等角線

航海において、等角線、等角( / r ʌ m / )、または航程線は、経度の子午線すべてを同じ角度で横切る円弧、つまり方位角(真北を基準に測った方位)が一定の経路です。固定コースでの航行( つまり、一定の基本方向に従うように船舶を操縦すること) では、等角線の軌跡になります。

地球儀の表面上の等角線の経路をたどることの効果は、1537 年にポルトガルの 数学者 ペドロ・ヌネスが著書『海図擁護の論文』で初めて論じ、 1590 年代に トーマス・ハリオットがさらに数学的に発展させました。

等角線は、球面上の 2 点間の最短距離の経路である大円と対比できます。大円では、目的地への方位は一定ではありません。大円に沿って車を運転する場合、ハンドルを固定したままにしますが、等角線に沿って運転するにはハンドルを回す必要があり、極に近づくにつれてハンドルをより鋭く回す必要があります。言い換えると、大円は局所的に「直線」で測地曲率はゼロですが、等角線の測地曲率はゼロではありません。

経度子午線と緯度緯線は、交差角度がそれぞれ 0° と 90° である等角線の特殊なケースです。南北航路では等角線の進路は大円と一致し、赤道に沿った東西航路でも同様です。

メルカトル図法の地図では、等角線は直線です。このような地図では、地図の端からはみ出さずに、地球上の任意の 2 点間に等角線を描くことができます。ただし、理論的には航程線は地図の右端を超えて延長し、同じ傾斜で左端まで続くことがあります (地図が正確に 360 度の経度をカバーしていると仮定)。

斜角で経線を切る等角線は、極に向かって螺旋を描く航程曲線です。^[1]メルカトル図法では、北極と南極は無限遠にあるため、表示されません。ただし、無限高の地図上の完全な航程線は、2 つの端の間に無限の線分で構成されます。立体投影図法の地図では、航程線は北極または南極を中心とする 等角螺旋です。

すべての航跡線は、一方の極からもう一方の極まで螺旋状に伸びています。極の近くでは、航跡線は対数螺旋に近くなります (ステレオ投影では正確に対数螺旋になります。以下を参照)。そのため、航跡線は各極の周りを無限回巻きますが、有限の距離で極に到達します。航跡線の極間長さ (完全な球体と仮定) は、子午線の長さを真北からの方位の余弦で割ったものです。航跡線は極では定義されません。

• 極から極までの航跡の 3 つのビュー
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loxodromeという単語は、古代ギリシャ語のλοξός loxós : 「斜め」 + δρόμος drómos : 「走る」（δραμεῖν drameîn : 「走る」から）に由来しています。rhumb という単語は、スペイン語またはポルトガル語の rumbo/rumo（「進路」または「方向」）とギリシャ語のῥόμβος rhómbos [ ^{2] （} rhémbeinから）に由来していると考えられます。

1878年版の『地球百科事典』では航跡線について次のように説明している。^[3]

曳航線は、与えられた表面の曲率線のすべての要素を同じ角度で切断する曲線です。コンパスの同じ方向に向かって航行する船は、すべての子午線を同じ角度で切断するそのような線を描きます。メルカトル図法 (qv) では、曳航線は明らかに直線です。^[3]

「方位」という用語が使われ始めた当時は正確な意味がなかったため、誤解が生じる可能性があった。この用語は「局所的に」のみ適用され、一定の方位で航行するために船乗りが行ったことだけを意味し、それが意味する不正確さはすべて含まれていたため、風向線にも航路図にも同様に当てはまった。したがって、「方位」は、ポルトランが使用されていた当時はポルトランの直線に適用され、メルカトル図の直線にも常に適用された。短距離では、ポルトランの「方位」はメルカトルの「方位」と意味のある違いはないが、今日では「方位」は数学的に正確な「航路図」と同義語であり、遡及的に同義語になったためである。レオ・バグロウは次のように述べている。^[4]

この時代の海図に「等角線」という言葉が誤って使われているのは、航路図が適切な投影図で描かれている場合にのみ正確な進路を示すからである。地図測定の調査により、初期の海図では投影図が使われていなかったことが明らかになったため、私たちは「ポルトラン」という名前をそのまま使用している。

半径1の球の場合、方位角λ、極角− ⁠π/2⁠ ≤ φ ≤ ⁠π/2⁠（ここでは緯度に対応するように定義されています）、直交座標の単位ベクトル i、 j、 k は半径ベクトルr を次のよう に表すことができます

