リー球面幾何学

リー球面幾何学は、円または球を基本概念とする平面幾何学または空間幾何学の幾何学理論です。19世紀にソフス・リーによって提唱されました。 ^[1]リー球面幾何学につながる主要な考え方は、線（または平面）は無限半径の円（または球）とみなされ、平面（または空間）内の点は半径ゼロの円（または球）とみなされるというものです。

点と直線（または平面）を含む平面内の円（または空間内の球）の空間は、リー二次曲面（射影空間内の二次超曲面）として知られる多様体であることがわかります。リー球面幾何学は、リー二次曲面とそれを保存するリー変換の幾何学です。リー変換は一般に点を保存しないため、この幾何学を視覚化することは困難です。点は円（または球）に変換できます。

これを扱うために、平面上の曲線と空間上の曲面は、それらの接空間によって決定される接触揚力を使用して研究されます。これにより、曲線の接触円と曲面の曲率球が自然に実現されます。また、デュパンサイクリッドの自然な処理とアポロニウスの問題の概念的な解決も可能になります。

リー球面幾何学はどの次元でも定義できるが、平面と 3 次元空間の場合が最も重要である。後者の場合、リーは 3 次元のリー球面の 2 次曲線と 3 次元射影空間の直線の空間 (これも 5 次元射影空間の 2 次超曲面であり、プルッカーまたはクラインの 2 次曲線と呼ばれる) の間に顕著な類似性があることに気付いた。この類似性から、リーは 3 次元空間の直線の空間と球面の空間の間に有名な「直線球面対応」を導き出した。^[2]

リー球面幾何学につながる重要な観察は、円（球）の概念とその接線接触のみに依存する平面（空間）のユークリッド幾何学の定理は、円、直線、点（球、平面、点）が同等に扱われるより一般的な文脈では、より自然な定式化を持つということです。これは 3 つのステップで実現されます。まず、理想的な無限遠点がユークリッド空間に追加され、直線（または平面）は、無限遠点を通過する円（または球）（つまり、無限大の半径を持つ）と見なすことができます。この拡張は、「メビウス変換」と呼ばれる自己同型を持つ反転幾何学として知られています。次に、点は半径 0 の円（または球）と見なします。最後に、技術的な理由から、直線（または平面）を含む円（または球）に方向 が与えられます。

これらのオブジェクト、つまり平面内の点、向きのついた円、向きのついた直線、または空間内の点、向きのついた球、向きのついた平面は、サイクルまたはリー サイクルと呼ばれることがあります。これらは、次元 4 または 5 の射影空間で2 次超曲面を形成し、リー二次曲面として知られています。この二次曲面の自然な対称性は、リー変換と呼ばれる変換のグループを形成します。これらの変換は一般に点を保存しません。これらはリー二次曲面の変換であり、平面/球と無限遠点の変換ではありません。点を保存する変換は、まさにメビウス変換です。理想的な点を無限遠に固定するリー変換は、ラゲール幾何学のラゲール変換です。これら 2 つの部分群はリー変換のグループを生成し、それらの共通部分は理想的な点を無限遠に固定するメビウス変換、つまりアフィン等角写像です。

これらの群には直接的な物理的解釈もある。ハリー・ベイトマンが指摘したように、リー球面変換はマクスウェル方程式の形を不変にする球面波変換と同一である。さらに、エリー・カルタン、アンリ・ポアンカレ、ヴィルヘルム・ブラシュケは、ラゲール群が特殊相対論のローレンツ群と単純に同型であると指摘した（ラゲール群はローレンツ群と同型を参照）。最終的に、メビウス群とローレンツ群の間にも同型が存在する（メビウス群#ローレンツ変換を参照）。

平面のリー二次曲面は次のように定義される。R ^{3,2 は、}次式で定義される シグネチャ(3,2)対称双線型形式を備えた、実数の 5 組の空間R ^{5 を表すものとする。}

${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\cdot (y_{0},y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})=-x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{3}.}$

射影空間R P ^4は、 R ⁵の原点を通る直線の空間であり、スケールまでのR ⁵の非ゼロベクトルxの空間です。ここで、 x = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) です。平面リー二次曲面Q は、 x · x = 0のベクトルxで表される射影空間の点 [ x ] で構成されます。

