シュワルツ微分

数学 において、シュヴァルツ微分は、メビウス変換に対して不変な微分に似た演算子である。したがって、シュヴァルツ微分は複素射影直線の理論、特にモジュラー形式と超幾何関数の理論で現れる。シュヴァルツ微分は、単葉関数、等角写像、タイヒミュラー空間の理論で重要な役割を果たす。ドイツの数学者ヘルマン・シュヴァルツにちなんで名付けられた。

複素変数zを1つ持つ正則関数 fのシュワルツ微分は次のように定義される。

${\displaystyle (Sf)(z)=\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)'-{\frac {1}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}.}$

同じ式は、 1つの実変数を持つC ³関数のシュワルツ微分も定義します。別の表記法としては、

${\displaystyle \{f,z\}=(Sf)(z)}$

頻繁に使用されます。

メビウス変換のシュワルツ微分

${\displaystyle g(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

はゼロである。逆に、メビウス変換はこの性質を持つ唯一の関数である。したがって、シュワルツ微分は関数がメビウス変換にならない度合いを正確に測定する。^[1]

g がメビウス変換である場合、 g の fの合成はfと同じシュワルツ微分を持ちます。一方、f  o  gのシュワルツ微分は連鎖律によって与えられます。

${\displaystyle (S(f\circ g))(z)=(Sf)(g(z))\cdot g'(z)^{2}.}$

より一般的には、十分に微分可能な関数fとgに対して

${\displaystyle S(f\circ g)=\left((Sf)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+Sg.}$

fとgが滑らかな実数値関数である場合、これは負（または正）のシュワルツ関数のすべての反復が負（または正）のままになることを意味し、これは1次元ダイナミクスの研究で有用な事実である。^[2]

2つの複素変数の機能の導入^[3]

${\displaystyle F(z,w)=\log \left({\frac {f(z)-f(w)}{zw}}\right),}$

その2番目の混合偏微分は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F(z,w)}{\partial z\,\partial w}}={f^{\prime }(z)f^{\prime }(w ) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (zw)^{2}},}$

シュワルツ導関数は次の式で与えられる。

${\displaystyle (Sf)(w)=\left.6\cdot {\partial ^{2}F(z,w) \over \partial z\,\partial w}\right\vert _{z=w}.}$

シュワルツ微分は、従属変数と独立変数を入れ替えるだけの簡単な逆変換式を持つ。

${\displaystyle (Sw)(v)=-\left({\frac {dw}{dv}}\right)^{2}(Sv)(w)}$

またはより明確に言えば、これは上記の連鎖律から導かれます。 ${\displaystyle Sf+(f')^{2}((Sf^{-1})\circ f)=0}$

ウィリアム・サーストンは、シュワルツ微分を、共形写像がメビウス変換からどれだけ離れているかの尺度として解釈している。^[1]を の近傍における共形写像とすると、が で同じ0、1、2次の微分を持つ唯一のメビウス変換が存在する。${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle M,f}$${\displaystyle z_{0}.}$

さて、を明示的に解くには、の場合を解くだけで十分です。とし、の最初の 3 つの係数がに等しくなるように を解きます。これを 4 番目の係数に代入すると、 が得られます。 ${\displaystyle (M^{-1}\circ f)(z-z_{0})=z_{0}+(z-z_{0})+{\tfrac {1}{6}}a(z -z_{0})^{3}+\cdots .}$${\displaystyle a,}$${\displaystyle z_{0}=0.}$${\displaystyle M^{-1}(z)={}}$${\displaystyle (Az+B)/(Cz+1),}$${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle M^{-1}\circ f}$${\displaystyle 0,1,0.}$${\displaystyle a=(Sf)(z_{0})}$

複素平面を平行移動、回転、拡大縮小した後、0 の近傍で。3 次まで、この関数は半径の円を、 で定義されるパラメトリック曲線にマッピングします。この曲線は、4 次まで、半軸とを持つ楕円です。${\displaystyle (M^{-1}\circ f)(z)={}}$${\displaystyle z+z^{3}+O(z^{4})}$${\displaystyle r}$${\displaystyle (r\cos \theta +r^{3}\cos 3\theta ,r\sin \theta +r^{3}\sin 3\theta ),}$${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ].}$${\displaystyle r+r^{3}}$${\displaystyle |rr^{3}|}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(r\cos \theta +r^{3}\cos 3\theta )^{2}}{(r+r^{3})^{2} }}+{\frac {(r\sin \theta +r^{3}\sin 3\theta )^{2}}{(rr^{3})^{2}}}&={\frac {1+8r^{4}\sin ^{2}(2\theta )+O(r^{6})}{(1-r^{4})^{2}}}\\[5mu] &\rightarrow 1+8r^{4}\sin ^{2}(2\theta )+O(r^{6})\end{aligned}}}$$

