相同性

数学において、相似性（または相似膨張、同次膨張）とは、中心と呼ばれる点Sと比と呼ばれる非ゼロ数によって決定されるアフィン空間の変換であり、規則^[1]に従って点を点に送る。${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$

${\displaystyle {\overrightarrow {SX'}}=k{\overrightarrow {SX}}}$固定数の場合。${\displaystyle k\neq 0}$

位置ベクトルの使用:

${\displaystyle \mathbf {x} '=\mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$。

（原産地） の場合：${\displaystyle S=O}$

${\displaystyle \mathbf {x} '=k\mathbf {x} }$、

これは均一なスケーリングであり、 に対する特別な選択の意味を示しています。 ${\displaystyle k}$

一つは同一性マッピングを得るため、${\displaystyle k=1}$

中心に反射が映るから${\displaystyle k=-1}$

は、によって定義される逆マッピングを取得します。 ${\displaystyle 1/k}$${\displaystyle k}$

ユークリッド幾何学において、相似性は、点を固定し、すべてのベクトルの方向を保存する ( の場合) か、または反転する ( の場合) 相似性です。平行移動とともに、アフィン (またはユークリッド) 空間のすべての相似性は、拡大または平行移動のグループであるグループ を形成します。これらは、すべての直線gの像がgに平行な直線であるという特性を持つアフィン変換です。 ${\displaystyle k>0}$${\displaystyle k<0}$

射影幾何学において、相似変換とは、与えられた楕円反転を固定し、無限遠直線を点ごとに不変にする相似変換である。^[2]

ユークリッド幾何学では、相似比は、点間の距離に、面積に、体積に を掛けたものです。ここで、 は拡大比、膨張率、スケール係数、相似比です。スケール係数が 1 を超える場合、このような変換は拡大と呼ばれます。上記の固定点Sは相似中心、相似中心、相似中心と呼ばれます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle |k|}$${\displaystyle k^{2}}$${\displaystyle |k|^{3}}$${\displaystyle k}$

フランスの数学者ミシェル・シャスルが作ったこの用語は、ギリシャ語の 2 つの要素、つまり「類似」を意味する接頭辞homo- ( όμο ) と「位置」を意味するテーゼ( Θέσις ) に由来しています。これは、同じ形と向きを持つ 2 つの図形の関係を表します。たとえば、同じ方向を向いている 2 つのロシア人形は、相似であると考えられます。

相似性は、スマートフォン、ノートブック、ラップトップなどのコンピューター画面のコンテンツを拡大縮小するために使用されます。

次の特性はどの次元でも当てはまります。

相同性には次の特性があります。

• 線は平行線上にマッピングされます。したがって、角度は変化しません。
• 2 つの線分の比率は保持されます。

両方のプロパティは以下を示します:

• 相似性とは類似性のことです。

プロパティの導出: 計算を簡単にするために、中心が 原点であると仮定します:パラメトリック表現を持つ直線は 、 に平行な直線である方程式を持つ点集合にマッピングされます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} }$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {p} +t\mathbf {v} }$${\displaystyle g'}$${\displaystyle \mathbf {x} =k(\mathbf {p} +t\mathbf {v} )=k\mathbf {p} +tk\mathbf {v} }$${\displaystyle g}$

2 点間の距離はであり、その像間の距離は です。したがって、2 つの線分の 比(商) は変化しません。${\displaystyle P:\mathbf {p} ,\;Q:\mathbf {q} }$${\displaystyle |\mathbf {p} -\mathbf {q} |}$${\displaystyle |k\mathbf {p} -k\mathbf {q} |=|k||\mathbf {p} -\mathbf {q} |}$

計算は類似していますが、少し広範囲になります。 ${\displaystyle S\neq O}$

結果: 三角形は相似な三角形に写像されます。円の相似像は円です。楕円の像は相似です。つまり、2 つの軸の比率は変わりません。

中心との相似性に対して点 の像が与えられている場合 (図を参照)、直線 上にない2 番目の点 の像は、 切片定理を使用してグラフィカルに構築できます。は、2 つの直線およびの共通点です。 と同一線上にある点 の像は、を使用して決定できます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle SP_{1}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$${\displaystyle {\overline {SP_{2}}}}$${\displaystyle P_{1},Q_{1}}$${\displaystyle P_{2},Q_{2}}$

コンピュータが普及する前は、図面の拡大縮小はコンパスに似た道具であるパンタグラフを使用して行われていました。

構造と幾何学的背景:

1. 4 本の棒を用意し、図に示すように、で交わる 2 本の棒がもう一方の端で延長されるように頂点を持つ可動平行四辺形を組み立てます。比率を選択します。${\displaystyle P_{0},Q_{0},H,P}$${\displaystyle Q_{0}}$ ${\displaystyle k}$
2. 延長された棒の上に、および となる2 つの点をマークします。これは、 の場合です( の代わりに中心の位置を規定できます。この場合、比は です。)${\displaystyle S,Q}$${\displaystyle |SQ_{0}|=k|SP_{0}|}$${\displaystyle |QQ_{0}|=k|HQ_{0}|}$${\displaystyle |SQ_{0}|={\tfrac {k}{k-1}}|P_{0}Q_{0}|.}$${\displaystyle k}$${\displaystyle S}$${\displaystyle k=|SQ_{0}|/|SP_{0}|}$
3. 点 で回転可能な移動ロッドを取り付けます。${\displaystyle S}$
4. 各時点においてポイントとマークの位置を変えます。${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

(図を参照)切片定理により、点が共線的 (直線上にある) であり、方程式が成り立つことがわかります。これは、マッピングが 中心と比との相似性であることを示しています。 ${\displaystyle |SQ_{0}|/|SP_{0}|=|Q_{0}Q|/|PP_{0}|}$${\displaystyle S,P,Q}$${\displaystyle |SQ|=k|SP|}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$

• 同じ中心 を持つ 2 つの相似線の合成は、やはり中心を持つ相似線です。中心を持つ相似線はグループを形成します。${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$
• 異なる中心 を持つ2つの相似体の合成とその比は${\displaystyle S_{1},S_{2}}$${\displaystyle k_{1},k_{2}}$

中心が直線上にある相似の場合、または比が${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$${\displaystyle k_{1}k_{2}}$

方向への平行移動の場合。特に、(点反射)の場合。${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$${\displaystyle k_{1}=k_{2}=-1}$

導出：

中心を持つ2 つの相似性の合成については、${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle \sigma _{1}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1}),}$

${\displaystyle \sigma _{2}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{2}+k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{2})\ }$

点の像を計算すると次の式が得られる。 ${\displaystyle X:\mathbf {x} }$

${\displaystyle (\sigma _{2}\sigma _{1})(\mathbf {x} )=\mathbf {s} _{2}+k_{2}{\big (}\mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1})-\mathbf {s} _{2}{\big )}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \ =(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}+k_{1}k_{2}\mathbf {x} }$。

したがって、構成は

ベクトルによる方向への移動の場合。${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$${\displaystyle \ (1-k_{2})(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$

ポイントの場合${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$

${\displaystyle S_{3}:\mathbf {s} _{3}={\frac {(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}}{1-k_{1}k_{2}}}=\mathbf {s} _{1}+{\frac {1-k_{2}}{1-k_{1}k_{2}}}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$

は固定点（動かない）であり、合成

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}:\ \mathbf {x} \to \mathbf {s} _{3}+k_{1}k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{3})\quad }$。

は中心と比との相似性です。直線上にあります。 ${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle k_{1}k_{2}}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$

• 相同性と翻訳の組み合わせが相同性です。

導出：

相同性の構成

${\displaystyle \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} ),\;k\neq 1,\;}$そして翻訳

${\displaystyle \tau :\mathbf {x} \to \mathbf {x} +\mathbf {v} }$は

${\displaystyle \tau \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +\mathbf {v} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$

${\displaystyle =\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}+k\left(\mathbf {x} -(\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}})\right)}$

これは中心と比との相似性です。 ${\displaystyle \mathbf {s} '=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}}$${\displaystyle k}$

中心との相似性は、中心との相似性と翻訳 の組み合わせとして記述できます。${\displaystyle \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$${\displaystyle S=(u,v)}$${\displaystyle O}$

${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} +(1-k)\mathbf {s} }$。

したがって、同次座標では次の行列で表すことができます 。 ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}k&0&(1-k)u\\0&k&(1-k)v\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

純粋相似線形変換も、平行移動と均一なスケールで構成されるため、 等角変換です。

• スケーリング（幾何学）ベクトル空間における同様の概念
• 相似中心、一対の図形のうちの一方を他方の図形に合わせる相似変換の中心
• 凸体を覆うために必要な、凸体の厳密に小さい相似コピーの数に関するハドヴィガー予想
• 同次関数（経済学） 、形式f ( U ( y ))の関数。ここで、Uは同次関数、f は単調増加関数です。

• HSM Coxeter、「幾何学入門」、Wiley (1961)、p. 94
• アダマール、J.、平面幾何学のレッスン
• メサーブ、ブルース E. (1955)、「相似変換」、幾何学の基礎概念、アディソン・ウェスレー、pp. 166-169
• タラー、アニタ（1967）「幾何学への現代入門」、大学学部数学シリーズ、プリンストン、ニュージャージー：D.ヴァン・ノストランド社。

• Homothety、 Cut-the-Knotのインタラクティブ アプレット。