これを平面幾何学に関連付けるには、有向時間線を固定する必要があります。選択した座標は、点 [1,0,0,0,0] ∈ R P ^{4の使用を示唆しています。リー二次関数}Qの任意の点は、ベクトルx = λ(1,0,0,0,0) + vで表すことができます。ここで、v は(1,0,0,0,0) に直交します。 [ x ] ∈ Qなので、v · v = λ ² ≥ 0 です。

リー二次曲面と交差する (1,0,0,0,0) の直交空間は、ミンコフスキー時空における2 次元天球 Sです。これは、理想的な点が無限遠にあるユークリッド平面であり、これを [0,0,0,0,1] とします。平面上の有限の点 ( x , y ) は、点 [ v ] = [0, x , y , −1, ( x 2 + y 2 )/2] で表されます。v · v = 0 、 v · ⁽ 1,0,0,0,0 ) ⁼ 0、v · ( 0,0,0,0,1 ) = −1 であることに注意してください。

したがって、 λ = 0のリー二次曲面上の点 x = λ (1,0,0,0,0) + v は、理想点が無限遠にあるユークリッド平面上の点に対応します。一方、λがゼロでない点x は、ユークリッド平面上の向きのついた円（または向きのついた直線、つまり無限遠を通る円）に対応します。これは、天球Sで見るとわかりやすく、 [ λ (1,0,0,0,0) + v ] ∈ Q ( λ ≠ 0) に対応する円は、 y · v = 0となる点y ∈ Sの集合です。円が向きのついたのは、v / λ が明確な符号を持つためです。[− λ (1,0,0,0,0) + v ] は、向きが逆の同じ円を表します。したがって、等長反射写像x → x + 2 ( x · (1,0,0,0,0)) (1,0,0,0,0)は、円と直線の向きを反転し、平面の点 (無限大を含む) を固定するリー二次関数の反転ρを誘導します。

要約すると、リー二次曲面上の点と平面内のサイクルの間には 1 対 1 の対応関係があり、サイクルは方向付けられた円 (または直線) か平面内の点 (または無限遠点) のいずれかです。点は半径 0 の円と考えることができますが、方向付けられていません。

2つのサイクルが点 [ x ]、[ y ] ∈ Qによって表されるとします。このとき、対応するサイクルが「キス」する場合、つまり、向き付けられた一次接触で互いに出会う場合に限り、x · y = 0 となります。[ x ] ∈ S ≅ R ² ∪ {∞} の場合、これは単に [ x ] が [ y ]に対応する円上にあることを意味します。このケースは、この円の定義から直接わかります ([ y ] が点円に対応する場合、 [ x ] = [ y ]の場合に限り、x · y = 0 となります)。

したがって、[ x ] も [ y ] もSにない場合を考慮する必要があります。一般性を失うことなく、x = (1,0,0,0,0) + vおよびy = (1,0,0,0,0) + wとすることができます。ここで、vとw は(1,0,0,0,0) ^⊥内の空間的単位ベクトルです。したがって 、 v ^⊥ ∩ (1,0,0,0,0) ^⊥およびw ^⊥ ∩ (1,0,0,0,0) ^{⊥は、 (1,0,0,0,0) ⊥}のシグネチャ (2,1) 部分空間です。したがって、これらは 2 次元部分空間で一致するか交差します。後者の場合、2 次元部分空間はシグネチャ (2,0)、(1,0)、(1,1) のいずれかを持つことができ、その場合、S内の対応する 2 つの円は、それぞれ 0、1、または 2 点で交差します。したがって、2 次元部分空間が退化している (シグネチャ (1,0)) 場合に限り、それらは 1 次接触を持ちます。これは、 vとwの範囲が退化している場合にのみ成立します。ラグランジュの恒等式により、これは ( v · w ) ² = ( v · v )( w · w ) = 1の場合に限り成立します。つまり、v · w = ± 1、つまり、x · y = 1 ± 1 の場合に限り成立します。接触が有向になるのは、v · w = – 1、つまり、x · y = 0 の場合に限ります。

リー球面幾何学におけるサイクルの発生は、アポロニウスの問題に対する簡単な解決策を提供します。^[3]この問題は、3つの異なる円（点または直線）の構成に関するものです。目的は、元の3つの円すべてに接する他のすべての円（点または直線を含む）を見つけることです。一般的な円の構成では、そのような接円は最大で8つあります。