として${\displaystyle r\rightarrow 0.}$

メビウス変換は常に円を円または線にマッピングするため、離心率はメビウス変換から の偏差を測定します。${\displaystyle f}$

実パラメータ の実数値関数 である線形 2 階常微分方程式 を考えます。を 2 次元の解空間とします。 に対して、を評価関数 とします。の領域の各点に対して、写像はの 1 次元線形部分空間を与えます。つまり、カーネルは実数直線 から実数射影直線への写像を定義します。この写像のシュワルツ関数は明確に定義されており、実際 と等しくなります(Ovsienko & Tabachnikov 2005)。 $${\displaystyle x''(t)+p(t)x(t)=0}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {ev} _{t}:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {ev} _{t}(x)=x(t)}$${\displaystyle t\mapsto \operatorname {ker} (\operatorname {ev} _{t})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 2p(t)}$

シュワルツのこの解釈により、 への共通の開区間の 2 つの微分同相写像が同じシュワルツを持つ場合、それらは、同じ微分方程式の解の 2 次元ベクトル空間に作用する一般線型群の要素、つまり の分数線型変換によって (局所的に) 関連付けられます。 ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$

あるいは、複素平面上の2次線形常微分方程式を考える^[4]

${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+Q(z)f(z)=0.}$

とを2つの線形独立な正則解とする。このとき比は ${\displaystyle f_{1}(z)}$${\displaystyle f_{2}(z)}$ ${\displaystyle g(z)=f_{1}(z)/f_{2}(z)}$

${\displaystyle (Sg)(z)=2Q(z)}$

および が 定義されている領域上で、および となります。逆もまた真です。つまり、そのようなgが存在し、それが単連結領域上で正則である場合、2 つの解とが見つかります。さらに、これらは共通のスケール係数 を除いて一意です。${\displaystyle f_{1}(z)}$${\displaystyle f_{2}(z)}$${\displaystyle f_{2}(z)\neq 0.}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$

線形 2 次常微分方程式を上記の形式にすることができる場合、結果として得られるQ は方程式の Q 値と呼ばれることがあります。

ガウス超幾何微分方程式は上記の形式にすることができ、したがって超幾何方程式の解のペアはこのように関連していることに注意してください。

fが単位円D上の正則関数である場合、 W. Kraus (1932)とNehari (1949)は、 fが単葉であるための必要条件は^[5]であることを証明した。

${\displaystyle |S(f)|\leq 6(1-|z|^{2})^{-2}.}$

逆に、f ( z )がD上の 正則関数で、

${\displaystyle |S(f)(z)|\leq 2(1-|z|^{2})^{-2},}$

そしてネハリはfが一価であることを証明した。^[6]

特に、ユニバレント性の十分条件は^[7]

${\displaystyle |S(f)|\leq 2.}$

シュワルツ微分とそれに関連する2階常微分方程式は、上半平面または単位円と、円弧または直線である複素平面上の任意の有界多角形との間のリーマン写像を決定するために使用できます。直線の辺を持つ多角形の場合、これはシュワルツ-クリストッフェル写像に簡約され、シュワルツ微分を使用せずに直接導くことができます。積分定数として生じる付属パラメータは、2階微分方程式の固有値に関連しています。フェリックス・クラインは、1890年にすでにラメ微分方程式の観点から四辺形の場合を研究していました。^{[8] [9] [10]}

Δ を、角度が時計回りの円弧多角形とします。f  : H → Δ を、境界間の写像に連続的に拡張する正則写像とします。頂点は実軸上の点に対応します。すると、xが実数ですべての点a _iと異なる場合、 p ( x ) = S ( f )( x )は実数値になります。シュワルツの反射原理により、p ( x ) は、 a _iに二重極を持つ複素平面上の有理関数に拡張されます。 ${\displaystyle \pi \alpha _{1},\ldots ,\pi \alpha _{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle p(z)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(1-\alpha _{i}^{2})}{2(z-a_{i})^{2}}}+{\frac {\beta _{i}}{z-a_{i}}}.}$

