アポロニウスのサークル

アポロニウスの円は、有名なギリシャの幾何学者であるペルガのアポロニウスに関連するいくつかの円の集合のいずれかです。これらの円のほとんどは平面ユークリッド幾何学に見られます が、類似のものは他の表面でも定義されています。たとえば、球面上の対応するものは、立体投影によって定義できます。

この用語の主な用途は次の 5 つです。

1. アポロニウスは、円は焦点と呼ばれる 2 つの固定点までの距離の比が指定された平面上の点の集合として定義できることを示しました。このアポロニウスの円は、アポロニウスの追跡問題の基礎です。これは、#2 で説明した最初のファミリーの特殊なケースです。
2. アポロニウスの円は、互いに直交する2 つの円族です。最初の族は、2 つの固定焦点に対するすべての可能な距離比を持つ円 (#1 と同じ円) で構成され、2 番目の族は、両方の焦点を通過するすべての可能な円で構成されます。これらの円は、双極座標の基礎となります。
3. 三角形のアポロニウスの円は3つの円で、各円は三角形の 1 つの頂点を通過し、他の 2 つの頂点との距離の比率が一定です。三角形の等力点とルモワーヌ線は、これらのアポロニウスの円を使用して解くことができます。
4. アポロニウスの問題は、指定された 3 つの円に同時に接する円を作図することです。この問題の解は、アポロニウスの円と呼ばれることもあります。
5. アポロニウスのガスケットは、これまでに記述された最初のフラクタルの一つであり、アポロニウスの問題を反復的に解くことによって形成される、互いに接する円の集合です。

円は通常、ある点（円の中心）からある距離r （円の半径）にある点Pの集合として定義されます。ただし、円には他の同等の定義もあります。アポロニウスは、円は距離の比k  =  ⁠ を持つ点Pの集合として定義できることを発見しました。₁ d/₂日⁠ 2 つの点（図 1 のAとBで示す）に集中します。これらの 2 つの点は焦点と呼ばれることもあります。

d ₁、d _{2 を}等しくない正の実数とします。CをABのd ₁  : d _{2 の}比率における内分点とし、D をABのd ₁  : d _{2 の}比率における外分点とします。

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {PC} }}={\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}+d_{1}}},\ {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}={\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}-d_{1}}}.}$

それから、

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {PA} :\mathrm {PB} =d_{1}:d_{2}.\\\Leftrightarrow {}&d_{2}|{\overrightarrow {\mathrm { PA} }}|=d_{1}|{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}|.\\\Leftrightarrow {}&d_{2}^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}|^{2}=d_{1}^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}|^ {2}.\\\Leftrightarrow {}&(d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})\cdot (d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})=0.\\\Leftrightarrow {}&{\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+d_ {1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}+d_{1}}}\cdot {\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-d_ {1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}-d_{1}}}=0.\\\Leftrightarrow {}&{\overrightarrow {\mathrm {PC} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}=0.\\\Leftrightarrow {}&{\overrightarrow {\mathrm {PC} }}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {\mathrm {PC} }}\perp {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}.\\\Leftrightarrow {}&\mathrm { P} =\mathrm {C} \vee \mathrm {P} =\mathrm {D} \vee \angle {\mathrm {CPD} }=90^{\circ }.\end{整列}}}$

したがって、点P は直径CD を持つ円上にあります。

まず、比を満たす、と間の線分上の点を考えます。定義 と により 、角の二等分線定理 の逆から、角と は等しくなります。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}}$$${\displaystyle \alpha =\angle APC}$${\displaystyle \beta =\angle CPB}$

次に、比を満たす 延長線上の他の点を取ります。したがって、延長線上の任意の 他の点も取ります。再び、角の二等分線定理の逆により、線は外角 を二等分します。したがって、およびは等しく、 です。したがって、タレスの定理により、は直径が で ある円上に存在します。${\displaystyle D}$${\displaystyle AB}$$${\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AD|}{|BD|}}.}$$${\displaystyle Q}$${\displaystyle AP}$${\displaystyle PD}$${\displaystyle \angle QPB}$${\displaystyle \gamma =\angle BPD}$${\displaystyle \delta =\angle QPD}$${\displaystyle \beta +\gamma =90^{\circ }}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle CD}$

アポロニウス追跡問題は、ある地点Aから速度v _Aで出発する船が、別の地点Bから速度v _Bで出発する別の船を迎撃するかどうかを調べる問題です。2 隻の船が迎撃されるまでの最短時間は、直線経路によって計算されます。船の速度が一定に保たれている場合、速度比は μ で定義されます。両方の船が将来の地点Iで衝突または遭遇する場合、それぞれの距離は次の式で表されます。^[1]

${\displaystyle a=\mu b}$

両辺を二乗すると次のようになります。

${\displaystyle a^{2}=b^{2}\mu ^{2}}$

${\displaystyle a^{2}=x^{2}+y^{2}}$

${\displaystyle b^{2}=(d-x)^{2}+y^{2}}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=[(d-x)^{2}+y^{2}]\mu ^{2}}$

拡大中:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=[d^{2}+x^{2}-2dx+y^{2}]\mu ^{2}}$

