スミスチャート

スミスチャート(スミス チャート、水橋チャート(水橋チャート)、水橋スミス チャート (水橋スミスチャート)、^{[1] [2] [3]}ヴォルパート スミス チャート( Диаграмма Вольперта—Смита ) ^{[4] [ 5]}または水橋・ヴォルパート・スミス図表）は、以下のために設計されたグラフィカル計算機またはノモグラムです。無線周波数(RF) エンジニアリングを専門とする電気および電子エンジニアが、伝送線路や整合回路の問題の解決を支援します。^{[6] [7] [8] [9] [10]}

これは、1937年に水橋東作によって独立に^{[11] [4] [12] [5]提案され、 [13]} 1939年にアミエル・R・ヴォルパート [ru] ( Амиэ́ль Р. Во́льперт ) ^{[14] [4]}とフィリップ・H・スミスによって提案されました。 ^{[15] [16]} スミスは、長方形の図から始めて、1936年までに特別な極座標チャートを開発し、等角写像に精通していた同僚のエノック・B・フェレルとジェームズ・W・マクレーの意見を取り入れて、1937年初頭に最終形式に改訂され、最終的に1939年1月に出版されました。^{[15] [ 9] [17]スミスは当初これを「}伝送線路図」 と呼んでいましたが^{[15] [16] 、他の著者は最初に「}反射図」、「インピーダンスの円図」などの名前を使用していました。「スミスチャート」や「イミタンスチャート」、あるいは「 Z平面チャート」と呼ばれていたが、^[9] MITの放射線研究所の初期の採用者は1940年代に単に「スミスチャート」と呼び始め、 ^{[9] [17]} 1950年までに西洋世界では一般的にその名前が受け入れられた。^{[18] [19]}

スミスチャートは、インピーダンス、アドミタンス、反射係数、散乱パラメータ、雑音指数円、定利得等高線、無条件安定領域など、複数のパラメータを同時に表示するために使用できます。^{[20] [21] : 93–103}スミスチャートは、単位半径領域またはその内部で最も頻繁に使用されます。ただし、残りの領域も数学的には依然として重要であり、たとえば発振器の設計や安定性解析で使用されます。^{[21] : 98–101} マッチング問題に関連する複雑な数学を解くための紙のスミスチャートの使用は、ソフトウェアベースの方法に大きく置き換えられましたが、スミスチャートは、表形式の情報を使用する代わりに、RF^{パラメータ}が1つ以上の周波数でどのように動作するかを示す非常に便利な方法です。したがって、ほとんどのRF回路解析ソフトウェアには、結果を表示するためのスミスチャートオプションが含まれており、最も単純なものを除くすべてのインピーダンス測定機器は、測定結果をスミスチャートディスプレイにプロットできます。^[23]${\displaystyle S_{nn}\,}$

スミス チャートは、2 次元の直交複素平面の数学的変換です。正の実部を持つ複素数は円の内側にマッピングされます。負の実部を持つ複素数は円の外側にマッピングされます。非負の抵抗成分を持つインピーダンスのみを扱う場合、関心は円の内側の領域に集中します。インピーダンス スミス チャートの変換は次のようになります。

${\displaystyle \Gamma ={\frac {Z-Z_{0}}{Z+Z_{0}}}={\frac {z-1}{z+1}},}$

ここで、すなわち、基準インピーダンス で正規化された複素インピーダンスです。インピーダンス スミス チャートは、このように変換されたインピーダンスのアルガン プロットです。非負の抵抗成分を持つインピーダンスは、単位半径の円の内側に表示されます。原点は基準インピーダンス に対応します。 ${\displaystyle z={\frac {Z}{Z_{0}}},}$${\displaystyle Z,}$${\displaystyle Z_{0}}$${\displaystyle Z_{0}}$

スミスチャートは、複素 反射係数平面上に2次元でプロットされ、正規化インピーダンス（最も一般的）、正規化アドミタンス、またはその両方でスケーリングされ、それらを区別するために異なる色が使用されます。これらは、それぞれZ、Y、およびYZスミスチャートと呼ばれることがよくあります。^{[21] ：97}正規化されたスケーリングにより、スミスチャートは、チャートの中心点で表される任意の特性インピーダンスまたはシステムインピーダンスを含む問題に使用できます。最も一般的に使用される正規化インピーダンスは50 オームです。以下で説明するグラフィカルな構成を通じて回答が得られたら、特性インピーダンス（アドミタンス）を乗じて、正規化インピーダンス（または正規化アドミタンス）と対応する正規化されていない値を簡単に変換できます。反射係数は単位のないパラメーターであるため、チャートから直接読み取ることができます。