実数β _{i は}補助パラメータと呼ばれます。これらは3つの線形制約に従います。

${\displaystyle \sum \beta _{i}=0}$

${\displaystyle \sum 2a_{i}\beta _{i}+\left(1-\alpha _{i}^{2}\right)=0}$

${\displaystyle \sum a_{i}^{2}\beta _{i}+a_{i}\left(1-\alpha _{i}^{2}\right)=0}$

これは、 p ( z )のz = ∞ の周りの展開において、 との係数がゼロになることに対応します。すると、写像f ( z )は次のように書くことができます 。${\displaystyle z^{-1},z^{-2}}$${\displaystyle z^{-3}}$

${\displaystyle f(z)={u_{1}(z) \over u_{2}(z)},}$

ここで、およびは線形2階常微分方程式の線形独立な正則解である。 ${\displaystyle u_{1}(z)}$${\displaystyle u_{2}(z)}$

${\displaystyle u^{\prime \prime }(z)+{\tfrac {1}{2}}p(z)u(z)=0.}$

n −3 個の線形独立な付属パラメータがありますが、実際には決定するのが難しい場合があります。

三角形の場合、n = 3のとき、補助パラメータはありません。常微分方程式は超幾何微分方程式と同等であり、f ( z ) はシュワルツの三角形関数であり、超幾何関数で表すことができます。

四辺形の場合、補助パラメータは1つの独立変数 λに依存する。適切なq ( z )を選んでU ( z ) = q ( z ) u ( z )と書くと、常微分方程式は次のようになる。

${\displaystyle a(z)U^{\prime \prime }(z)+b(z)U^{\prime }(z)+(c(z)+\lambda )U(z)=0.}$

したがって、 は区間 上のSturm–Liouville 方程式の固有関数です。 Sturm の分離定理により、 λの非零の力は最低の固有値になります。 ${\displaystyle q(z)u_{i}(z)}$${\displaystyle [a_{i},a_{i+1}]}$${\displaystyle u_{2}(z)}$

普遍タイヒミュラー空間は、単位円板D、または同等の上半平面Hの、それ自身への実解析的 準等角写像の空間として定義され、2 つの写像は、境界上で一方が他方からメビウス変換との合成によって得られる場合、同等であるとみなされる。D をリーマン球面の下半球と同一視すると、下半球の任意の準等角自己写像f は、上半球のそれ自身への等角写像に自然に対応する。実際、はベルトラミ微分方程式の解の上半球への制限として決定される。 ${\displaystyle {\tilde {f}}}$${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial {\bar {z}}}}=\mu (z){\frac {\partial F}{\partial z}},}$

ここでμは次のように定義される有界測定関数である。

${\displaystyle \mu (z)={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial z}}}$

下半球では 0 に拡張され、上半球では 0 に拡張されます。

リップマン・バースは上半球をDと同一視し、シュワルツ微分を用いて写像を定義した。

${\displaystyle g=S({\tilde {f}}),}$

これは、一様ノルムを持つD上の有界正則関数gの空間の開部分集合Uに普遍タイヒミュラー空間を埋め込む。フレデリック・ゲーリングは1977年に、 Uが一価関数のシュワルツ微分の閉部分集合の内部であることを示した。^{[11] [12] [13]}

種数が1より大きいコンパクトなリーマン面 Sの場合、その普遍被覆空間は、その基本群Γがメビウス変換によって作用する単位円板Dである。Sのタイヒミュラー空間は、Γの下での普遍タイヒミュラー空間不変量の部分空間と同一視できる。正則関数gは、次の性質を持つ。

${\displaystyle g(z)\,dz^{2}}$

はΓの下で不変なので、S上の二次微分を決定します。このようにして、 Sの Teichmüller 空間は、S上の二次微分による有限次元複素ベクトル空間の開部分空間として実現されます。

変換プロパティ

${\displaystyle S(f\circ g)=\left(S(f)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+S(g).}$

シュワルツ微分は、円上の2次密度のモジュールに係数を持つ円の微分同相群の連続1コサイクルまたは交差準同型として解釈できる。 ^[14] F _λ ( S ¹ )をS ¹上のλ次テンソル密度の空間と する。S 1^の向き保存微分同相群Diff( S ¹ )は、プッシュフォワードを介してF _λ ( S ¹ )に作用する。fがDiff( S ¹ )の要素である場合、写像を考える。

