線形分数変換

数学において、線形分数変換は、大まかに言えば、次の形式の可逆変換である。

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}.

$正確な定義は、 a 、 b 、 c 、 d$ 、 $z$ の性質によって異なります。言い換えると、線形分数変換は、分子と分母が線形である分数によって表される変換です。

最も基本的な設定では、 $a 、 b 、 c 、 d$ 、 $z$ は複素数（この場合、変換はメビウス変換とも呼ばれます）または、より一般的には体の元です。この場合、可逆条件は $ad - bc \neq 0$ です。体上で、線型分数変換は、射影変換または射影直線のホモグラフィの体への制限です。

$a 、 b 、 c 、 d$ が整数（またはより一般的には、整域に属する）のとき、 $zは$ 有理数（または整域の分数体に属する）であると想定されます。この場合、可逆条件は $ad - bcが$ 整域の単位（つまり、整数の場合は $1$ または $-1$ ）でなければならないということです。 ^[1]

最も一般的な設定では、 $a 、 b 、 c 、 d$ 、 $z は$ 、正方行列などの環の要素です。このような線形分数変換の例には、もともと3 × 3 の実数行列環上で定義されたケーリー変換があります。

線形分数変換は、古典幾何学、数論（ワイルズのフェルマーの最終定理の証明などで使用されている）、群論、制御理論など、数学とその工学への応用のさまざまな分野で広く使用されています。

一般的な定義

一般に、線型分数変換は環 $A$ 上の射影直線 $P($ $A$ $)$ のホモグラフィである。 $A$ が可換環のとき、線型分数変換は次のようなよく知られた形をとる。

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},

ここで、 $a 、 b 、 c 、 dは$ $A$ の要素であり、 $ad - bcは$ $A$ の単位です（つまり、 $ad$ $-$ $bc は$ $A$ で逆数を持ちます）。

非可換環 $A$ において、 $A$ $2$ に $(z, t)$ がある場合、単位 $u は$ 同値関係を決定します。 A上の射影直線上の同値類は $U$ $[$ $z$ $:$ $t$ $]$ と書きます。ここで括弧は射影座標を表します。すると、 $P($ $A$ $)$ の元の右側に線型分数変換が作用します。 $(z,t)\sim (uz,ut).$

U[z:t]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+tb:\ zc+td]\sim U[(zc+td)^{-1}(za+tb):\ 1].

環は射影直線に $z \to U [z : 1]$ によって埋め込まれているため、 $t = 1$ で通常の表現が回復されます。この線形分数変換は、 $U [za + tb : zc + td]$ が操作のために同値類からどの要素が選択されるかどうかに依存しないため、明確に定義されています。

$A$ 上の線型分数変換は群を形成し、射影線型群は $\operatorname {PGL} _{2}(A).$

線型分数変換の群はモジュラー群と呼ばれ、特にワイルズによるフェルマーの最終定理の証明など、数論への数多くの応用のため広く研究されてきた。 $\operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {Z} )$

双曲幾何学での使用

複素平面では、一般化された円は直線または円のいずれかです。平面内の一般化された円は、無限遠点で完成すると、複素射影直線の表現であるリーマン球面上の円に対応します。線形分数変換は、球面上のこれらの円と、複素平面内の一般化された円の対応する有限点を入れ替えます。

双曲平面のモデルを構築するには、単位円板と上半平面を使用して点を表します。複素平面のこれらの部分集合には、ケイリー・クライン計量という計量が与えられます。次に、モデルに使用される部分集合の境界に垂直で、点を通る一般化された円を使用して、2 点間の距離を計算します。この一般化された円は、他の 2 つの点で境界と交差します。4 つの点はすべて、ケイリー・クライン計量を定義する複比で使用されます。線形分数変換では複比は不変であるため、単位円板または上半平面を安定させる線形分数変換はすべて、双曲平面計量空間の等長変換になります。アンリ・ポアンカレがこれらのモデルを説明したため、彼にちなんで、ポアンカレ円板モデルとポアンカレ半平面モデルと名付けられました。各モデルには、メビウス群のサブグループである等長変換群があります。ディスクモデルの等長変換群は $SU(1, 1)$ で、線型分数変換は「特殊ユニタリ」です。上半平面の等長変換群は $PSL(2,$ $R$ $)$ で、これは実数要素と行列式が1に等しい線型分数変換の射影線型群です。^[2]

高等数学での使用

メビウス変換は、連分数論や、楕円曲線とモジュラー形式の解析的整数論でよく登場する。これは、モジュラー群の作用による上半平面の自己同型を記述するためである。また、ホップファイブレーションの標準的な例も提供しており、線形分数変換によって誘導される測地線フローによって複素射影空間が安定多様体と不安定多様体に分解され、ホロサイクルが測地線に垂直に現れる。ファイブレーションの実例としては、アノソフフローを参照のこと。この例では、測地線は分数線形変換によって与えられる。

(i\exp(t),\ 1){\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ (ai\exp(t)+b,\ ci\exp(t)+d)\thicksim ({\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}},\ 1)