スミス チャートには、その円周または外周に波長と度数で目盛りが付けられています。波長の目盛りは分散コンポーネントの問題で使用され、ジェネレータまたはソースと負荷の間に接続された伝送ラインに沿って測定された、対象ポイントまでの距離を表します。度数の目盛りは、そのポイントでの電圧反射係数の角度を表します。スミス チャートは、集中要素のマッチングおよび解析の問題にも使用できます。

スミス チャートの使用と、それを使用して得られた結果の解釈には、 RF エンジニアの前提条件であるAC 回路理論と伝送線路理論を十分に理解している必要があります。

インピーダンスとアドミッタンスは周波数によって変化するため、スミス チャートを使用する問題は、一度に1 つの周波数を使用して手動でのみ解決でき、結果は点で表されます。これは、狭帯域アプリケーション (通常、帯域幅の約 5% ～ 10% まで) には十分ですが、より広い帯域幅の場合は、通常、動作周波数帯域全体の複数の周波数でスミス チャート手法を適用する必要があります。周波数が十分に近い場合、結果として得られるスミス チャートの点を直線で接続して軌跡を作成できます。

さまざまな周波数範囲をカバーするスミス チャート上の点の軌跡を使用して、次のものを視覚的に表現できます。

• 周波数範囲全体にわたって負荷がどの程度容量性または誘導性であるか
• さまざまな周波数でのマッチングがどれほど難しいか
• 特定のコンポーネントがどれだけ適合しているか。

スミス チャートの精度は、インピーダンスまたはアドミッタンスの大きな軌跡を含む問題では低下しますが、これらに対応するために個々の領域のスケーリングを拡大することができます。

特性インピーダンスが の伝送線路は、一般的に特性アドミタンスがであると考えられる。 ${\displaystyle Z_{0}\,}$${\displaystyle Y_{0}\,}$

${\displaystyle Y_{0}={\frac {1}{Z_{0}}}\,}$

オームで表されたインピーダンスは、特性インピーダンスで割ることで正規化できるため、小文字のz _Tを使用した正規化インピーダンスは次のように表される。 ${\displaystyle Z_{\text{T}}\,}$

${\displaystyle z_{\text{T}}={\frac {Z_{\text{T}}}{Z_{0}}}\,}$

同様に、正規化されたアドミッタンス

${\displaystyle y_{\text{T}}={\frac {Y_{\text{T}}}{Y_{0}}}\,}$

インピーダンスのSI単位は、大文字のギリシャ文字オメガ(Ω)の記号が付いたオームであり、アドミタンスのSI 単位は、大文字の S の記号が付いたジーメンスです。正規化インピーダンスと正規化アドミタンスは無次元です。実際のインピーダンスとアドミタンスは、スミス チャートで使用する前に正規化する必要があります。結果が得られたら、実際の結果を得るために非正規化することができます。

伝送線路理論を用いると、伝送線路がその特性インピーダンス ( ) と異なるインピーダンス ( ) で終端されている場合、入射波または順方向波 ( ) と反射波または逆方向波 ( )の両方の合波からなる定在波が線路上に形成されます。複素指数表記 を用いると次のようになります。${\displaystyle Z_{\text{T}}\,}$${\displaystyle Z_{0}\,}$${\displaystyle V_{\text{F}}\,}$${\displaystyle V_{\text{R}}\,}$

${\displaystyle V_{\text{F}}=A\exp(j\omega t)\exp(+\gamma \ell )~\,}$そして

${\displaystyle V_{\text{R}}=B\exp(j\omega t)\exp(-\gamma \ell )\,}$

どこ

${\displaystyle \exp(j\omega t)\,}$波の時間的な部分である

${\displaystyle \exp(\pm \gamma \ell )\,}$波の空間部分であり、

${\displaystyle \omega =2\pi f\,}$どこ

${\displaystyle \omega \,}$角周波数はラジアン/秒（rad/s）で表されます。

${\displaystyle f\,}$周波数はヘルツ（Hz）で表されます

${\displaystyle t\,}$秒単位の時間です

${\displaystyle A\,}$定数である${\displaystyle B\,}$

${\displaystyle \ell \,}$負荷から発電機に向かって送電線に沿って測定された距離（メートル）

また

${\displaystyle \gamma =\alpha +j\beta \,}$SI単位ラジアン/メートルの伝播定数です。

どこ

${\displaystyle \alpha \,}$減衰定数（Np/m）は、ネパー/メートルで表されます。

${\displaystyle \beta \,}$位相定数はラジアン/メートル（rad/m）で表されます。

スミスチャートは、一度に1つの周波数（ ）で、一度に1つの瞬間（ ）のみで使用されるため、位相の時間部分（）は固定されています。すべての項は実際にはこれに乗算されて瞬間位相を取得しますが、これを省略することが慣例であり、理解されています。したがって、 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \exp(j\omega t)\,}$

