双線形変換

双線形変換（アーノルド・タスティンにちなんでタスティン法とも呼ばれる）は、デジタル信号処理や離散時間制御理論において、連続時間システムの表現を離散時間システムに変換したり、その逆を行ったりするために使用される。

双線形変換は等角写像（すなわちメビウス変換）の特殊な場合であり、伝達関数を変換するためによく用いられる。${\displaystyle H_{a}(s)}$連続時間領域における線形時不変（LTI）フィルタ（しばしばアナログフィルタと呼ばれる）から伝達関数への変換${\displaystyle H_{d}(z)}$離散時間領域における線形シフト不変フィルタ（多くの場合デジタルフィルタと呼ばれるが、スイッチドキャパシタで構成されたアナログフィルタの中にも離散時間フィルタが存在する）の、位置をマッピングする。${\displaystyle j\omega }$軸、${\displaystyle \mathrm {Re} [s]=0}$s平面から単位円へ、${\displaystyle |z|=1}$z平面において。他の双線形変換は、任意の離散時間線形システムの周波数応答を歪ませるために使用でき（例えば、人間の聴覚系の非線形周波数分解能を近似するため）、システムの単位遅延を置き換えることで離散領域で実装できます。${\displaystyle \left(z^{-1}\right)}$一次全通過フィルタを使用。

この変換は安定性を維持し、連続時間フィルタの周波数応答のすべての点をマッピングします。${\displaystyle H_{a}(j\omega _{a})}$離散時間フィルタの周波数応答における対応する点へ、${\displaystyle H_{d}(e^{j\omega _{d}T})}$ただし、周波数は若干異なります。これは、後述の「周波数ワーピング」の項で示しています。つまり、アナログフィルタの周波数応答に見られる特徴には、デジタルフィルタの周波数応答にも、ゲインと位相シフトが同じで、おそらく周波数が若干異なる対応する特徴が存在するということです。周波数の変化は低周波数ではほとんど目立ちませんが、ナイキスト周波数に近い周波数では非常に顕著になります。

双線形変換は、 z平面からs平面への正確な写像である自然対数関数の1 次パデ近似です。離散時間信号 (離散時間シーケンスの各要素が対応する遅延単位インパルスに付加されている) に対してラプラス変換を実行すると、結果は、を置換した離散時間シーケンスのZ 変換と正確に一致します。

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=e^{sT}\\&={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\\&\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle T}$は、双一次変換の導出で使用される台形公式の数値積分ステップサイズです。 ^{[ 1 ]}または、言い換えれば、サンプリング周期です。上記の双一次近似は、 について解くことができます。${\displaystyle s}$または同様の近似値${\displaystyle s=(1/T)\ln(z)}$実行可能です。

この写像の逆写像（およびその1次双線形近似）は

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {1}{T}}\ln(z)\\&={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\cdots \right]\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\&={\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{aligned}}}$

双線形変換は基本的にこの一次近似を使用し、連続時間伝達関数に代入します。${\displaystyle H_{a}(s)}$

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}.}$

それは

${\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right).\ }$

連続時間因果フィルタは、その伝達関数の極が複素s平面の左半分に位置する場合に安定である。離散時間因果フィルタは、その伝達関数の極が複素z平面の単位円内に位置する場合に安定である。双一次変換は、複素s平面の左半分をz平面の単位円の内部に写像する。したがって、連続時間領域で設計された安定なフィルタは、その安定性を維持する離散時間領域のフィルタに変換される。

同様に、連続時間フィルタは、その伝達関数の零点が複素s平面の左半分に位置する場合に最小位相フィルタとなります。離散時間フィルタは、その伝達関数の零点が複素z平面の単位円内に位置する場合に最小位相フィルタとなります。そして、同じマッピング特性により、最小位相である連続時間フィルタは、その最小位相特性を保持する離散時間フィルタに変換されることが保証されます。

一般的なLTIシステムは伝達関数を持つ $${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{Q}s^{Q}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{P}s^{P}}}}$$ 伝達関数の次数NはPとQのうち大きい方である（実際には、システムが安定するためには伝達関数が適切でなければならないため、これはPである可能性が最も高い）。双一次変換を適用する $${\displaystyle s=K{\frac {z-1}{z+1}}}$$ ここで、Kは2/ Tとして定義されるか、周波数ワーピングを使用する場合は、 $${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {b_{0}+b_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+b_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{Q}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{Q}}{a_{0}+a_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+a_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{P}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{P}}}}$$ 分子と分母に、存在する最大の( z + 1) ^{− 1}乗である( z + 1) ^{− N}を掛けると、 $${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {b_{0}(z+1)^{N}+b_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+b_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+\cdots +b_{Q}K^{Q}(z-1)^{Q}(z+1)^{N-Q}}{a_{0}(z+1)^{N}+a_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+a_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+\cdots +a_{P}K^{P}(z-1)^{P}(z+1)^{N-P}}}}$$ここで、変換後、分子と分母の次数は両方ともNで あることがわかります。

