メビウスの幾何学

数学において、メビウス幾何学は幾何学の一分野、具体的には共形幾何学のサブ分野であり、拡張複素平面における幾何学的対象の研究を扱います。^{[ 1 ]}この分野は、ドイツの数学者アウグスト・フェルディナント・メビウス（1790-1868）にちなんで名付けられました。^{[ 2 ]}さらに、平面幾何学の研究も可能にします。^{[ 3 ]}

歴史的背景

メビウスはこの分野の基礎を築き、特に1827年の数学的研究「重心計算」（ Der barycentrische Calkul）でその功績を残しました。この研究の中で、彼は同次座標（無限遠点を含むことができる座標）を導入し、特に射影幾何学的変換について論じました。1858年には、片面のみの曲面であるメビウスの帯を発見しました。 ^{[ 2 ]}

20世紀初頭の3分の1頃、オーストリアの数学者ヴィルヘルム・ブラシュケは別のモデルを導入した。その利点は、微分同相群を記述された空間に埋め込むことにある。 $M(n)$ 線形写像のグループ。^{[ 4 ]}このモデルは、メビウス幾何学の分野をさらに発展させた。

非公式な紹介

非公式には、メビウス幾何学は、超球を再び超球に戻す幾何学的変換の研究です。エルランガープログラムによると、メビウス幾何学は、メビウス群が $S^{n}$ [ ⁴^]

アプリケーション

メビウス幾何学は様々な分野に応用されている。

コンピュータグラフィックスでは、2つの3次元形状を球面にマッピングし、2つの表面間の対応関係を定義することで、2つの3次元形状を比較するために使用されてきました。^{[ 5 ]}
メビウス幾何学は、理論物理学、特に特殊相対性理論にも応用されている。ローレンツ群とメビウス変換の関係を研究したところ、時空を支配する物理法則が天球上のメビウス群の数学と全く同じように機能することがわかった。つまり、高速で移動する観測者にとっての入射光線の視覚的な曲がりは、完全にメビウス幾何学の法則によって制御されるということである。^{[ 6 ]}
さらに、メビウス幾何学は建築にも応用されており、球体、円弧、その他のメビウス不変な幾何学的特徴を再現する分割面を作成できるため、建築設計において非常に価値がある。^{[ 7 ]}
さらに、航空宇宙や衛星通信などの工学分野にも応用できます。ここでは、メビウス変換モジュールを使用して、1D の静的ストリップを 2D の線形および放射状フィールドに拡張します。光学メビウス変換 (OMT) モジュールを使用すると、任意の単一の 1D スキャンから 2D スキャンへの変換が可能になります。^{[ 8 ]}
数学、特に球面幾何学における応用についても検討すべきである。メビウス変換は、球面上の特定の点をマッピングする能力を持ち、広大な円を大円に戻すことができる。この方法は、平面地図上に球面部分を表示するために地図作成にも使用されている。^{[ 1 ]}

意味

メビウス幾何学では、4つの異なる点間の特定の不変関係を研究するのに対し、計量幾何学では、2点間の距離に焦点が当てられます。メビウス幾何学は、これら4つの点のペアリングによって形成される幾何学的および代数的関係に基づいています。これら4つの点から、3つの異なる方法でペアに分割できます（例：4つの点をグループ化する）。 ${\textstyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ 2 点ずつのペアに分けます。これらの 3 つのペア (それぞれ 2 つの点から構成) を次のように呼びます。 $A,B$ そして $C$ 。