${\displaystyle f\to S(f^{-1}).}$

群コホモロジーの言語では、上記の鎖状の規則は、この写像がDiff( S ¹ )上の1-コサイクルで、係数がF ₂ ( S ¹ )にあることを示しています。実際、

${\displaystyle H^{1}({\text{Diff}}(\mathbf {S} ^{1});F_{2}(\mathbf {S} ^{1}))=\mathbf {R} }$

そして、コホモロジーを生成する1-コサイクルはf → S ( f ⁻¹ )である。1-コホモロジーの計算は、より一般的な結果の特殊な場合である。

${\displaystyle H^{1}({\text{Diff}}(\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1}))=\mathbf {R} \,\,\mathrm {for} \,\,\lambda =0,1,2\,\,\mathrm {and} \,\,(0)\,\,\mathrm {otherwise.} }$

Gが群でM がG加群の場合、 G のMへの交差準同型c を定義する恒等写像は、群の標準準同型写像で表現できることに注意されたい。これは、Gの半直積への準同型 𝜙 にエンコードされ、 𝜙 とGへの射影の合成が恒等写像となる。対応は写像C ( g ) = ( c ( g ), g )による。交差準同型写像はベクトル空間を形成し、その部分空間として、M内のmに対する共境界交差準同型b ( g ) = g ⋅ m − mを含む。単純な平均化の議論から、Kがコンパクト群で、K が連続的に作用する位相ベクトル空間Vの場合、高次のコホモロジー群はm > 0に対してH ^m ( K , V ) = (0)が消えることが示される。特に、 χ が 1 のコサイクルの場合、 ${\displaystyle M\rtimes G}$${\displaystyle M\rtimes G}$

${\displaystyle \chi (xy)=\chi (x)+x\cdot \chi (y),}$

yについて平均し、 K上のハール測度の左不変量を用いると、

${\displaystyle \chi (x)=m-x\cdot m,}$

と

${\displaystyle m=\int _{K}\chi (y)\,dy.}$

したがって、平均化によって、 Rot( S ¹ )のxに対してc が正規化条件c ( x ) = 0 を満たすと仮定できます。 Gの任意の要素x がc ( x ) = 0 を満たす場合、C ( x ) = (0, x )であることに注意してください。 しかし、C は準同型なので、 C ( xgx ⁻¹ ) = C ( x ) C ( g ) C ( x ) ⁻¹となり、c は同値条件c ( xgx ⁻¹ ) =  x  ⋅  c ( g )を満たします。 したがって、 Rot( S ¹ )に対してコサイクルがこれらの正規化条件を満たすと仮定できます。 実際、x がSU(1,1)に対応するメビウス変換である場合はいつでも、シュワルツ微分は消えます。以下で説明する他の2つの¹サイクルはRot( S1 )( λ  =0,1)でのみ消滅します。

この結果の無限小版は、滑らかなベクトル場のリー代数であるVect( S ¹ )に対して 1-コサイクルを与え、したがって三角多項式ベクトル場の部分代数であるWitt 代数に対しても 1-コサイクルを与える。実際、 Gがリー群で、 GのMへの作用が滑らかな場合、リー代数の対応する準同型 (恒等関数における準同型の導関数) を取ることで得られる交差準同型のリー代数版が存在する。これはDiff( S ¹ )に対しても意味を成し、1-コサイクルにつながる 。

${\displaystyle s\left(f\,{d \over d\theta }\right)={d^{3}f \over d\theta ^{3}}\,(d\theta )^{2}}$

これは、

${\displaystyle s([X,Y])=X\cdot s(Y)-Y\cdot s(X).}$

リー代数の場合、共境界写像は、M内のmに対してb ( X ) = X ⋅ mという形式になります。どちらの場合も、1-コホモロジーは共境界を法とする交差準同型写像の空間として定義されます。群準同型とリー代数準同型の間の自然な対応は、「ファン・エスト包含写像」につながります。

${\displaystyle H^{1}(\operatorname {Diff} (\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1}))\hookrightarrow H^{1}(\operatorname {Vect} (\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1})),}$