次に、連続時間伝達関数の極零点形式を考えてみましょう。 $${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {(s-\xi _{1})(s-\xi _{2})\cdots (s-\xi _{Q})}{(s-p_{1})(s-p_{2})\cdots (s-p_{P})}}}$$ 分子と分母の多項式の根ξ _iとp _iは、システムの零点と極です。双線形変換は一対一の写像であるため、これらを z 領域に変換することができます。 $${\displaystyle z={\frac {K+s}{K-s}}}$$離散化された伝達関数の零点と極ξ' _iとp' _i の一部が得られる。$${\displaystyle {\begin{aligned}\xi '_{i}&={\frac {K+\xi _{i}}{K-\xi _{i}}}\quad 1\leq i\leq Q\\p'_{i}&={\frac {K+p_{i}}{K-p_{i}}}\quad 1\leq i\leq P\end{aligned}}}$$ 上記のように、分子と分母の次数は両方ともN であり、つまり零点と極の数が等しくなります。( z + 1) ^{− Nを掛けると、追加の零点または極は[ 2 ]}になります 。$${\displaystyle {\begin{aligned}\xi '_{i}&=-1\quad Q<i\leq N\\p'_{i}&=-1\quad P<i\leq N\end{aligned}}}$$ 零点と極の完全なセットが与えられた場合、z領域伝達関数は次のようになります。 $${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(z-\xi '_{1})(z-\xi '_{2})\cdots (z-\xi '_{N})}{(z-p'_{1})(z-p'_{2})\cdots (z-p'_{N})}}}$$

例として、単純なローパスRCフィルタを考えてみましょう。この連続時間フィルタは伝達関数を持ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{a}(s)&={\frac {1/sC}{R+1/sC}}\\&={\frac {1}{1+RCs}}.\end{aligned}}}$

このフィルタをデジタルフィルタとして実装したい場合は、以下の式を代入して双一次変換を適用できます。${\displaystyle s}$上記の式を少し修正すると、次のフィルタ表現が得られます。

分母の係数は「フィードバック」係数であり、分子の係数はリアルタイムデジタルフィルタを実装するために使用される「フィードフォワード」係数です。

連続時間アナログフィルタの係数を、双線形変換プロセスによって作成された同様の離散時間デジタルフィルタの係数と関連付けることが可能です。与えられた伝達関数を持つ一般的な一次連続時間フィルタを変換します。

${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}s+b_{1}}{a_{0}s+a_{1}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}}}}$

双線形変換（周波数指定を事前に歪ませない）を使用するには、以下の置換が必要です。

${\displaystyle s\leftarrow K{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}}$

どこ

${\displaystyle K\triangleq {\frac {2}{T}}}$。

しかし、双一次変換において、以下に説明する周波数歪み補償を用いると、アナログフィルタとデジタルフィルタのゲインと位相が周波数で一致するようになる。${\displaystyle \omega _{0}}$、 それから

${\displaystyle K\triangleq {\frac {\omega _{0}}{\tan \left({\frac {\omega _{0}T}{2}}\right)}}}$。

これにより、元の連続時間フィルタの係数を用いて係数を表す離散時間デジタルフィルタが得られる。

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(b_{0}K+b_{1})+(-b_{0}K+b_{1})z^{-1}}{(a_{0}K+a_{1})+(-a_{0}K+a_{1})z^{-1}}}}$

通常、対応する差分方程式を導出する前に、分母の定数項を1に正規化する必要があります。これにより、

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {{\frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}+{\frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}{1+{\frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}}.}$

差分方程式（直接形式Iを使用）は次のようになります。

${\displaystyle y[n]={\frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot x[n]+{\frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot x[n-1]-{\frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot y[n-1]\ .}$

同様のプロセスは、与えられた伝達関数を持つ一般的な2次フィルタにも適用できる。

${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}s^{2}+b_{1}s+b_{2}}{a_{0}s^{2}+a_{1}s+a_{2}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}+b_{2}s^{-2}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}+a_{2}s^{-2}}}\ .}$

これにより、元の連続時間フィルタの係数を用いて係数を表す離散時間デジタルバイカッドフィルタが得られる。

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2})+(2b_{2}-2b_{0}K^{2})z^{-1}+(b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2})z^{-2}}{(a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2})+(2a_{2}-2a_{0}K^{2})z^{-1}+(a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2})z^{-2}}}}$

繰り返しますが、分母の定数項は、対応する差分方程式を導出する前に、一般的に1に正規化されます。その結果、

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {{\frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}+{\frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-1}+{\frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-2}}{1+{\frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-1}+{\frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-2}}}.}$

差分方程式（直接形式Iを使用）は次のようになります。

${\displaystyle y[n]={\frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n]+{\frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n-1]+{\frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n-2]-{\frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot y[n-1]-{\frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot y[n-2]\ .}$