${\displaystyle V_{\text{F}}=A\exp(+\gamma \ell )\,}$そして

${\displaystyle V_{\text{R}}=B\exp(-\gamma \ell )\,}$

ここで、およびはそれぞれ負荷における順方向および逆方向の電圧振幅です。 ${\displaystyle A\,}$${\displaystyle B\,}$

複素電圧反射係数は、反射波と入射波（または前進波）の比として定義されます。したがって、 ${\displaystyle \Gamma \,}$

${\displaystyle \Gamma ={\frac {V_{\text{R}}}{V_{\text{F}}}}={\frac {B\exp(-\gamma \ell )}{A\exp(+\gamma \ell )}}=C\exp(-2\gamma \ell )\,}$

ここでCも定数です。

均一な伝送線路（ は定数）の場合、定在波の複素反射係数は線路上の位置に応じて変化します。線路に損失がある場合（はゼロ以外）、これはスミスチャート上で螺旋状の経路で表されます。ただし、ほとんどのスミスチャートの問題では、損失は無視できると仮定できます（）ので、損失を解く作業は大幅に簡素化されます。したがって、損失がない場合、複素反射係数の式は次のようになります。 ${\displaystyle \gamma \,}$${\displaystyle \alpha \,}$${\displaystyle \alpha =0\,}$

${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{\text{L}}\exp(-2j\beta \ell )\,}$

ここで、は負荷における反射係数、は負荷から反射係数を測定する位置までの線路長です。位相定数は次のようにも表すことができます。 ${\displaystyle \Gamma _{\text{L}}\,}$${\displaystyle \ell \,}$${\displaystyle \beta \,}$

${\displaystyle \beta ={\frac {2\pi }{\lambda }}\,}$

ここで、テスト周波数における 伝送線路内の波長です。${\displaystyle \lambda \,}$

したがって、

${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{\text{L}}\exp \left({\frac {-4j\pi }{\lambda }}\ell \right)\,}$

この式は、定在波の場合、複素反射係数とインピーダンスが伝送線路に沿って半波長ごとに繰り返されることを示しています。複素反射係数は、通常、単に反射係数と呼ばれます。スミス チャートの外周スケールは、ジェネレータから負荷までの距離を波長でスケールしたもので、0 から 0.50 までスケールされます。

とがそれぞれ伝送線路の両端の電圧と終端に流入する電流である場合 、${\displaystyle \,V\,}$${\displaystyle \,I\,}$

${\displaystyle V_{\mathsf {F}}+V_{\mathsf {R}}=V\,}$

そして

${\displaystyle V_{\mathsf {F}}-V_{\mathsf {R}}=Z_{0}\,I\,}$。

これらの式を割り、電圧反射係数を代入すると、

${\displaystyle \Gamma ={\frac {V_{\mathsf {R}}}{\,V_{\mathsf {F}}\,}}\,}$

終端の正規化されたインピーダンスは小文字のz、下付き文字のT で表される。

${\displaystyle z_{\mathsf {T}}={\frac {V}{\,Z_{0}\,I\,}}\,}$

結果は次のようになります:

${\displaystyle z_{\mathsf {T}}={\frac {1+\Gamma }{\,1-\Gamma \,}}\,.}$

あるいは、反射係数の観点から

${\displaystyle \Gamma ={\frac {z_{\mathsf {T}}-1}{\,z_{\mathsf {T}}+1\,}}\,}$

これらは、 Zスミス チャートを作成するために使用される方程式です。数学的に言えば、と はメビウス変換によって関連しています。 ${\displaystyle \,\Gamma \,}$${\displaystyle \,z_{\mathsf {T}}\,}$

とは、どちらも単位のない複素数で表されます。どちらも周波数によって変化するため、特定の測定では、測定が行われた周波数を特性インピーダンスとともに指定する必要があります。 ${\displaystyle \,\Gamma \,}$${\displaystyle \,z_{\mathsf {T}}\,}$

