, 3) < PGL(2, 3) → S ₄、位数12および24、後者は同型であり、PSL(2, 3)は交代群である。
  • 非調和群は逆方向の部分写像を与え、点−1の安定点としてS ₃ → PGL(2, 3)を写像する。
• PSL(2, 4) = PGL(2, 4) → S ₅、位数60で、交代群A ₅を生成する。
• PSL(2, 5) < PGL(2, 5) → S _{6 、位数60と120で、 S 5} (それぞれ、A ₅ )の埋め込みをS ₆ (それぞれ、A ₆ )の推移的部分群として生成する。これは、エキゾチックな写像S ₅ → S ₆の一例であり、 S ₆の例外的な外部自己同型を構成するために使用できる。^[6]同型写像PGL(2, 5) ≅ S ₅はこの表現からは明らかではないことに注意。PGL (2, 5)が作用する5つの元の特に自然な集合は存在しない。

PSL( n , q )は自然に( q ⁿ − 1)/( q − 1) = 1 + q + ... + q ^{n −1}個の点に作用しますが、より少ない点への非自明な作用はまれです。実際、PSL(2, p )がp個の点に非自明に作用するのは、 p = 2 、 3 、 5 、 7 、または 11の場合のみです。2 と 3 の場合、群は単純ではありませんが、5、7、および 11 の場合、群は単純です。さらに、p個未満の点には非自明に作用しません。^{[注 5]これは}、エヴァリスト・ガロアが1832 年にシュヴァリエに宛てた最後の手紙で初めて指摘されました。^[7]

これは次のように解析できる。2 と 3 の場合、作用は忠実ではない (非自明な商であり、PSL 群は単純ではない) が、5、7、および 11 の場合、作用は忠実であり (群は単純であり、作用は非自明であるため)、 S _pへの埋め込みを生成する。最後のケースPSL(2, 11) を除くすべての場合、これは例外的な同型に対応し、最も右のグループがp点に対して明らかな作用を持つ。

• 符号写像によりL ₂ (2) ≅ S ₃ S _{2となる。}${\displaystyle \twoheadrightarrow }$
• L ₂ (3) ≅ A ₄ A ₃ ≅ C ₃をクラインの4次元群による商で求める。${\displaystyle \twoheadrightarrow }$
• L ₂ (5) ≅ A ₅。このような同型を構築するには、ガロア被覆a ₅ : X (5) → X (1) = P ¹のガロア群として群L ₂ (5) を考える必要があります。ここで、X ( N ) はレベルNのモジュラー曲線です。この被覆は 12 点で分岐します。モジュラー曲線 X(5) は種数 0 で、複素数体上の球面に同型であり、この 12 点に対するL ₂ (5)の作用は、二十面体の対称群になります。次に、二十面体の対称群の 5 つの関連する四面体への作用を考える必要があります。
• L ₂ (7) ≅ L ₃ (2)はファノ平面（ F ₂上の射影平面）の1 + 2 + 4 = 7点に作用します。これは補完的なファノ平面である2次複平面への作用としても見ることができます。
• L ₂ (11) はより微妙で、以下に詳しく説明します。これは3次の複葉機に作用します。^[8]

さらに、L ₂ (7) とL ₂ (11)はp点に対する2 つの同値でない作用を持つ。これは幾何学的にはp点とpブロックを持つ複平面に対する作用によって実現される。点に対する作用とブロックに対する作用はどちらもp点に対する作用だが、共役ではない（異なる点安定子を持つ）。代わりに、それらは群の外部自己同型によって関連付けられている。^[9]

最近では、これらの最後の3つの例外的な作用はADE分類の例として解釈されています。^{[10]これらの作用は、} A ₄ × Z  / 5 Z、S ₄ × Z  / 7 Z、A ₅ × Z  / 11 Zなどの群の積（集合としてではなく）に対応します。ここで、群A ₄、S ₄、A _5はプラトン立体の等長群であり、マッケイ対応の下でE ₆、E ₇、E ₈に対応します。これら3つの例外的なケースは、それぞれ多面体の幾何学（リーマン面のタイリングと同等）としても実現されています。正20面体（球、種数0）内の5つの四面体の複合体、クラインの4次式（種数3）内の2次複平面（補完ファノ平面）、およびバッキーボール面（種数70）内の3次複平面（ペイリー複平面）です。 ^{[11] [12]}

L ₂ (11)の作用は、代数的には例外的な包含L ₂ (5) L ₂ (11)によるものと見ることができます。L ${\displaystyle \hookrightarrow }$ _{2 (11) には、それぞれ 11 個の元を持つ}L ₂ (5 ) に同型な部分群の共役類が 2 つあります。これらの共役によるL _{2 (11) の作用は 11 点への作用で}あり、さらに、2 つの共役類はL ₂ (11)の外部自己同型によって関連付けられています。(S ₄に同型なL ₂ (7)の部分群についても同じことが当てはまり、これもまた二平面幾何学を持ちます。)