この分野は、メビウス変換の下で不変となる性質に焦点を当てている。^{[ 9 ]}

表記法

例

メビウスの変形

メビウス変換は、

$T(z):={\frac {az+b}{cz+d}}$ 。

一般的なルールは次のとおりです。 $ad-bc\neq 0$ 。

円の反転

メビウス変換は、円の反転の連続から生じる。 $I(z):=1/z$ これは反転と呼ばれます。マップは以下のように定義されます。

$\mathbb {C} ^{*}:=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ 。

そして、以下の条件が満たされる場合に限り、

$z=re^{it}\neq 0$

反転 $1/z=(1/(z{\bar {z}}))\cdot z=(1/r)\cdot e^{-it}$

単位円に関する反射から構成される

$re^{it}\mapsto {\frac {1}{r}}e^{it}$

そして、横軸に関する反射。次に、

$T(z):={\frac {az+b}{cz+d}}$ と $c\neq 0$

任意のメビウス変換では、 $A$ そして $B$ もし今

$A:={\frac {bc-ad}{c}}$ そして $B:={\frac {a}{c}}$ 、それから

$A\cdot {\frac {1}{cz+d}}+B={\frac {a(cz+d)+(bc-ad)}{c(cz+d)}}$

$={\frac {acz+ad+bc-ad}{c(cz+d)}}={\frac {az+b}{cz+d}}=T(z)$ 。

したがって、 $T$ 反転から構成されている。^{[ 11 ]}

リーマン球面のメビウス変換

リーマン球面

リーマン球面 $\mathbb {P} ^{1}$ は、拡張複素平面を表す一次元複素多様体であり、集合として定義できます。 $\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ [ ¹²^]

リーマン球面のメビウス変換

ここで、メビウス変換は次のように表される。

$\mu _{a,b,c,d}$ : $\mathbb {P} ^{1}\longmapsto \mathbb {P} ^{1}$ 。

これはリーマン球面の関数として定義される。 $\mathbb {P} ^{1}$ 以下の特徴によって規定される、それ自体について：

$\mu _{a,b,c,d}(z)$ $={\frac {az+b}{cz+d}}$ 。

これはすべての複素数に対して定義されます。 $z$ そのため

$cz+d\neq 0$ ; $\mu _{a,b,c,d}(-d/c)=\infty$ そして $\mu _{a,b,c,d}(\infty )=a/c$ もし $c\neq 0$ ; $\mu _{a,b,c,d}(\infty )=\infty$ もし $c=0$ 。

立体投影

立体投影は幾何学的な定式化である。固定点の補点と固定点の間に一対一の関係をもたらす。 $A$ 3次元ユークリッド空間の球面上と平面上のいくつかの点 $Z$ 中央を通る $C$ 球面の線分に垂直な $AC$ 。

まず、単位球面がある。 $\displaystyle S^{2}}$ で $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 定義すると、

$S^{2}=\{(u,v,w)\in \mathbb {R} ^{3}:u^{2}+v^{2}+w^{2}=1\}$ 。

さあ、

$\displaystyle \psi :S^{2}\setminus \{(0,0,-1)\}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

立体投影マッピングは、次のように決定される。

$\psi (u,v,w)=\left({\frac {u}{w+1}},{\frac {v}{w+1}}\right)$

すべてのポイントについて $(u,v,w)$ の $\displaystyle S^{2}}$ [ ¹³^]

参考文献

1 2 「メビウス変換」 . Wolfram Mathworld . 2026-07-09取得.
1 2 "アウグスト・フェルディナント・メビウス | 非ユークリッド幾何学、トポロジー、多面体 | ブリタニカ"。ブリタニカ百科事典。 2026年6月20日取得。
↑ "3.2: メビウス幾何学" . Mathematics LibreTexts . 2021-09-28 . 2026-06-20に取得.
1 2 「メビウス幾何学」。www.spektrum.de （ドイツ語）。 2026年6月20日取得。
↑バーデン、アレックス。クレイン、キーナン。ミーシャ・カジダン（2018年8月）。「メビウス登録」。コンピュータグラフィックスフォーラム。37 (5): 211–220。土井: 10.1111/cgf.13503。
↑ペンローズ、ロジャー (1999)。「相対性理論とメビウス変換」。アメリカ物理学ジャーナル。67 ( 4): 273–361。
↑ Vaxman, Amir; Müller, Christian; Weber, Ofir (2018年12月31日). "Canonical Möbius subdivision". ACM Transactions on Graphics . 37 (6): 1– 15. doi : 10.1145/3272127.3275007 . hdl : 1874/386978 .
↑ヤン、ドン。彼、チャン。呉、子佗。呉、立順。ユウ、シユアン。張燕峰（2025年9月）。「ビームステアリング次元を拡張するための光学メビウス変換モジュール」。光学およびレーザー技術。187 112784。Bibcode : 2025OptLT.18712784Y。土井：10.1016/j.optlastec.2025.112784。
↑ Foertsch, Thomas; Schroeder, Viktor (2010). "A Möbius Characterization of Metric Spheres". arXiv : 1008.3250 [ math.MG ].
↑ 「モジュラス」。アンダーグラウンド・マスマティクス。
1 2 「幾何学 K4b 講義ノート」（PDF）。ヴッパータール大学（ドイツ語）。
↑ 「リーマン球」。Wolfram Mathworld。
↑ 「メビウス変換と立体投影」(PDF)。 2020年4月18日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。