${\displaystyle \,\Gamma \,}$は、極図上で大きさと角度で表すことができます。実際の反射係数は、大きさが1以下でなければならないため、テスト周波数では、これは半径 1 の円内の点で表すことができます。スミス チャートは、実際にはこのような極図上に作成されます。スミス チャートのスケーリングは、反射係数を正規化インピーダンスに変換したり、その逆を行ったりできるように設計されています。スミス チャートを使用すると、スミス チャートを極図として扱い、反射係数を表す点をプロットし、特性スミス チャートのスケーリングを使用してその値を直接読み取ることで、正規化インピーダンスをかなりの精度で取得できます。この手法は、方程式に値を代入するグラフィカルな代替手段です。

反射係数が無損失伝送線路に沿ってどのように変化するかを表す式を代入すると

${\displaystyle \Gamma ={\frac {B\exp(-\gamma \ell )}{A\exp(\gamma \ell )}}={\frac {B\exp(-j\beta \ell )}{A\exp(j\beta \ell )}}\,}$

損失のないケースでは、反射係数に関する正規化インピーダンスの式に代入する。

${\displaystyle z_{\mathsf {T}}={\frac {1+\Gamma }{\,1-\Gamma \,}}\,.}$

そしてオイラーの公式を使うと

${\displaystyle \exp(j\theta )={\text{cis}}\,\theta =\cos \theta +j\,\sin \theta \,}$

損失がない場合のインピーダンス版伝送線路方程式が得られる：^[24]

${\displaystyle Z_{\mathsf {in}}=Z_{0}{\frac {\,Z_{\mathsf {L}}+j\,Z_{0}\tan(\beta \ell )\,}{\,Z_{0}+j\,Z_{\mathsf {L}}\tan(\beta \ell )\,}}\,}$

インピーダンスで終端された長さの損失のない伝送線路の入力で「見られる」インピーダンスはどこに あるか${\displaystyle \,Z_{\mathsf {in}}\,}$${\displaystyle \,\ell \,,}$${\displaystyle \,Z_{\mathsf {L}}\,}$

伝送線路方程式のバージョンは、アドミタンス損失がない場合と、インピーダンスとアドミタンス損失がある場合の両方に対して同様に導出できます。

伝送線路方程式を使用するスミス チャートのグラフィカルな同等物は、正規化してZスミス チャートに結果の点をプロットし、スミス チャートの中心を中心とするその点を通る円を描画することです。円弧に沿ったパスは、伝送線路に沿って移動する際にインピーダンスがどのように変化するかを表します。この場合、円周 (波長) スケーリングを使用する必要があります。これは伝送線路内の波長であり、自由空間の波長とは異なる場合があることに注意してください。 ${\displaystyle \,Z_{\mathsf {L}}\,,}$

極座標図を直交座標系にマッピングする場合、正の角度に対して反時計回りの方向を使用して、正のx軸に対する角度を測定するのが一般的です。複素数の大きさは、原点からそれを表す点まで引いた直線の長さです。スミス チャートでも同じ規則が使用され、正規化されたインピーダンス平面では、正のx軸はスミス チャートの中心の点から点まで伸びます。x 軸より上の領域は誘導性インピーダンス (正の虚数部) を表し、 x軸より下の領域は容量性インピーダンス (負の虚数部) を表します。 ${\displaystyle \,z_{\mathsf {T}}=1\pm j0\,}$${\displaystyle \,z_{\mathsf {T}}=\infty \pm j\infty \,.}$

終端が完全に整合されている場合、反射係数はゼロになり、実質的に半径ゼロの円、または実際にはスミス チャートの中心の点で表されます。終端が完全な開回路または短絡回路である場合、反射係数の大きさは 1 になり、すべての電力が反射され、その点は 1 の円周円上のある点に位置します。

正規化インピーダンス スミス チャートは、2 種類の円で構成されています。つまり、一定の正規化抵抗の円と一定の正規化リアクタンスの円です。複素反射係数平面では、スミス チャートは原点を中心とする半径 1 の円を占めます。したがって、直交座標では、円はx軸上の点 (+1,0) と (-1,0)、 y軸上の点 (0,+1) と (0,-1) を通過します。

と は両方とも複素数な ので、一般には次のように表記されます。${\displaystyle \,\Gamma \,}$${\displaystyle \,z_{\mathsf {T}}\,}$