連続時間フィルタの周波数応答を決定するには、伝達関数${\displaystyle H_{a}(s)}$で評価されます${\displaystyle s=j\omega _{a}}$それは${\displaystyle j\omega }$同様に、離散時間フィルタの周波数応答を決定するには、伝達関数${\displaystyle H_{d}(z)}$で評価されます${\displaystyle z=e^{j\omega _{d}T}}$単位円上にある、${\displaystyle |z|=1}$双線形変換は、${\displaystyle j\omega }$s平面の軸（これは、${\displaystyle H_{a}(s)}$） z平面の単位円へ、${\displaystyle |z|=1}$（これは${\displaystyle H_{d}(z)}$）しかし、それは同じマッピングではない${\displaystyle z=e^{sT}}$また、${\displaystyle j\omega }$軸を単位円に合わせる。実際の周波数が${\displaystyle \omega _{d}}$双一次変換を用いて設計された離散時間フィルタに入力されるとき、どの周波数で、${\displaystyle \omega _{a}}$この連続時間フィルタの場合${\displaystyle \omega _{d}}$マッピング先。

${\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)}$

これは、離散時間フィルタのz平面上の単位円上のすべての点が、${\displaystyle z=e^{j\omega _{d}T}}$上の点にマッピングされます${\displaystyle j\omega }$連続時間フィルタのs平面上の軸、${\displaystyle s=j\omega _{a}}$つまり、双線形変換の離散時間から連続時間への周波数マッピングは次のようになる。

${\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)}$

そして逆写像は

${\displaystyle \omega _{d}={\frac {2}{T}}\arctan \left(\omega _{a}{\frac {T}{2}}\right).}$

離散時間フィルタは周波数で動作します${\displaystyle \omega _{d}}$連続時間フィルタが周波数で動作するのと同じように${\displaystyle (2/T)\tan(\omega _{d}T/2)}$具体的には、離散時間フィルタが周波数で持つゲインと位相シフト${\displaystyle \omega _{d}}$これは、連続時間フィルタが周波数で持つゲインと位相シフトと同じです。${\displaystyle (2/T)\tan(\omega _{d}T/2)}$これは、連続時間フィルタの周波数応答で確認できるすべての特徴、すべての「隆起」が離散時間フィルタでも確認できるが、周波数が異なることを意味します。低周波数（つまり、${\displaystyle \omega _{d}\ll 2/T}$または${\displaystyle \omega _{a}\ll 2/T}$)すると、特徴はわずかに異なる周波数にマッピングされます。${\displaystyle \omega _{d}\approx \omega _{a}}$。

連続周波数範囲全体が

${\displaystyle -\infty <\omega _{a}<+\infty }$

基本周波数間隔にマッピングされる

${\displaystyle -{\frac {\pi }{T}}<\omega _{d}<+{\frac {\pi }{T}}.}$

連続時間フィルタ周波数${\displaystyle \omega _{a}=0}$離散時間フィルタ周波数に対応します${\displaystyle \omega _{d}=0}$連続時間フィルタ周波数${\displaystyle \omega _{a}=\pm \infty }$離散時間フィルタ周波数に対応する${\displaystyle \omega _{d}=\pm \pi /T.}$

また、非線形関係があることもわかります。${\displaystyle \omega _{a}}$そして${\displaystyle \omega _{d}.}$ この双一次変換の効果は周波数歪みと呼ばれます。連続時間フィルタは、この周波数歪みを補償するように設計できます。${\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)}$設計者が制御できるすべての周波数仕様（コーナー周波数や中心周波数など）に対して、これはフィルタ設計のプリワーピングと呼ばれます。

しかし、周波数仕様を事前に歪ませることで、周波数歪みを補正することは可能である。${\displaystyle \omega _{0}}$連続時間システムの周波数特性（通常は共振周波数、または周波数応答の最も重要な特徴を示す周波数）を事前に歪ませた仕様を双一次変換に用いることで、目的の離散時間システムを得ることができます。連続時間フィルタの近似としてデジタルフィルタを設計する場合、デジタルフィルタの周波数応答（振幅と位相の両方）を、特定の周波数における連続フィルタの周波数応答に一致させることができます。${\displaystyle \omega _{0}}$連続フィルタの伝達関数に次の変換を代入すると、DCでのマッチングに加えて、次の変換も実現されます。^{[ 3 ]}これは、上記に示したタスティンの変換の修正版です。

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {\omega _{0}}{\tan \left({\frac {\omega _{0}T}{2}}\right)}}{\frac {z-1}{z+1}}.}$

ただし、この変換は元の変換になることに注意してください。

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}$

として${\displaystyle \omega _{0}\to 0}$。

ワーピング現象の主な利点は、インパルス不変性で観察されるような周波数応答特性のエイリアシング歪みがないことです。

• インパルス不変性
• マッチドZ変換法

• MITオープンコースウェア 信号処理：連続から離散へのフィルタ設計
• 離散等価性に関する講義ノート
• VAフィルター設計の芸術