このようにして、計算はリー代数コホモロジーの計算に還元できます。連続性により、これはウィット代数の交差準同型 𝜙 のF _λ ( S ¹ )への計算に還元されます。群交差準同型に対する正規化条件は、 𝜙 に対して次の追加条件を意味します。

${\displaystyle \varphi (\operatorname {Ad} (x)X)=x\cdot \varphi (X),\,\,\varphi (d/d\theta )=0}$

Rot ⁽ S1 )におけるxについて。

Kac & Raina (1987)の慣例に従うと、ウィット代数の基底は次のように与えられる。

${\displaystyle d_{n}=ie^{in\theta }\,{d \over d\theta }}$

したがって、[ d _m , d _n ] = ( m – n ) d m _{+ nとなる。F λ} ( S ¹ )の複素化の基底は次のように与えられる。

${\displaystyle v_{n}=e^{in\theta }\,(d\theta )^{\lambda },}$

となることによって

${\displaystyle d_{m}\cdot v_{n}=-(n+\lambda m)v_{n+m},\,\,g_{\zeta }\cdot v_{n}=\zeta ^{n}v_{n},}$

g _ζに対してRot( S ¹ ) = Tである。これにより、適切な係数a _nに対して𝜙( d _n ) = a _n ⋅ v _{n が} 強制される。交差準同型条件 𝜙([ X , Y ]) = X 𝜙( Y ) – Y 𝜙( X )はa _nに対して再帰関係を与える。

${\displaystyle (m-n)a_{m+n}=(m+\lambda n)a_{m}-(n+\lambda m)a_{n}.}$

条件𝜙( d / d θ) = 0 は、a ₀ = 0を意味します。この条件と再帰関係から、スカラー倍数まで、λが0、1、または2に等しいときに、これは唯一の非ゼロ解を持ち、それ以外の場合はゼロ解のみを持つことがわかります。λ = 1の解は、グループ1コサイクルに対応します。λ = 0の解は、グループ1コサイクル𝜙 ₀ ( f ) = log  f'に対応します。λ = 0、1、2の対応するリー代数1コサイクルは、スカラー倍数まで次のように与えられます。 ${\displaystyle \varphi _{1}(f)=f^{\prime \prime }/f^{\prime }\,d\theta }$

${\displaystyle \varphi _{\lambda }\left(F{d \over d\theta }\right)={d^{\lambda +1}F \over d\theta ^{\lambda +1}}\,(d\theta )^{\lambda }.}$

^{交差準同型は、} Diff( S1 )とそのリー代数Vect( S1 )の中心拡大、いわゆるヴィラソロ代数^を生じます。

群Diff( S ¹ )とその中心拡大は、タイヒミュラー理論や弦理論の文脈でも自然に現れる。^[15]実際、Dの準共形自己写像によって誘導されるS ¹の同相写像は、まさにS ¹の準対称同相写像である。これらは、クロス比が1/2である 4 つの点をクロス比が 1 または 0 に近い点に送らない同相写像である。境界値を取ると、普遍タイヒミュラーは、準対称同相写像の群QS( S ¹ )をメビウス変換のサブグループMoeb( S ¹ )で割った商と同一視できる。(これは、 Cの準円の空間として自然に実現することもできる。)

${\displaystyle \operatorname {Moeb} (\mathbf {S} ^{1})\subset \operatorname {Diff} (\mathbf {S} ^{1})\subset {\text{QS}}(\mathbf {S} ^{1})}$

等質空間 Diff( S1 )/Moeb( S1 )は^{、自然に普遍タイヒミュラー空間}の部分空間である。また、自然に複素多様体であり、これと他の自然な幾何学的構造は、タイヒミュラー空間上のものと互換性がある。Diff ( S1 )のリー代数の双対は^、S1上のヒル作用素の空間と同一視できる^。

${\displaystyle {d^{2} \over d\theta ^{2}}+q(\theta ),}$

Diff( S ¹ )の共役作用はシュワルツ微分を呼び出す。微分同相写像fの逆はヒル作用素を

${\displaystyle {d^{2} \over d\theta ^{2}}+f^{\prime }(\theta )^{2}\,q\circ f(\theta )+{\tfrac {1}{2}}S(f)(\theta ).}$