${\displaystyle z_{\mathsf {T}}=a+jb\,}$

${\displaystyle ~\Gamma ~=c+jd\,}$

a、b、c、dは実数 です。

これらを正規化インピーダンスと複素反射係数の関係式に代入すると次のようになります。

${\displaystyle \Gamma ={\frac {z_{\mathsf {T}}-1}{\,z_{\mathsf {T}}+1\,}}={\frac {(a-1)+j\,b}{\,(a+1)+j\,b\,}}\,}$

次の結果が得られます。

${\displaystyle \Gamma =c+jd=\left[{\frac {a^{2}+b^{2}-1}{\,(a+1)^{2}+b^{2}\,}}\right]+j\left[{\frac {2b}{\,(a+1)^{2}+b^{2}\,}}\right]=\left[1+{\frac {-2(a+1)}{\,(a+1)^{2}+b^{2}\,}}\right]+j\left[{\frac {+2b}{\,(a+1)^{2}+b^{2}\,}}\right]\,.}$

これは複素反射係数が正規化インピーダンスによってどのように変化するかを記述する式であり、両方の円群を構築するために使用できます。^[25]

YスミスチャートはZスミスチャートの場合と似た方法で作成されますが、電圧反射係数の値を正規化インピーダンスではなく正規化アドミタンスで表します。正規化アドミタンスy _{Tは正規化インピーダンス}z _Tの逆数であるため、

${\displaystyle y_{\mathsf {T}}={\frac {1}{z_{\mathsf {T}}}}\,}$

したがって：

${\displaystyle y_{\mathsf {T}}={\frac {1-\Gamma }{\,1+\Gamma \,}}\,}$

そして

${\displaystyle \Gamma ={\frac {1-y_{\mathsf {T}}}{\,1+y_{\mathsf {T}}\,}}\,}$

Yスミス チャートは、正規化されたインピーダンス タイプに似ていますが、グラフィックのネストされた円が 180° 回転し、数値スケールはZチャートと同じ位置 (回転しない) のままになります。

同様に

${\displaystyle y_{\mathsf {T}}={\tilde {o}}+j\,{\tilde {p}}\,}$

実際 には、より多くの異なるマイナス記号を使用して、同様の結果を返します。 ${\displaystyle \,{\tilde {o}}\,}$${\displaystyle \,{\tilde {p}}\,}$

${\displaystyle \Gamma =c+jd=\left[{\frac {1-{\tilde {o}}^{2}-{\tilde {p}}^{2}}{\,({\tilde {o}}+1)^{2}+{\tilde {p}}^{2}\,}}\right]+j\left[{\frac {-2{\tilde {p}}}{\,({\tilde {o}}+1)^{2}+{\tilde {p}}^{2}\,}}\right]=\left[{\frac {2({\tilde {o}}+1)}{\,({\tilde {o}}+1)^{2}+{\tilde {p}}^{2}\,}}-1\right]+j\left[{\frac {-2{\tilde {p}}}{\,({\tilde {o}}+1)^{2}+{\tilde {p}}^{2}\,}}\right]\,.}$

x軸より上の領域は容量性アドミタンスを表し、 x軸より下の領域は誘導性アドミタンスを表します。容量性アドミタンスは正の虚数部を持ち、誘導性アドミタンスは負の虚数部を持ちます。

終端が完全に整合していれば、反射係数はゼロになり、半径ゼロの「円」、または実際にはスミス チャートの中心の点で表されます。終端が完全に開回路または短絡回路であれば、電圧反射係数の大きさは 1 になり、すべての電力が反射され、その点はスミス チャートの 1 円周円上のどこかに位置します。

反射係数の大きさが 0.63、角度が 60° で、極形式で と表される点は、スミス チャートの点 P ₁として表示されます。これをプロットするには、円周 (反射係数) 角度スケールを使用して目盛りを見つけ、定規を使用して、これとスミス チャートの中心を通る線を引きます。次に、スミス チャートの半径が 1 であると仮定して、線の長さを P ₁にスケールします。たとえば、紙から測定した実際の半径が 100 mm の場合、長さ OP ₁は 63 mm になります。 ${\displaystyle 0.63\angle 60^{\circ }\,}$${\displaystyle \angle 60^{\circ }\,}$