リー球面幾何学を用いた解決法は、次のように進められます。3 つの円のそれぞれに向きを選択します (これを行うには 8 つの方法がありますが、3 つすべての向きを逆にする方法は 4 つしかありません)。これにより、リー二次曲線Q上の 3 つの点 [ x ]、[ y ]、[ z ] が定義されます。サイクルの発生により、選択された向きと互換性のあるアポロニアン問題の解は、qがx、y、zに直交するような点 [ q ] ∈ Qによって与えられます。これらの 3 つのベクトルが線形従属である場合、対応する点 [ x ]、[ y ]、[ z ] は射影空間内の線上にあります。非自明な二次方程式には最大で 2 つの解しかないため、この線は実際にはリー二次曲線上にあり、この線上の任意の点 [ q ] は [ x ]、[ y ]、[ z ]に発生するサイクルを定義します。したがって、この場合、解決策は無限に存在します。

代わりにx、y、z が線形独立である場合、3つすべてに直交する部分空間 V は2次元です。シグネチャは(2,0)、(1,0)、または(1,1)で、その場合、[ q ]の解はそれぞれ0、1、または2つあります。(シグネチャは、複数のヌルラインを含む空間に直交するため、(0,1)または(0,2)にすることはできません。) 部分空間がシグネチャ(1,0)の場合、唯一の解q は、 x、y 、およびzの範囲にあります。

アポロニアン問題の一般解は、いくつかの円の向きを反転させることによって得られます。つまり、( x , ρ ( y ), z )、( x , y , ρ ( z ))、( x , ρ ( y ), ρ ( z )) の 3 つ組を考慮することによって得られます。

3 つの ( ρ ( x ), ρ ( y ), ρ ( z )) は ( x , y , z )と同じ解を生成しますが、全体的な方向が逆になっていることに注意してください。したがって、3 つの円すべてが 1 点で接線方向に交わる場合 (解は無限に存在します) を除き、アポロニアン問題の解円は最大で 8 個あります。

R ^3,2の直交変換のグループO(3,2)の任意の要素は、 R ^3,2内のヌルベクトルの任意の 1 次元部分空間を別のそのような部分空間にマップします。したがって、グループ O(3,2) はリー二次曲面に作用します。これらのサイクルの変換は「リー変換」と呼ばれます。これらは、サイクル間の接続関係を保存します。この作用は推移的であるため、すべてのサイクルはリー同値です。特に、点は一般的なリー変換によって保存されません。点サイクルを保存するリー変換の部分群は、基本的に、選択された時間的方向を保存する直交変換の部分群です。この部分群は、球面のメビウス変換のグループ O(3,1) と同型です。これは、それ自体がリー変換である 反転ρの中心化として特徴付けることもできます。

リー変換は、円を線や点に変換することで、幾何学の問題を単純化するためによく使用されます。

リー変換が一般に点を保存しないという事実は、リー球面幾何学を理解する上での障害にもなり得ます。特に、曲線の概念はリー不変ではありません。この困難は、接触要素のリー不変な概念が存在するという観察によって緩和できます。

平面上の有向接触要素は、点と、その点を通る有向（つまり、方向付けられた）直線からなるペアです。点と直線は接続サイクルです。重要な観察は、点と直線の両方に接続するすべてのサイクルの集合がリー不変オブジェクトであるということです。つまり、点と直線に加えて、特定の点で直線と有向接触するすべての円で構成されます。これはリーサイクルのペンシル、または単に接触要素と呼ばれます。

サイクルもすべて互いにつながっていることにも注意してください。リー二次曲面に関して言えば、これはサイクルのペンシルがリー二次曲面上に完全に位置する（射影）線であることを意味します。つまり、R ^3,2の完全にヌルな 2 次元部分空間の射影化です。ペンシル内のサイクルの代表ベクトルはすべて互いに直交します。

リー二次曲面上のすべての直線の集合は、接触要素Z ³の空間と呼ばれる3 次元多様体です。リー変換は接触要素を保存し、Z ^{3に対して推移的に作用します。点サイクル (選択された時間的ベクトル}vに直交する点) の特定の選択に対して、すべての接触要素には一意の点が含まれます。これにより、 Z ³から、繊維が円である2 次元球面S ²へのマップが定義されます。点はリー不変ではないため、このマップはリー不変ではありません。