幾何学的には、この作用は、次のように定義される複平面幾何学 によって理解できます。複平面幾何学は、対称的な設計(点の集合と同数の「線」、またはブロック) であり、任意の 2 点の集合は 2 本の線に含まれ、任意の 2 本の線は 2 点で交差します。これは有限射影平面に似ていますが、2 つの点が 1 本の線を決定 (および 2 本の線が 1 つの点を決定) するのではなく、2 本の線 (それぞれ点) を決定します。この場合 ( 11 次Paley 有向グラフから得られるPaley 複平面)、点はアフィン線 (有限体) F ₁₁であり、最初の線は 5 つの非ゼロの二次剰余(正方形の点: 1、3、4、5、9) として定義され、他の線はこれをアフィン変換 (すべての点に定数を追加) したものです。L ₂ (11)は、この幾何学を保存する (直線を直線に送る) S ₁₁の部分群と同型であり、それが作用する 11 個の点の集合 (実際には 2 つ: 点または直線で、外部自己同型に対応する) を与える一方、 L ₂ (5) は、与えられた直線、または与えられた点の双対の安定化子である。

さらに驚くべきことに、位数が660/11 = 60（二十面体群が作用する）の剰余類空間L ₂ (11) / ( Z  / 11 Z )は、自然にバッキーボールの構造を持ち、バッキーボール表面の構築に使用されます。

群PSL(3, 4)は、散在単純群の 1 つであるマシュー群M _{24 を}構成するために使用できます。この文脈では、PSL(3, 4)をM ₂₁と呼びますが、それ自体は厳密にはマシュー群ではありません。4 つの要素を持つ体上の射影平面から始めます。これは、S(2, 5, 21)型のシュタイナー系です。つまり、21 個の点があり、各線 (シュタイナー用語では「ブロック」) には 5 個の点があり、任意の 2 個の点によって線が決定され、その線に対してPSL(3, 4) が作用します。このシュタイナー系を W ₂₁ (「W」はWittの略)と呼び、これをより大きなシュタイナー系 W ₂₄に拡張し、その過程で対称群を拡張します。つまり、射影一般線型群PGL(3, 4)、次に射影半線型群PΓL(3, 4)、最後にマシュー群 M ₂₄に拡張します。

M _{24 には、 M 22}で最大となるPSL(2, 11)とM ₂₄で最大となるPSL(2, 23)のコピーも含まれており、これらを使って M ₂₄を構築することができる。^[13]

PSL 群は、フルヴィッツ群(フルヴィッツ面の自己同型群- 最大可能対称群の代数曲線)として生じます。最も低い種数のフルヴィッツ面であるクラインの四次関数 (種数 3) は、 PSL(2, 7) ( GL(3, 2 )と同型な自己同型群を持ち、一方、2 番目に低い種数のフルヴィッツ面であるマクビース面(種数 7) は、 PSL(2, 8)と同型な自己同型群を持ちます。

実際、多くの単純群はハーヴィッツ群として発生しますが、すべてではありません（モンスター群を含みますが、交代群や散在群のすべてがハーヴィッツ群として発生するわけではありません）。ただし、PSL はそのような最小の群を含むことで有名です。

群PSL(2, Z  /  n Z )は、モジュラー群PSL(2, Z )を研究する際に、すべての要素をnを法として簡約した商として生じます。核は主合同部分群と呼ばれます。

射影一般線型群PGL(2, Z ) (および射影特殊線型群PSL(2, Z [ i ]) ) の注目すべき部分群は、集合{0, 1, ∞} ⊂ P ¹ ( C ) ^{[注 6]の対称性であり、}非調和群として知られ、6 つの交差比の対称性として生じます。この部分群は分数線型変換として表現することも、次のように行列で (一意ではない方法で) 表すこと もできます。

上の行は恒等行列と2つの3サイクルであり、向きを保存してPSL(2, Z )のサブグループを形成しますが、下の行は3つの2サイクルであり、PGL(2, Z )とPSL(2, Z [ i ])には存在しますが、PSL(2, Z )には存在しないため、行列式が -1 で係数が整数の行列として実現されるか、行列式が 1 で係数がガウス整数の行列として実現されることに注意してください。

これは、nを法とする還元の下で{0, 1, ∞} ⊂ P ¹ ( n )の対称性に写像されます。特に、n = 2の場合、この部分群はPGL(2, Z  / 2 Z ) = PSL(2, Z  / 2  Z ) ≅ S 3 に同型写像します [注 7] 。したがって、商写像 PGL(2, Z ) PGL(2, Z / 2 Z )_に対して^分解PGL ( 2 , Z / 2 Z ) PGL ( 2  , Z )を提供します。 ${\displaystyle \hookrightarrow }$${\displaystyle \twoheadrightarrow }$

両方の 3 サイクルの不動点は、「最も対称的な」クロス比、x ² − x + 1の解(単位元 の原始6乗根) です。2 サイクルは、不動点以外の点と同様にこれらを交換し、これら 2 点への群作用によって商マップS ₃ → S ₂を実現します。つまり、恒等写像と 3 サイクル{(), (0 1 ∞), (0 ∞ 1)}で構成される部分群C ₃ < S ₃は、これら 2 点を固定し、他の要素はそれらを交換します。 ${\displaystyle e^{\pm i\pi /3}={\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$