次の表は、 Zスミス チャートにプロットされる点の類似例をいくつか示しています。それぞれについて、反射係数が極座標形式で示され、対応する正規化インピーダンスが直交座標形式で示されています。変換はスミス チャートから直接読み取ることも、式に代入して行うこともできます。

RF 回路とマッチングの問題では、アドミタンス (コンダクタンスとサセプタンスを表す) を扱う方が便利な場合もあれば、インピーダンス (抵抗とリアクタンスを表す) を扱う方が便利な場合もあります。一般的なマッチングの問題を解決するには、直列要素には正規化されたインピーダンスを使用し、並列要素には正規化されたアドミタンスを使用して、両方のタイプのスミス チャートを何度か変更する必要がある場合がよくあります。これらの場合は、デュアル (正規化された) インピーダンスおよびアドミタンス スミス チャートを使用できます。または、1 つのタイプを使用して、必要に応じてスケーリングを他のタイプに変換することもできます。正規化されたインピーダンスから正規化されたアドミタンスに、またはその逆に変更するには、検討中の反射係数の値を表す点を、同じ半径で正確に 180 度移動します。たとえば、反射係数を表す例の点 P1 は、正規化されたインピーダンスが です。これを、同等の正規化されたアドミタンス ポイント、たとえば Q1 にグラフィカルに変更するには、定規を使用して、P1 からスミス チャートの中心を通って Q1 まで、反対方向に等しい半径の線を引きます。これは、点を正確に180度の円軌道に沿って動かすことに相当します。スケーリングが正規化されたアドミタンスになっていることを念頭に置いて、スミスチャートからQ1の値を読み取ると、次のようになります。計算を実行すると、 ${\displaystyle 0.63\angle 60^{\circ }\,}$${\displaystyle z_{P}=0.80+j1.40\,}$${\displaystyle y_{P}=0.30-j0.54\,}$

${\displaystyle y_{\text{T}}={\frac {1}{z_{\text{T}}}}\,}$

手動でこれを確認します。

インピーダンスからアドミタンスへの変換が実行されると、後で正規化されたインピーダンスへの変換が実行されるまで、スケーリングは正規化されたアドミタンスに変わります。

以下の表は、正規化インピーダンスと、点を 180° 回転して得られる同等の正規化アドミタンスの例を示しています。これらも、計算によって、または図に示すようにスミス チャートを使用して、正規化インピーダンスと正規化アドミタンスの平面を変換することによって取得できます。

特定の計算にZスミスチャートを使用するかYスミスチャートを使用するかは、どちらがより便利かによって決まります。直列インピーダンスと並列アドミタンスは加算されますが、並列インピーダンスと直列アドミタンスは逆数の関係にあります。直列インピーダンスの等価インピーダンスが で、並列インピーダンスの等価インピーダンスが の場合、 ${\displaystyle Z_{\text{TS}}}$${\displaystyle Z_{\text{TP}}}$

${\displaystyle Z_{\text{TS}}=Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}+...\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\text{TP}}}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+{\frac {1}{Z_{3}}}+...\,}$

入学の場合は逆になります。

${\displaystyle Y_{\text{TP}}=Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}+...\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{Y_{\text{TS}}}}={\frac {1}{Y_{1}}}+{\frac {1}{Y_{2}}}+{\frac {1}{Y_{3}}}+...\,}$

逆数、特に複素数を扱う場合、線形加算を使用するよりも時間がかかり、エラーが発生しやすくなります。したがって、一般的に、ほとんどのRFエンジニアは、回路トポグラフィが線形加算をサポートする平面で作業します。次の表は、抵抗、インダクタンス、および静電容量という 3 つの基本的な受動回路要素ごとに、インピーダンス (実数および正規化) とアドミタンス (実数および正規化) の複素式を示しています。特性インピーダンス (または特性アドミタンス) とテスト周波数だけを使用して、等価回路を見つけることができ、その逆も可能です。

分散マッチングは実現可能になり、マッチング部品の物理的サイズが動作周波数の波長の約 5% を超える場合に必要になることがあります。この場合、多数の集中部品の電気的動作は予測不可能になります。これは、マイクロ波回路や、短波、FM、TV 放送で高電力のために大型部品が必要な場合に発生します。

分散コンポーネントの場合、波長で較正されたスミス チャートの外周スケールを使用して、伝送線路に沿って移動することによる反射係数とインピーダンスへの影響を考慮する必要があります。

次の例は、任意の負荷で終端された伝送線路を、正確な位置に接続された直列または並列のリアクティブ コンポーネントを使用して 1 つの周波数で整合させる方法を示しています。