外部リンク

ヴィクトル・シュレーダー教授。「境界とメビウス幾何学」 ―講義ビデオ。INIセミナー室1（2017年）。YouTube https://www.youtube.com/watch?v=SZLn1ESBlcY
メビウス変換。シュトゥットガルト大学。https://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Komplexe_Analysis/Folien_Moebius-Transformation.pdf
ロルフ・スランケ。『初等メビウス幾何学 I』（2017年）。ベルリン・フンボルト大学。https ://www.math.hu-berlin.de/~sulanke/geo/emg1.pdf
ダグラス・アーノルド、ジョナサン・ログネス。明らかにされたメビウスの変換(2010)。 YouTube https://www.youtube.com/watch?v=0z1fIsUNhO4

さらに読む

ブラシュケ、W.：微分幾何学講義III。ユリウス・シュプリンガー出版、ベルリン、1929年。
Beardon, AF: 『離散群の幾何学』 Springer Verlag、ニューヨーク、1983年。
クルカルニ、RS;ピンコール、U.:等角幾何学。フリーダー。 Vieweg & Sohn、ブラウンシュヴァイク、1988 年。

[mathworld-mobius-1] 1 2 「メビウス変換」 . Wolfram Mathworld . 2026-07-09取得.

[Britannica-2] 1 2 "アウグスト・フェルディナント・メビウス | 非ユークリッド幾何学、トポロジー、多面体 | ブリタニカ"。ブリタニカ百科事典。 2026年6月20日取得。

[3] "3.2: メビウス幾何学" . Mathematics LibreTexts . 2021-09-28 . 2026-06-20に取得.

[Spektrum-4] 1 2 「メビウス幾何学」。www.spektrum.de （ドイツ語）。 2026年6月20日取得。

[5] バーデン、アレックス。クレイン、キーナン。ミーシャ・カジダン（2018年8月）。「メビウス登録」。コンピュータグラフィックスフォーラム。37 (5): 211–220。土井: 10.1111/cgf.13503。

[6] ペンローズ、ロジャー (1999)。「相対性理論とメビウス変換」。アメリカ物理学ジャーナル。67 ( 4): 273–361。

[7] Vaxman, Amir; Müller, Christian; Weber, Ofir (2018年12月31日). "Canonical Möbius subdivision". ACM Transactions on Graphics . 37 (6): 1– 15. doi : 10.1145/3272127.3275007 . hdl : 1874/386978 .

[8] ヤン、ドン。彼、チャン。呉、子佗。呉、立順。ユウ、シユアン。張燕峰（2025年9月）。「ビームステアリング次元を拡張するための光学メビウス変換モジュール」。光学およびレーザー技術。187 112784。Bibcode : 2025OptLT.18712784Y。土井：10.1016/j.optlastec.2025.112784。

[9] Foertsch, Thomas; Schroeder, Viktor (2010). "A Möbius Characterization of Metric Spheres". arXiv : 1008.3250 [ math.MG ].

[10] 「モジュラス」。アンダーグラウンド・マスマティクス。

[Wuppertal-11] 1 2 「幾何学 K4b 講義ノート」（PDF）。ヴッパータール大学（ドイツ語）。

[12] 「リーマン球」。Wolfram Mathworld。

[13] 「メビウス変換と立体投影」(PDF)。 2020年4月18日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。

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歴史的背景

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アプリケーション

意味

表記法

例

メビウスの変形

円の反転

リーマン球面のメビウス変換

リーマン球面

リーマン球面のメビウス変換

立体投影

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