Diff( S ¹ )上で定義されるシュワルツ微分と他の 1 次元コサイクルは、複素平面上の開集合間の双正則写像に拡張できます。この場合、局所的な記述は解析擬群の理論につながり、1910 年代にエリー・カルタンによって初めて研究された無限次元群とリー代数の理論を形式化します。これは、リーマン面上のアフィン構造と射影構造、およびガンニング、シファー、ホーリーによって議論されたシュワルツ接続または射影接続の理論 に関連しています。

C上の正則擬似群 Γは、 Cの開集合UとVの間の双正則同型写像fの集合から成り、これは各開集合Uに対する恒等写像を含み、開集合への制限に関して閉じており、合成に関して閉じており (可能な場合)、逆写像に関して閉じており、双正則同型がΓに局所的に含まれる場合、それもΓに含まれる。擬似群は、 Cのzとw が与えられたときに、f ( z ) = wとなるΓの双正則同型写像f が存在する場合、推移的であると言われる。推移擬似群の特別なケースは、平坦である、つまりすべての複素変換T _b ( z ) = z + b を含むものである。Gを、 a ₁ ≠ 0 となる形式的冪級数変換F (z) = a ₁ z + a ₂ z ² + ....の合成に関する群とする。正則擬群Γ はGの部分群A 、すなわちΓの元fの0 (または「ジェット」 )に関するテイラー級数展開によって定義される部分群を定義し、 f (0) = 0 とする。逆にΓが平坦であれば、 Aによって一意に決定される。つまり、 U上の双正則写像f がΓに含まれるのは、Uのすべてのaに対してT _{– f ( a )} ∘ f ∘ T _a の冪級数がAに含まれる場合のみである。言い換えると、aにおけるfの形式的な冪級数は、 Aの元でz をz − aに置き換えたもので与えられる。または、もっと簡単に言えば、 fのすべてのジェットがAに含まれる。^[16]

群Gは、項z ^kまで切断された冪級数をとることによって得られるkジェットの群G _kへの自然な準同型を持つ。この群は、次数kの多項式の空間に忠実に作用する（ kより高い次数の項は切断する）。切断は同様に、G _kのG _{k − 1}への準同型を定義する。核は、f ( z ) = z + bz ^kとなる写像fから構成されるため、アーベル的である。したがって、群G _{k は}解くことができ、これは単項式の基底が三角形状であることからも明らかである。

平坦擬似群Γ は、 AのG _kへの準同型性が忠実であり、像が閉じた部分群であるような有限の整数kが存在する場合、 「微分方程式によって定義される」と言われます。そのようなk のうち最小のものはΓの位数であると言われています。このようにして生じるすべての部分群Aの完全な分類があり、これは、 AのG _kへの像が複素部分群であり、G _{1 が}C * に等しいという追加の仮定を満たします。これは、擬似群にはa ≠ 0に対してスケーリング変換S _a ( z ) = azも含まれることを意味します。つまり、Aにはa ≠ 0であるすべての多項式azが含まれます。

この場合の唯一の可能性は、k = 1かつA = { az : a ≠ 0 } であるか、k = 2かつA = { az /(1− bz ) : a ≠ 0}であるかのどちらかです。前者は、複素メビウス群のアフィン部分群によって定義される擬似群（ az + b変換は∞ を固定）であり、後者は複素メビウス群全体によって定義される擬似群です。

この分類は、リー代数の問題に簡単に帰着できます。なぜなら、Gの形式リー代数は、形式ベクトル場F ( z ) d / dzで構成され、 Fは形式冪級数だからです。これには、 d _n = z ^{n +1} d / dz ( n ≥ 0)を基底とする多項式ベクトル場が含まれ、これはウィット代数の部分代数です。リー括弧は[ d _m , d _n ] = ( n − m ) d _{m + n}で与えられます。また、これらは微分によって次数≤ kの多項式の空間に作用します。これはC [[ z ]]/( z ^{k +1} )と同一視できます。また、 d ₀、...、d _{k – 1}の像は、 G _kのリー代数の基底を与えます。Ad( S _a ) d _n = a ^{– n} d _nであることに注意してください。Aのリー代数を で表すと、これはG _kのリー代数の部分代数と同型である。これはd _{0 を}含み、 Ad( S _a )の下で不変である。はウィット代数のリー部分代数であるため、唯一の可能性は、それが基底d ₀または基底d ₀、d _n（n ≥ 1 ）を持つことである。対応する群元は、f ( z )= z + bz ^{n +1} + ...の形式である。これを平行移動と組み合わせると、T _{– f (ε)} ∘ f ∘ T _ε ( z ) = cz + dz ² + ... （ c、d ≠ 0 ）となる。n = 2でない限り、これは部分群Aの形式と矛盾するため、n = 2となる。^[17]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