周波数 800 MHz で動作する特性インピーダンスの無損失エアスペース伝送線路が、 6.5 ナノヘンリー (6.5 nH) のインダクタと直列に接続された 17.5 抵抗器で構成される回路で終端されているとします。この線路をどのように整合すればよいでしょうか。 ${\displaystyle Z_{0}=50\ \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

上記の表から、800MHzにおける終端部を構成するインダクタのリアクタンスは、

${\displaystyle Z_{L}=j\omega L=j2\pi fL=j32.7\ \Omega \,}$

したがって、組み合わせのインピーダンス（）は次のように表される。 ${\displaystyle Z_{T}}$

${\displaystyle Z_{T}=17.5+j32.7\ \Omega \,}$

そして正規化されたインピーダンス（）は ${\displaystyle z_{T}}$

${\displaystyle z_{T}={\frac {Z_{T}}{Z_{0}}}=0.35+j0.65\,}$

これは、Zスミスチャートの点P ₂₀にプロットされます。線OP _{20 は、}点 で交差する波長スケールまで延長されます。伝送線路は損失がないため、スミスチャートの中心を中心とする円が点P ₂₀を通って描かれ、終端による一定の大きさの反射係数の経路を表します。点P ₂₁で、円は一定の正規化抵抗の単位円と交差します。 ${\displaystyle L_{1}=0.098\lambda \,}$

${\displaystyle z_{P21}=1.00+j1.52\,}$。

直線OP ₂₁の延長線は波長スケールと交差するので、終端から直線上のこの点までの距離は次のように表される。 ${\displaystyle L_{2}=0.177\lambda \,}$

${\displaystyle L_{2}-L_{1}=0.177\lambda -0.098\lambda =0.079\lambda \,}$

伝送線路は空間内にあるため、800MHzにおける伝送線路内の波長は自由空間内の波長と同じであり、次のように表される。

${\displaystyle \lambda ={\frac {c}{f}}\,}$

ここで、は自由空間における電磁放射の速度、 はヘルツ単位の周波数です。結果は となり、マッチング部品の位置は負荷から 29.6 mm になります。 ${\displaystyle c\,}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle \lambda =375\ \mathrm {mm} \,}$

_{P 21} ( ) におけるインピーダンスの共役整合は${\displaystyle z_{match}\,}$

${\displaystyle z_{match}=-j(1.52),\!}$

スミスチャートは正規化されたインピーダンス平面にあるため、上の表から、直列コンデンサが必要になります。 ${\displaystyle C_{m}\,}$

${\displaystyle z_{match}=-j1.52={\frac {-j}{\omega C_{m}Z_{0}}}={\frac {-j}{2\pi fC_{m}Z_{0}}}\,}$

整理すると、

${\displaystyle C_{m}={\frac {1}{(1.52)\omega Z_{0}}}={\frac {1}{(1.52)(2\pi f)Z_{0}}}}$。

既知の値を代入すると

${\displaystyle C_{m}=2.6\ \mathrm {pF} \,}$

800 MHz で終端を一致させるには、終端から 29.6 mm の距離で伝送線路と直列に 2.6 pF の直列コンデンサを配置する必要があります。

正規化されたインピーダンスから正規化されたアドミタンスへのスミスチャート変換を実行した後、別のシャント整合を計算することができます。ポイントQ _{20はP 20}に相当しますが、正規化されたアドミタンスとして表されます。スミスチャートのスケーリングから読み取ると、これが正規化されたアドミタンスになったことを思い出すと、次のようになります。

${\displaystyle y_{Q20}=0.65-j1.20\,}$

（実際にはこの値は使用されません）。しかし、線OQ ₂₀を波長スケールまで延長すると、 が得られます。発電機に向かって移動するシャント共役整合を導入できる最も早い点は、Q ₂₁であり、これは前のP ₂₁と同じ位置ですが、今回は正規化されたアドミタンスを表し、次の式で与えられます。 ${\displaystyle L_{3}=0.152\lambda \,}$

${\displaystyle y_{Q21}=1.00+j1.52\,}$。

この場合、伝送線路に沿った距離は

${\displaystyle L_{2}+L_{3}=0.177\lambda +0.152\lambda =0.329\lambda \,}$

123 mm に換算されます。

共役整合部品は、正規化アドミタンス（） が${\displaystyle y_{match}}$

${\displaystyle y_{match}=-j1.52\,}$。

表から、負のアドミタンスには伝送線路と並列に接続されたインダクタが必要であることがわかります。その値が の場合、 ${\displaystyle L_{m}\,}$

