複素数の幾何学

Geometry of Complex Numbersは、円、複素平面、反転幾何学、非ユークリッド幾何学などを取り扱う学部生向けの幾何学の教科書である。ハンス・シュヴェルトフェガーによって執筆され、1962年にトロント大学出版局の Mathematical Expositions シリーズの第 13 巻として最初に出版された。1979 年にDover Publicationsの Dover Books on Advanced Mathematics シリーズ( ISBN 0-486-63830-8 )で訂正版が出版され、副題に「円幾何学、メビウス変換、非ユークリッド幾何学」が付けられた。アメリカ数学会基本図書館リスト委員会は、学部生向けの数学図書館にこの本を含めるよう提案している。 ^[1] 

この本は、副題の3つの部分、すなわち円幾何学、メビウス変換、非ユークリッド幾何学に対応して3つの章に分かれています。これらはそれぞれ、さらにセクション（他の本では章と呼ばれます）とサブセクションに分かれています。この本の根底にあるテーマは、ユークリッド平面を複素数平面として表現することと、複素数を幾何学的オブジェクトとその変換を記述するための座標として使用することです。^[1]

円の章では、複素平面における円の解析幾何学について扱います。 ^[2]エルミート行列による円の表現、^{[3] [4]}円の反転、立体投影、円束（特定の1パラメータの円族）とその2パラメータの類似物、円束、および4つの複素数のクロス比について説明します。 ^[3]${\displaystyle 2\times 2}$

メビウス変換に関する章は本書の中心部分であり、^[4]これらの変換を複素平面の分数線型変換として定義しています（これらを定義するいくつかの標準的な方法の1つ）。 ^[1]この章には、これらの変換の分類、^[2]これらの変換の特徴的な平行四辺形、^{[4]変換群の}サブグループ、恒等式に戻る（周期的なシーケンスを形成する）か無限のシーケンスの変換を生成する反復変換、および複素平面の円保存変換としてのこれらの変換の幾何学的特徴付けに関する資料が含まれています。^{[3]この章では、}射影幾何学の射影性と透視性の理解におけるメビウス変換の応用についても簡単に説明します。^[1]

非ユークリッド幾何学の章では、双曲平面のポアンカレ円板モデル、楕円幾何学、球面幾何学、そして（フェリックス・クラインのエアランゲン・プログラムに沿って）メビウス変換の部分群としてのこれらの幾何学の変換群が取り上げられている。^[1]

この作品は、抽象代数、複素数理論、行列理論、幾何学の間のつながりを広げることを目的として、数学の複数の分野をまとめたものである。 ^{[2] [5]} 評論家のハワード・イヴスは、資料の選択と幾何学の定式化において、この本は「 C. カラテオドリとE. カルタンの研究を大きく反映している」と書いている。^[6]

複素数幾何学は上級学部生向けに書かれており^[6] 、その多くの演習（「例」と呼ばれる）は、読者が学んだことを単に確認するのではなく、そのセクションの内容を拡張します。^{[4] [6] AW Goodmanと}Howard Evesは、元の出版物をレビューして、複素解析の授業の副読本としてそれを使用することを推奨しました。^{[3] [6]} Goodmanは、「古典関数理論のすべての専門家は、この資料に精通している必要があります」と付け加えています。^[3]しかし、レビューアのDonald Monkは、この本の内容がどの授業にも合わないほど専門的ではないかと疑問に思い、よりエレガントにカバーできたはずの詳細についていくつかの小さな不満を持っています。^[2]

2015年のレビューでは、マーク・フナセックは「この本は明らかに時代遅れの雰囲気があり」、読みにくく、トピックの選択が時代遅れのため、コースのメインテキストとして使用できる可能性は低いと書いています。^[1]評論家のRPバーンはフナセックの読みやすさに関する懸念を共有しており、シュヴェルトフェガーは「幾何学に動機付けの役割を果たさせるのではなく、一貫して幾何学的解釈を代数的証明に従わせている」と不満を述べています。^[7]それでもフナセックはグッドマンとイブスの「複素解析のコースの補足的な読み物として」使用することを推奨し、^[1]バーンは「再出版は歓迎される」と結論付けています。^[7]

この本で扱われている幾何学の背景として、評論家のRP Burnは、CV Durell著の『Modern Geometry: The Straight Line and Circle』とDaniel Pedoe著の『Geometry: A Comprehensive Course』という2冊の本を推薦している。^[7]

解析幾何学に複素数を使用する他の書籍としては、Liang-shin Hahn 著のComplex Numbers and Geometry や、 Titu Andreescuおよび Dorin Andrica著のComplex Numbers from A to...Z などがある。しかし、Geometry of Complex Numbers はユークリッド幾何学の基本的な構成を避け、代わりにこのアプローチを円反転や非ユークリッド幾何学などの高レベルの概念に適用している点でこれらの書籍と異なる。Geometry of Complex Numbersと同じくらい詳細にメビウス変換を扱っている数少ない書籍の 1 つに、 Tristan Needham著のVisual Complex Analysisがある。^[1]

• インターネット アーカイブの複素数の幾何学(1979 年版)