個々の2サイクルの不動点はそれぞれ−1、1/2、2であり、この集合も3サイクルによって保存され、入れ替えられる。これは、共役によるS ₃の2サイクル（のシロー2部分群）への作用に対応し、内部自己同型群S ₃との同型性を実現する。 〜→Inn(S ₃ ) ≅ S ₃です。

幾何学的には、これは三角形D ₃ ≅ S ₃の二面体群と同型である三角錐の回転群として視覚化できます。非調和群を参照してください。

実数と複素数上で、PGL と PSL のトポロジーは、それらを定義するファイバー バンドルから決定できます。

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {Z} &\cong &K^{\times }&\to &\mathrm {GL} &\to &\mathrm {PGL} \\\mathrm {SZ} &\cong &\mu _{n}&\to &\mathrm {SL} &\to &\mathrm {PSL} \end{matrix}}}$

ファイバ化の長い正確な列を介して。

実数と複素数の両方において、 SL はPSL の被覆空間であり、シートの数はKのn乗根の数に等しい。したがって、特にそれらの高次のホモトピー群はすべて一致する。実数では、 SL はn が偶数のときは PSL の 2 重被覆であり、nが奇数のときは 1 重被覆、つまり同型である。

{±1} → SL(2n , R ) → PSL( 2n , R )

SL(2n + 1, R ) は、〜→PSL(2 n + 1, R )

複合体の場合、SL はPSL の n重被覆です。

PGLの場合、実数ではファイバーはR ^× ≅ {±1}なので、ホモトピーまで、GL → PGLは2倍被覆空間であり、すべての高次のホモトピー群は一致します。

複体上の PGL の場合、ファイバーはC ^× ≅ S ¹なので、ホモトピーを除けば、GL → PGLは円束です。円の高次のホモトピー群は消えるので、GL( n , C )とPGL( n , C )のホモトピー群はn ≥ 3で一致します。実際、π _{2 は}リー群で常に消えるので、ホモトピー群はn ≥ 2で一致します。n = 1の場合、 π ₁ (GL( n , C )) = π ₁ ( S ¹ ) = Zとなります。PGL (2, C )の基本群は、位数 2 の有限巡回群です。

実数と複素数上で、射影特殊線型群は、リー代数がPSL( n , F )の被覆であるような連結リー群すべてに対する、特殊線型リー代数の最小（中心なし）リー群実現である。逆に、その普遍被覆群は最大（単連結）元であり、中間実現は被覆群の格子を形成する。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n)\colon }$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n)}$

例えば、SL(2, R )は中心{±1}と基本群Zを持ち、したがって普遍被覆SL(2, R )を持ち、中心のないPSL(2, R )を被覆します。

群Gから射影線型群への群準同型 G → PGL( V ) は、線型表現 (準同型 G → GL( V ) ) との類推により、群 G の射影表現と呼ばれる。これら はIssai Schurによって研究され、彼はGの射影表現がGの中心拡大の線型表現によって分類できることを示した。これは、この問題に対処するために使用される Schur 乗数につながった。

射影線型群は低次元に対しても定義できるが、 主にn ≥ 2について研究される。

n = 0 (または実際にはn < 0 )の場合、 K ⁰の射影空間は空です。これは、0 次元空間の 1 次元部分空間が存在しないためです。したがって、PGL(0, K )は、空集合からそれ自身への唯一の空写像からなる自明な群です。さらに、0 次元空間へのスカラーの作用は自明であるため、写像K ^× → GL(0, K )は、高次元の場合のように包含ではなく、自明です。

n = 1の場合、 K ¹の射影空間は単一の点であり、1次元部分空間が1つ存在する。したがって、PGL(1, K )は、単一集合からそれ自身への唯一の写像からなる自明な群である。さらに、1次元空間の一般線型群はまさにスカラーであるため、写像K ^× 〜→GL(1, K )は同型であり、PGL(1, K ) := GL(1, K ) /  K ^× ≅ {1}が自明であることに対応します。

n = 2の場合、PGL(2, K )は非自明ですが、2 推移性のみである高次元とは異なり、3 推移性であるという点で異常です。

• ＰＳＬ（２、７）
• モジュラー群、PSL(2, Z )
• PSL(2, R )
• メビウス群、PGL(2, C ) = PSL(2, C )

• 射影直交群、PO – PGL の最大コンパクト部分群
• 射影ユニタリ群、PU
• 射影特殊直交群、PSO – PSL の最大コンパクト部分群
• 射影特殊ユニタリ群、PSU

射影線型群は、特に次のような大きな群に含まれます。

• 射影半線型群PΓL は、体の自己同型を許容します。
• クレモナ群、双有理自己同型Cr ( P ⁿ ( k )) 。任意の双正則自己同型は線型なので、PGL は双正則自己同型群と一致する。

• 射影変換
• ユニット