${\displaystyle -j1.52={\frac {-j}{\omega L_{m}Y_{0}}}={\frac {-jZ_{0}}{2\pi fL_{m}}}\,}$

結果は次のようになる

${\displaystyle L_{m}=6.5\ \mathrm {nH} \,}$

したがって、適切な誘導性シャントマッチングは、負荷から 123 mm の位置にあるラインと並列の 6.5 nH インダクタになります。

集中素子コンポーネントの解析では、動作周波数での波長がコンポーネント自体の寸法よりもはるかに大きいと仮定します。スミス チャートを使用してこのような回路を解析できます。その場合、チャート上の動きは、動作周波数でのコンポーネントの (正規化された) インピーダンスとアドミタンスによって生成されます。この場合、スミス チャートの円周上の波長スケーリングは使用されません。次の回路は、100 MHz の動作周波数でスミス チャートを使用して解析されます。この周波数では、自由空間の波長は 3 m です。コンポーネントの寸法自体はミリメートルのオーダーであるため、集中素子の仮定は有効です。伝送線路自体は存在しませんが、正規化および非正規化の計算を可能にするためにシステム インピーダンスを定義する必要があり、ここでは として適切な選択です。抵抗の値が大きく異なる場合は、これらに近い値の方が良い選択になる可能性があります。 ${\displaystyle Z_{0}=50\ \Omega \,}$${\displaystyle R_{1}=50\ \Omega \,}$

分析は、他のコンポーネントが存在しないR ₁のみを調べる Z スミス チャートから始まります。システム インピーダンスと同様に、これはスミス チャートの中心の点で表されます。最初の変換は、一定の正規化抵抗のラインに沿った OP ₁です。この場合は、正規化リアクタンス - j 0.80 が追加され、40 pF の直列コンデンサに相当します。接尾辞 P の付いた点はZ平面にあり、接尾辞 Q の付いた点はY平面にあります。したがって、変換P ₁からQ ₁およびP ₃からQ ₃は、 Z スミス チャートから Y スミス チャートへの変換であり、変換Q ₂からP ₂は、Y スミス チャートから Z スミス チャートへの変換です。次の表は、残りのコンポーネントと変換を処理し、最終的にスミス チャートの中心に戻り、完全な 50 オームの一致を得るために実行される手順を示しています。 ${\displaystyle R_{1}=50\ \Omega \,}$

拡張複素平面（リーマン球）と逆幾何学に基づいて、スミスチャートを3次元球に一般化したものが、 2011年にミュラーらによって提案された。^[26]

この図は、反射係数の一般化された平面の立体等角図を使用して、単位球の表面上の小さな円と大きな円の上で受動回路と能動回路の設計を統合します。無限遠の点を考慮すると、新しい図の空間にはすべての可能な負荷が含まれます。北極は完全に一致する点であり、南極は完全に不一致な点です。^[26]

3Dスミスチャートは球面の外側にさらに拡張され、グループ遅延、品質係数、周波数方向などのさまざまなスカラーパラメータをプロットできるようになりました。視覚的な周波数方向（時計回りと反時計回り）により、2Dスミスチャートにプロットしたときに反射係数は同じであるが、周波数が増加するにつれて方向が変化する負/容量と正/誘導を区別できます。^[27]

• バイナリタイリング
• ボード線図
• ナイキスト線図
• ヘイランド・オッサナ円図
• cis（数学）
• 横断的（楽器製作）

• Campbell, George Ashley (1911 年 4 月). 「シソイド振動」(PDF) . Proceedings of the American Institute of Electrical Engineers . XXX (1–6). American Institute of Electrical Engineers : 789–824 [p. 810 の図 13]. doi :10.1109/PAIEE.1911.6659711. S2CID  51647814 . 2023-06-24に取得。(37 ページ) (注: 水橋、ヴォルパート、スミスが研究を発表する数十年前に、スミス チャートに似たものの初期のグラフィック表現が含まれています。)
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• 「QuickSmith」. github.com/niyeradori . 2021-11-02.無料の Web ベースのスミス チャート教育ツールがGitHubで入手できます。
• 「3D スミス チャート ツール」。3dsmithchart.com。アクティブ回路とパッシブ回路用の 2D および 3D スミス チャートの汎用ツール (学術/教育機関向け無料)。