さらなる拡張:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x^{2}\mu ^{2}+y^{2}\mu ^{2}+d^{2}\mu ^{2}-2dx\mu ^{2}}$

左側に移動します。

${\displaystyle x^{2}-x^{2}\mu ^{2}+y^{2}-y^{2}\mu ^{2}-d^{2}\mu ^{2}+2dx\mu ^{2}=0}$

因数分解:

${\displaystyle x^{2}(1-\mu ^{2})+y^{2}(1-\mu ^{2})-d^{2}\mu ^{2}+2dx\mu ^{2}=0}$

割り算 ： ${\displaystyle 1-\mu ^{2}}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}+{\frac {2dx\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}=0}$

正方形を完成させる:

${\displaystyle \left(x+{\frac {d\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}\right)^{2}-{\frac {d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}-{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}+y^{2}=0}$

非平方項を右辺に移動します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x+{\frac {d\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}\right)^{2}+y^{2}&={\frac {d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}+{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}\\&={\frac {d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}+{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}{\frac {(1-\mu ^{2})}{(1-\mu ^{2})}}\\&={\frac {d^{2}\mu ^{4}+d^{2}\mu ^{2}-d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}\\&={\frac {d^{2}\mu ^{2}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}\end{aligned}}}$

それから：

${\displaystyle \left(x+{\frac {d\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {d\mu }{1-\mu ^{2}}}\right)^{2}}$

したがって、その点は、アポロニウスによって定義された円上に存在し、その開始点が焦点となる必要があります。

アポロニアン追跡問題によって同じ 2 つの点AとBに対して定義されるが、2 つの速度の比率が異なる円は、互いに分離しており、平面全体をカバーする連続した族を形成します。この円族は、双曲鉛筆として知られています。別の円族、つまりAとB の両方を通過する円も鉛筆、より具体的には楕円鉛筆と呼ばれます。これらの 2 つのアポロニアン円の鉛筆は、互いに直角に交差し、双極座標系の基礎を形成します。各鉛筆内では、任意の 2 つの円は同じ根軸を持ちます。つまり、2 つの鉛筆の 2 つの根軸は垂直であり、一方の鉛筆の円の中心は、もう一方の鉛筆の根軸上にあります。

ユークリッド平面幾何学において、アポロニウスの問題は、平面上の 3 つの与えられた円に 接する円を作成することです。

3 つの与えられた円には、一般的に、それらに接する 8 つの異なる円があり、各解円は、3 つの与えられた円を異なる方法で囲むか除外します。つまり、各解では、3 つの円の異なるサブセットが囲まれます。

アポロニウスの問題を繰り返し解いて内接円を求めると、互いに接する円の間の隙間を任意に細かく埋めることができ、ライプニッツ・パッキングやアポロニアン・パッキングとも呼ばれるアポロニアン・ガスケットが形成される。^[2] このガスケットはフラクタルであり、自己相似性があり、次元dは正確にはわかっていないがおよそ 1.3 であり、^[3]これは正規の（または修正可能な）曲線の次元( d  = 1) よりも高いが、平面の次元 ( d = 2) よりも低い。アポロニアン・ガスケットは 17 世紀にゴットフリート・ライプニッツ によって初めて記述され、20 世紀のシェルピンスキーの三角形の曲線の前身である。^{[4]アポロニアン・ガスケットは他の数学の分野とも深いつながりがあり、たとえば、それは}クライン群 の極限集合である。^[5]円充填定理も参照。

アポロニウスの円は、任意の三角形 によって定義される3 つの特別な円を表すこともあります。円は、三角形の頂点を通り、他の 2 つの頂点およびまでの距離の比率が一定である唯一の円として定義されます(上記のアポロニウスの円の定義を参照)。同様に、円は、三角形の頂点を通り、他の 2 つの頂点およびまでの距離の比率が一定である唯一の円として定義され、円についても同様です。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1},{\mathcal {C}}_{2},{\mathcal {C}}_{3}}$${\displaystyle \mathrm {A_{1}A_{2}A_{3}} }$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$${\displaystyle \mathrm {A_{1}} }$${\displaystyle \mathrm {A_{2}} }$${\displaystyle \mathrm {A_{3}} }$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$${\displaystyle \mathrm {A_{2}} }$${\displaystyle \mathrm {A_{1}} }$${\displaystyle \mathrm {A_{3}} }$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{3}}$

3 つの円はすべて、三角形の外接円と直交します。3 つの円はすべて、三角形の等力点およびと呼ばれる 2 つの点を通過します。これらの共通交点を結ぶ線は、 3 つの円すべての根軸です。2 つの等力点は、三角形の 外接円に対して互いに逆になっています。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{\prime }}$

これら 3 つの円の中心は 1 本の線 (ルモワーヌ線) 上にあります。この線は、等力点によって決まる線である根軸に垂直です。

ウィキメディア・コモンズには、アポロニウスのサークルに関するメディアがあります。

• アポロニウスポイント
• 楕円

• Ogilvy, CS ( 1990) Excursions in Geometry、ドーバー。ISBN 0-486-26530-7。 
• ジョンソン、RA（1960）「上級ユークリッド幾何学」、ドーバー。