シュワルツ微分は、複素メビウス群の擬群と関連している。実際、f がV上で定義された双正則写像であれば、𝜙 ₂ ( f ) = S ( f )はV上の二次微分である。gがU上で定義された双同型写像でg ( V ) ⊆ Uであれば、S ( f ∘ g )とS ( g )はU上の二次微分である。さらに、 S ( f ) はV上の二次微分であるため、g _∗ S (f)もU上の二次微分である。恒等式

${\displaystyle S(f\circ g)=g_{*}S(f)+S(g)}$

は、正則2次微分に係数を持つ双正則写像の擬群に対する1-コサイクルの類似体である。同様に、およびは、正則関数と正則微分に値を持つ同じ擬群に対する1-コサイクルである。一般に、1-コサイクルは任意の次数の正則微分に対して定義できるため、 ${\displaystyle \varphi _{0}(f)=\log f^{\prime }}$${\displaystyle \varphi _{1}(f)=f^{\prime \prime }/f^{\prime }}$

${\displaystyle \varphi (f\circ g)=g_{*}\varphi (f)+\varphi (g).}$

上記の恒等式を包含写像jに適用すると、 𝜙( j ) = 0となる。したがって、f _{1 が}f ₂の制限で、 f ₂ ∘ j = f ₁となる場合、𝜙( f ₁ ) = 𝜙 ( f ₂ )となる。一方、正則ベクトル場（ベクトル場の指数関数）によって定義される局所正則フローをとると、局所双正則写像の正則擬群が正則ベクトル場によって生成される。1-コサイクル 𝜙 が適切な連続性または解析性条件を満たす場合、制限と互換性のある正則ベクトル場の 1-コサイクルが誘導される。したがって、 C上の正則ベクトル場の 1-コサイクルが定義される：^[18]

${\displaystyle \varphi ([X,Y])=X\varphi (Y)-Y\varphi (X).}$

基底d _n = z ^{n +1} d / dz ( n ≥ −1)を持つ多項式ベクトル場のリー代数に限定すると、これらはリー代数コホモロジーと同じ方法を使用して決定できます (交差準同型に関する前のセクションのように)。そこでは、 k次密度に作用するウィット代数全体の計算でしたが、ここではk次正則 (または多項式) 微分に作用する部分代数のみを計算します。再び、 Cの回転で 𝜙 が消えると仮定すると、スカラー倍数まで一意の非ゼロ 1 共環があります。同じ微分公式によって与えられる次数 0、1、2 の微分に対してのみ

${\displaystyle \varphi _{k}\left(p(z){d \over dz}\right)=p^{(k+1)}(z)\,(dz)^{k},}$

ここでp ( z )は多項式です。

1-コサイクルは、𝜙 _k ( f ) = 0によって 3 つの擬似群を定義します。これにより、スケーリング群 ( k = 0 )、アフィン群 ( k = 1 )、および複素メビウス群全体 ( k = 2 ) が与えられます。したがって、これらの 1-コサイクルは、擬似群を定義する特殊な常微分方程式です。さらに重要なことに、これらを使用して、リーマン面上の対応するアフィン構造または射影構造と接続を定義できます。 Γ が R n 上の滑らかな写像の擬似群である場合、位相空間^Mは、 M の開集合 V i から R n の開集合 U i への同相写像であるチャート f のコレクションを持ち、空でないすべて_の交差^に対して、f i ₍ U i ∩ U _j )から_f j ( _U i ∩ _U j )_への自然_写像がΓにある場合、Γ構造を持つと言われます 。これは、 Γ が局所微分同相写像から構成される場合、滑らかなn多様体の構造を定義し、 n = 2の場合（つまりR ² ≡ Cであり、Γ が双正則写像から構成される場合）にリーマン面の構造を定義します。Γがアフィン擬群である場合、Mはアフィン構造を持つと言われます。また、 Γがメビウス擬群である場合、 M は射影構造を持つと言われています。したがって、ある格子Λ ⊂ Cに対してC /Λとして与えられる種数 1 の曲面はアフィン構造を持ちます。また、上半平面または単位円板をフックス群で割った商として与えられる種数p > 1 の曲面は射影構造を持ちます。^[19]