$ここで、 a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d は$ 実数で、 $ad - bc = 1$ です。大まかに言えば、中心多様体は放物型変換によって生成され、不安定多様体は双曲型変換によって、安定多様体は楕円型変換によって生成されます。

制御理論での使用

線形分数変換は、機械工学や電気工学におけるプラントとコントローラの関係の問題を解決するために、制御理論で広く使用されています。^[3]^[4]線形分数変換をRedheffer スター積と組み合わせる一般的な手順により、量子力学や量子場の理論におけるS 行列アプローチ、媒体内での音波の散乱(例: サーモクラインや海洋内の潜水艦など)、微分方程式における散乱と束縛状態の一般的な解析など、一般微分方程式の散乱理論に線形分数変換を適用できます。ここで、3 × 3行列成分は、入力状態、束縛状態、出力状態を表します。おそらく、線形分数変換の最も単純な応用例は、減衰調和振動子の解析です。もう 1 つの基本的な応用は、フロベニウス正規形、つまり多項式の伴行列を取得することです。

共形特性

分割複素数と双対数の可換環は、通常の複素数を角度と「回転」を表現する環として結合します。いずれの場合も、虚軸に適用された指数写像は、 $($ $A$ $、+)$ と単位群 $($ $U$ $、\times)$ の1パラメータ群の間に同型を生成します。^[5]

\exp(yj)=\cosh y+j\sinh y,\quad j^{2}=+1,

\exp(y\epsilon )=1+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,

\exp(yi)=\cos y+i\sin y,\quad i^{2}=-1.

「角度」 $y は$ 、ホストリングに応じて、双曲角、傾斜角、または円角になります。

線形分数変換は、その生成元である乗法反転 $z$ $\to 1/$ $z$ とアフィン変換 $z$ $\to$ $az$ $+$ $b$ を考慮することで、等角写像であることが示されます。等角性は、生成元がすべて等角であることを示すことで確認できます。変換 $z$ $\to$ $z$ $+$ $b$ は原点の変更であり、角度には影響しません。 $z$ $\to$ $az$ が等角であることを確認するには、 $a$ と $z$ の極分解を検討してください。いずれの場合も、 $a$ の角度が $z$ の角度に追加され、等角写像になります。最後に、反転は等角です。なぜなら、 $z$ $\to 1/$ $z$ は $\exp(yb)\mapsto \exp(-yb),\quad b^{2}=1,0,-1.$

参照

参考文献

^ NJ Young (1984)「環と加群における線形分数変換」線形代数とその応用56:251–90
^ CL Siegel (A. Shenitzer & M. Tretkoff 訳) (1971) Topics in Complex Function Theory、第 2 巻、Wiley-Interscience ISBN 0-471-79080 X
^ ジョン・ドイル、アンディ・パッカード、ケミン・チョウ、「LFT、LMI、mu のレビュー」、(1991)第 30 回意思決定と制御に関する会議の議事録[1]
^ Juan C. Cockburn、「パラメトリック不確実性を持つシステムの多次元実現」[2]
^ Kisil, Vladimir V. (2012).メビウス変換の幾何学。SL(2,R)の楕円、放物線、双曲作用。ロンドン: インペリアル・カレッジ・プレス。p. xiv+192。doi :10.1142/p835。ISBN 978-1-84816-858-9. MR 2977041。

BA Dubrovin、AT Fomenko、SP Novikov (1984) Modern Geometry — Methods and Applications、第 1 巻、第 2 章、§15 複数次元のユークリッド空間と擬ユークリッド空間の等角変換、 Springer-Verlag ISBN 0-387-90872-2。
ジェフリー・フォックス (1949) 「超複素変数の基本理論と双曲面における等角写像の理論」、修士論文、ブリティッシュコロンビア大学。
PG Gormley (1947)「ステレオグラフィック投影と四元数の変換の線形分数群」、アイルランド王立アカデミー紀要、セクション A 51:67–85。
AE Motter & MAF Rosa (1998)「双曲計算」、Advances in Applied Clifford Algebras 8(1):109 ～ 28、§4 等角変換、119 ページ。
高須鶴三郎 (1941) Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie, 2, Proceedings of the Imperial Academy 17(8): 330–8, link from Project Euclid , MR 14282
Isaak Yaglom (1968) Complex Numbers in Geometry、130 & 157 ページ、Academic Press

[1] NJ Young (1984)「環と加群における線形分数変換」線形代数とその応用56:251–90

[2] CL Siegel (A. Shenitzer & M. Tretkoff 訳) (1971) Topics in Complex Function Theory、第 2 巻、Wiley-Interscience ISBN 0-471-79080 X

[3] ジョン・ドイル、アンディ・パッカード、ケミン・チョウ、「LFT、LMI、mu のレビュー」、(1991)第 30 回意思決定と制御に関する会議の議事録[1]

[4] Juan C. Cockburn、「パラメトリック不確実性を持つシステムの多次元実現」[2]

[5] Kisil, Vladimir V. (2012).メビウス変換の幾何学。SL(2,R)の楕円、放物線、双曲作用。ロンドン: インペリアル・カレッジ・プレス。p. xiv+192。doi :10.1142/p835。ISBN 978-1-84816-858-9. MR 2977041。