${\displaystyle \mathbf {r} (\lambda ,\varphi )=(\cos {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {i} +(\sin {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {j} +(\sin {\varphi })\mathbf {k} \,.}$

球面の方位角方向と極方向の 直交単位ベクトルは次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}(\lambda ,\varphi )&=\sec {\varphi }{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}=(-\sin {\lambda })\mathbf {i} +(\cos {\lambda })\mathbf {j} \,,\\[8pt]{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}(\lambda ,\varphi )&={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}=(-\cos {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {i} +(-\sin {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {j} +(\cos {\varphi })\mathbf {k} \,,\end{aligned}}}$

スカラー積を持つ

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}={\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot \mathbf {r} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\cdot \mathbf {r} =0\,.}$

定数φのλ̂ は緯度の平行線を描き、定数λのφ̂ は経度の子午線を描き、これらを組み合わせると球に接する平面が生成されます。

単位ベクトル

${\displaystyle \mathbf {\boldsymbol {\hat {\beta }}} (\lambda ,\varphi )=(\sin {\beta }){\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta }){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

任意のλとφに対して、単位ベクトルφ̂との角度βは一定である。なぜなら、それらのスカラー積は

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=\cos {\beta }\,.}$

航程線は、球面上のすべての経線と一定の角度βを持つ曲線として定義され、したがって単位ベクトルβ̂と平行でなければなりません。その結果、航程線に沿った差分長さdsは差分変位を生み出します。

${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {r} &={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\,ds\\[8px]{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}\,d\lambda +{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\,d\varphi &={\bigl (}(\sin {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}{\bigr )}ds\\[8px](\cos {\varphi })\,d\lambda \,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+d\varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}&=(\sin {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\\[8px]ds&={\frac {\cos {\varphi }}{\sin {\beta }}}\,d\lambda ={\frac {d\varphi }{\cos {\beta }}}\\[8px]{\frac {d\lambda }{d\varphi }}&=\tan {\beta }\cdot \sec {\varphi }\\[8px]\lambda (\varphi \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\tan \beta \cdot {\big (}\operatorname {gd} ^{-1}\varphi -\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}{\big )}+\lambda _{0}\\[8px]\varphi (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\operatorname {gd} {\big (}(\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}{\big )}\end{aligned}}}$

ここで、 と はグーデルマン関数とその逆関数であり、 は逆双曲正弦関数です。 ${\displaystyle \operatorname {gd} }$${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}}$${\displaystyle \operatorname {gd} \psi =\arctan(\sinh \psi ),}$ ${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}\varphi =\operatorname {arsinh} (\tan \varphi ),}$${\displaystyle \operatorname {arsinh} }$

λとφの間にこの関係があるため、半径ベクトルは 1 つの変数のパラメトリック関数となり、球面上の航程線を描きます。

${\displaystyle \mathbf {r} (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})={\big (}\cos {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\big )}\mathbf {i} +{\big (}\sin {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\big )}\mathbf {j} +{\big (}\tanh \psi {\big )}\mathbf {k} \,,}$

どこ

${\displaystyle \psi \equiv (\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi }$

は等尺緯度である。^[5]

等角線では、緯度が極に向かうにつれて、φ → ± ⁠π/2⁠、 sin φ → ±1、等角緯度arsinh(tan φ ) → ± ∞、経度λ は無限に増加し、極に向かって螺旋状に非常に速く球を周回し、次のように与えられる 有限の総弧長 Δ sに近づく。

${\displaystyle \Delta s=R\,{\big |}(\pm \pi /2-\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}}$

球面上の点の経度をλ 、緯度をφとします。メルカトル図法の地図座標を次のように 定義すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\,,\\y&=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi =\operatorname {arsinh} (\tan \varphi )\,,\end{aligned}}}$

真北からの一定の方位 βを持つ航路図は直線となる。なぜなら（前のセクションの式を用いると）

${\displaystyle y=mx}$

傾斜のある

${\displaystyle m=\cot \beta \,.}$

与えられた 2 点間の航程線は、メルカトル図法でグラフィカルに求めることも、2 つの未知数m = cot βとλ ₀の 2 つの方程式の非線形システムを解くことによって求めることもできます。解は無限にあります。最短の解は、実際の経度差をカバーするもの、つまり余分な回転をせず、「逆方向に」進まないものです。

航程線に沿って測定された2 点間の距離Δ s は、方位角の正割の絶対値に南北距離を掛けた値に過ぎません (距離が無限大になる緯度円を除く)。

${\displaystyle \Delta s=R\,{\big |}(\varphi -\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}}$