γ :[ a , b ] → R ²を有向曲線とする。すると、 γ は、点γ ( t )に対応する接触要素とその点で曲線に接する有向線（方向 γ '( t ) の線）にtを送ることにより、区間 [ a , b ] から Z 3 への写像 λを決定する。この写像λ^はγの接触揚力と呼ばれる。

実際、Z ^{3 は}接触多様体であり、接触構造はリー不変である。従って、有向曲線は接触リフトを介してリー不変な方法で研究することができ、これは一般にZ ³のルジャンドリアン曲線として特徴付けられる。より正確には、 R ^3,2のヌル2次元部分空間πに対応する点におけるZ ³の接空間は、次の線型写像の部分空間である(A mod π ): π → R ^3,2 / πで

A ( x ) · y + x · A ( y ) = 0

そして接触分布は、線形写像の空間 Hom( π , R ^3,2 / π )内のこの接線空間の部分空間 Hom( π , π ^⊥ / π )です。

したがって、Z ³の浸漬されたルジャンドリアン曲線λには、曲線上の各点に関連付けられた優先リー閉路があります。t での浸漬の導関数は、Hom( π , π ^⊥ / π )の 1 次元部分空間です。ここで、 π = λ ( t ) です。この部分空間の任意の非ゼロ要素の核は、πの明確に定義された 1 次元部分空間、つまりリー二次曲面上の点です。

もっと身近な言葉で言えば、平面上の曲線γの接触揚力をλとすると、各点における優先サイクルは接触円になります。言い換えると、接触揚力を考慮すれば、平面上の曲線の基本理論の多くはリー不変です。

n次元のリー球面幾何学は、R ^{3,2 (} n = 2次元のリー二次曲面に対応)をR ^{n + 1, 2}に置き換えることによって得られる。これは、対称双線型形式を備えた R ^{n + 3である。}

${\displaystyle (x_{0},x_{1},\ldots x_{n},x_{n+1},x_{n+2})\cdot (y_{0},y_{1},\ldots y_{n},y_{n+1},y_{n+2})}$

${\displaystyle =-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}+x_{n+1}y_{n+2}+x_{ n+2}y_{n+1}.}$

リー二次関数Q _{n は}、 x · x = 0となる[ x ] ∈ R P ^{n +2} = P( R ^{n +1,2} )の集合として再び定義されます。この二次関数は、極限ケースとして超平面と点球を含む、 n次元空間内の向き付けられた( n – 1) 球をパラメーター化します。Q _{n は}(n + 1) 次元多様体であることに注意してください(球は中心と半径によってパラメーター化されます)。

入射関係は変更なく引き継がれます。点 [ x ]、[ y ] ∈ Q _nに対応する球面は、 x · y = 0の場合にのみ、向き付けられた一次接触を持ちます。リー変換のグループは O(n + 1, 2) になり、リー変換はリーサイクルの入射を保存します。

接触要素の空間は、(2 n – 1) 次元接触多様体Z ^{2 n – 1}です。点球面の与えられた選択では、これらの接触要素は、n次元空間内の点 (無限遠点の場合もあります) とその点を通る有向超平面のペアに対応します。したがって、空間Z ^{2 n – 1は、} n球面の射影化された余接バンドルに同型です。この同一視はリー変換に対して不変ではありません。リー不変の用語では、Z ^{2 n – 1 は}リー二次曲面上の (射影) 直線の空間です。

n次元空間内の任意の浸漬有向超曲面は、その有向接空間によって決定されるZ ^{2 n – 1}への接触リフトを持ちます。各点に関連付けられた優先リーサイクルはもはや存在しません。代わりに、ユークリッド幾何学の曲率球に対応するn – 1 個のそのようなサイクルが存在します。

アポロニウスの問題は、n次元のn + 1個の超球面を含む自然な一般化を持つ。^[4]

n =3の場合、 P(R4,2)の2_次曲面Q3はユークリッド3次元空間の球面の(リー)幾何学を記述する。リーは3次元空間(より正確にはRP3 ⁾の直線に対するクライン^の対応との顕著な類似性に注目した。^[2]

[ x ], [ y ] ∈ R P ³、同次座標( x ₀、x ₁、x ₂、x ₃ ) および ( y ₀、y ₁、y ₂、y ₃ ) であるとする。^[5] p _ij = x _i y _j - x _j y _iと置く。これらはxとyを結ぶ射影直線の同次座標である。独立した座標は 6 つあり、それらはPlücker 関係という1 つの関係を満たす。

p ₀₁ p ₂₃ + p ₀₂ p ₃₁ + p ₀₃ p ₁₂ = 0.