1966年にガニングは、このプロセスを逆転させる方法を説明しています。種数p > 1の場合、シュワルツ微分𝜙2を使用して定義され、コホモロジーに関する標準的な結果を使用して証明された射影接続の存在を_使用して、普遍被覆面を上半平面または単位円板と同一視することができます（種数1の場合、アフィン接続と𝜙1_を使用して同様の結果が得られます）。^[19]

Osgood & Stowe (1992) は、共形多様体の写像に適用できる一般化について説明しています。この一般化では、シュワルツ微分が多様体 上の対称テンソルになります。 を、滑らかな計量テンソルを持つ次元 の滑らかな多様体とします。滑らかな微分同相写像は、ある滑らかな関数 に対してである場合に共形です。シュワルツは によって定義されます 。 ここではのLevi-Civita 接続、は接続 に関するヘッセ行列、はラプラス-ベルトラミ演算子( に関するヘッセ行列のトレースとして定義されます)です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle F:M\to M}$${\displaystyle F^{*}g=e^{2\varphi }g}$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle S_{g}(\varphi )=\nabla ^{2}\varphi -d\varphi \otimes d\varphi -{\frac {1}{n}}\left(\Delta \varphi -g(\nabla \varphi ,\nabla \varphi )\right)}$$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle g}$${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle \Delta \varphi }$${\displaystyle g}$

シュワルツ 変換は共形微分同相写像であり、その共形因子はシュワルツ変換が消える。 のメビウス変換の集合は、の共形群の閉じたリー部分群である。ユークリッド空間上のの解は、ユークリッド計量が定数であるとき、正確に次のようになる。共形因子は球面計量 を与える。そうでなければ、球または半空間または(それぞれ) 上の双曲ポアンカレ計量に対する共形因子である。 $${\displaystyle S_{g}(\varphi +\psi )=S_{g}(\varphi )+S_{e^{2\varphi }g}(\psi ).}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S_{g}(\varphi )=0}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \log[(1+|\mathbf {x} |^{2})^{-1}]}$${\displaystyle \log |(1-|\mathbf {x} |^{2})^{-1}|}$${\displaystyle \log |x_{n}^{-1}|}$

もう 1 つの一般化は、ラグランジアン グラスマン多様体(Ovsienko & Tabachnikov 2005)における正の曲線に適用されます。 が上の次元のシンプレクティック ベクトル空間であるとします。相補的なラグランジアン サブスペースのペアを固定します。 に相補的なラグランジアン サブスペースの集合は、(すべての に対して)に関して対称なマッピングの空間によってパラメータ化されます。 に相補的な任意のラグランジアン サブスペースは、そのようなテンソル に対してによって与えられます。したがって、曲線は、1 パラメータの対称テンソル族によって局所的に指定されます。が正定値の とき、曲線は正です。ラグランジアン シュワルツ多様体は と定義されます。これは、曲線と を関連付けるシンプレクティック変換がある場合に限り、 という特性を持ちます。 ${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle A,B\subset X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle H:A\to B}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega (a,H(a))=\omega (H(a),a)}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{a+H(a)|a\in A\}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H(u)}$${\displaystyle H'(u)}$$${\displaystyle S(H)=(H')^{-1/2}\left(H'''-{\tfrac {3}{2}}H''(H')^{-1}H''\right)(H')^{-1/2}.}$$${\displaystyle S(H)=S(G)}$${\displaystyle H(u)}$${\displaystyle G(u)}$

ラグランジアン シュワルツは、2 階微分方程式と関連しています。 ここで、は対称テンソルで、実変数に依存し、は曲線です。 を微分方程式の解の - 次元空間とします。 は対称なので、によって与えられる上の形式は に依存せず、したがってシンプレクティック構造を与えます。評価を関数とします。すると、の領域内の任意の に対して、 の核はのラグランジアン サブスペースなので、 の核は のラグランジアン グラスマン多様体内の曲線を定義します。この曲線のラグランジアン シュワルツは です。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+Q(t)x=0,}$$${\displaystyle Q(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega (x,y)=x(t)\cdot y'(t)-x'(t)\cdot y(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{t}:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{t}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle 2Q(t)}$

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