ここで、R は地球の平均半径の 1 つです。

航海における等角線の使用は、特定の航海地図のスタイルや投影法に直接関係しています。等角線はメルカトル図法の地図では直線として表示されます。^[1]

この名前は、それぞれ古フランス語またはスペイン語の「rumb」または「rumbo」に由来しています。これは、すべての子午線を同じ角度で交差する海図上の線です。 ^[1]平面上では、これは 2 点間の最短距離になります。低緯度の地球表面上または短距離では、車両、航空機、または船舶の進路を描くために使用できます。^[1]長距離および/または高緯度では、大圏ルートは同じ 2 点間の等角線よりも大幅に短くなります。ただし、大圏ルートを移動中に方位を継続的に変更する必要があるという不便さがあるため、特定の状況では等角線ナビゲーションが魅力的です。^[1]

この点は、赤道に沿った経度90 度の東西経路で説明できます。この場合、大円距離と等角線距離は 10,000 キロメートル (5,400 海里) で同じです。北緯 20 度では、大円距離は 9,254 キロメートル (4,997 海里) ですが、等角線距離は 9,397 キロメートル (5,074 海里) で、約 1.5% 離れています。しかし、北緯 60 度では、大円距離は 4,602 キロメートル (2,485 海里) ですが、等角線距離は 5,000 キロメートル (2,700 海里) で、8.5% の差があります。より極端な例は、ニューヨーク市と香港間の航空経路で、等角線経路は 18,000 キロメートル (9,700 海里) です。北極点上の大圏ルートは13,000km（7,000海里）、つまり5+通常の巡航速度では飛行時間が1 ⁄ 2時間短縮されます。

メルカトル図法の古い地図には、緯度と経度の線で構成されたグリッドがあるが、北に直接向いた、北から直角の、または北から直角の単純な有理分数の角度の、等角線も表示されている。これらの等角線は、地図の特定のポイントで収束するように描かれている。つまり、あらゆる方向に向かう線は、これらのポイントのそれぞれで収束する。コンパス ローズを参照。このような地図は必然的にメルカトル図法であるため、すべての古い地図に等角線のマークを表示できるわけではない。

コンパスローズ上の放射状の線は、方位線とも呼ばれます。「方位線に沿って航行する」という表現は、16世紀から19世紀にかけて、特定のコンパスの方向を示すために使用されました。^[1]

海洋クロノメーターが発明される以前の初期の航海士は、長い航海では等角航路を使用していた。これは、太陽や星を観測することで船の緯度を正確に決定できたが、経度を正確に決定する方法がなかったためである。船は目的地の緯度に到達するまで北または南に航行し、その後等角航路（実際には等角航路の特殊なケースである緯線）に沿って東または西に航行し、一定の緯度を維持しながら、陸地の証拠が見えるまで航行した距離の推定値を定期的に記録した。^[6]

地球の表面は数学的にはリーマン球面、つまり球面を複素平面に投影したものとして理解できます。この場合、航程線はメビウス変換の特定のクラスとして理解できます。

上記の式は、簡単に回転楕円体にも拡張できます。^{[7] [8] [9] [10] [11] [12]}等角線のコースは、楕円体等角緯度を使用するだけで求められます。このページの上の式では、球面上の緯度を楕円体上の正角緯度に置き換えます。同様に、距離は楕円体の子午線弧の長さに方位角の 正割を掛けることで求められます。

• 大圏
• 楕円体上の測地線
• 大楕円
• 等方位角
• ランブルラインネットワーク
• ザイフェルトの螺旋
• 小さな円

注:この記事には、パブリックドメインの作品であるThe Globe Encyclopaedia of Universal Informationの1878年版のテキストが組み込まれています。

無料辞書のウィクショナリーでloxodrome またはrhumb を調べてください。

• MathPages の定数見出しと等角線。
• RhumbSolve(1)は楕円体の等角線を計算するユーティリティ(GeographicLibのコンポーネント)です。
• RhumbSolve のオンライン版。
• 航海アルゴリズム 2018 年 10 月 16 日にWayback Machineにアーカイブされました論文: The Sailings。
• チャートワーク - ナビゲーションアルゴリズム チャートワークの無料ソフトウェア: 等角線、大圏、複合航行、子午線部分。位置のライン 操縦 - 流れと沿岸の修正。
• マスワールド ロクソドローム。