したがって、R P ^{3の直線と}クラインの二次曲面上の点との間には1対1の対応関係があり、クラインの二次曲面は、プルッカー関係を満たすR P ⁵の点 [ p ₀₁、p ₂₃、p ₀₂、p ₃₁、p ₀₃、p ₁₂ ] の二次超曲面である。

プルッカー関係を定義する二次形式は、シグネチャ (3,3) の対称双線型形式から来ています。言い換えると、 R P ^{3の直線の空間は P(} R ^3,3 )の二次曲面です。これはリー二次曲面と同じではありませんが、複素数を使用して直線と球面の間の「対応」を定義できます。x = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₅ ) が (複素化された) リー二次曲面上の点である場合(つまり、 x _iは複素数とみなされます)、

p ₀₁ = x ₀ + x ₁、p ₂₃ = – x ₀ + x ₁

p ₀₂ = x ₂ + i x ₃、p ₃₁ = x ₂ – i x ₁

p ₀₃ = x ₄、p ₁₂ = x ₅

複素化されたクラインの二次関数上の点を定義します（ここで i ² = –1）。

リー球面幾何学は、デュパンサイクライドの自然な記述を提供します。これらは、2 つの 1 パラメータ球族S ( s ) とT ( t ) の共通エンベロープとして特徴付けられます。ここで、SとT は、区間からリー二次曲面への写像です。共通エンベロープが存在するためには、S ( s ) とT ( t ) はすべてのsとtに関連しなければなりません。つまり、それらの代表ベクトルは、 R ^4,2のヌル 2 次元部分空間に張らなければなりません。したがって、それらは接触要素の空間Z ⁵への写像を定義します。この写像がルジャンドゥリアンであるためには、S (またはT ) の導関数がT (またはS )に直交する必要があります。つまり、 R ^4,2をシグネチャ (2,1) の3 次元部分空間σとτの直和に直交分解し、 S がσの値を取り、T がτの値を取る必要があります。逆に、このような分解は、2 つの 1 パラメータ球族を包む表面の接触揚力を一意に決定します。この接触揚力のイメージは、一対のヌル線で σとτ と交差するヌル 2 次元部分空間によって与えられます。

このような分解は、符号の選択を除けば、その平方が恒等写像であり、その ±1 固有空間がσとτであるR ^{4,2の対称自己準同型写像によって等価に与えられます。} R ^4,2上の内積を使用して、これはR ^4,2上の二次形式によって決定されます。

要約すると、デュパンサイクリドは、関連する対称自己準同型がシグネチャ(2,1)の単位元と固有空間に等しい平方を持つような R ^4,2上の二次形式によって決定される。

これは、デュパンサイクリッドがサイクリッドであることを示す一つの方法である。つまり、特定の形式の四次方程式の零集合である。このために、平面の場合と同様に、3次元ユークリッド空間は、無限遠の理想点以外の点球面の集合としてリー二次曲面Q ₃に埋め込まれることに注意する。明示的に、ユークリッド空間の点(x,y,z)は、点

[0, x , y , z , –1, ( x ² + y ² + z ² )/2]

Q ₃において、サイクライドは [0, x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₅ ] ∈ Q ₃の点から成り、これらは追加の二次関係を満たす。

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{5}a_{ij}x_{i}x_{j}=0}$

対称な 5 × 5 行列A = ( a _ij ) に対して、サイクライドのクラスはリー球面幾何学における曲面の自然な族であり、デュパンサイクライドは自然なサブ族を形成します。

• デカルトの定理では、線を無限の半径を持つ円として考えることもできます。
• 準球

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• 「複素数、特に線分複素数と球面複素数について、偏微分方程式の理論への応用」このテーマに関するリーの主要論文の英訳
• 「有向円と 3D 相対論的幾何学」ラゲール幾何学 (その変換群はリー変換群のサブグループ) の概念を紹介する初歩的なビデオ。このビデオは有理三角法の観点から紹介されています。