レフシェッツの不動点定理

数学において、レフシェッツの不動点定理は、コンパクトな位相空間からその空間自体への連続写像の不動点を、そのホモロジー群への誘導写像のトレースを用いて数える公式である。この定理は、1926年に初めて提唱したソロモン・レフシェッツにちなんで名付けられている。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

カウントは、固定点インデックスと呼ばれる固定点における帰属重複度に従います。定理の弱いバージョンは、固定点のないマッピングが、かなり特殊な位相特性（円の回転など）を持つ必要があることを示すのに十分です。

定理を正式に述べると、

${\displaystyle f\colon X\rightarrow X\,}$

はコンパクトな三角空間からそれ自身への連続写像である。のレフシェッツ数を次のように 定義する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Lambda _{f}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \Lambda _{f}:=\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}\mathrm {tr} (H_{k}(f,\mathbb {Q} )),}$

によって誘導される線型写像の行列トレースの交代（有限）和、有理係数を持つの特異ホモロジー群。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle H_{k}(X,\mathbb {Q} )}$${\displaystyle X}$

レフシェッツの不動点定理の簡単なバージョンは、

${\displaystyle \Lambda _{f}\neq 0\,}$

には少なくとも 1 つの不動点があります。つまり、 となるが少なくとも 1 つ存在します。実際、レフシェッツ数はホモロジー レベルで定義されているため、 にホモトピックな任意の写像にも不動点があるという結論に拡張できます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)=x}$${\displaystyle f}$

ただし、逆は一般には当てはまらないことに注意してください。奇数次元球面上の恒等写像の場合のように、 が固定点を持つ 場合でも はゼロになる可能性があります。${\displaystyle \Lambda _{f}}$${\displaystyle f}$

まず、単体近似定理を適用することにより、に固定点がない場合、（おそらく を細分化した後） は固定点のない単体写像にホモトピックである（つまり、各単体を異なる単体に送る）ことが示されます。これは、の単体鎖複体上に誘導される線型写像の行列の対角値がすべてゼロでなければならないことを意味します。次に、一般に、レフシェッツ数は前述の線型写像の行列トレースの交代和を使用して計算することもできることに留意します（これは、オイラー特性がホモロジー群 に関して定義されるのとほぼ同じ理由で当てはまります。オイラー特性との関係については以下を参照してください）。固定点のない単体写像の特定のケースでは、対角値はすべてゼロであり、したがってトレースもすべてゼロです。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

この定理のより強い形式は、レフシェッツ・ホップ定理としても知られ、 が有限個の不動点しか持たない場合、 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{x\in \mathrm {Fix} (f)}\mathrm {ind} (f,x)=\Lambda _{f},}$

ここで はの不動点の集合であり、 は不動点 のインデックスを表します。^[1]この定理から、コンパクト微分多様体上のすべてのベクトル場は自然な方法で流れを誘導するため、ベクトル場に対するポアンカレ–ホップの定理が導かれます。任意の に対して は恒等写像にホモトピックな連続写像であり（したがって同じレフシェッツ数を持ちます）、不動点の小さなインデックスに対して はベクトル場の零点のインデックスに等しくなります。 ${\displaystyle \mathrm {Fix} (f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathrm {ind} (f,x)}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi (x,t)}$${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f_{t}(x)=\varphi (x,t)}$${\displaystyle t}$

有限CW複体上の恒等写像のレフシェッツ数は、それぞれが恒等行列として考えられ、各トレース項が適切なホモロジー群の次元に過ぎないことに気づけば簡単に計算できる。したがって、恒等写像のレフシェッツ数は空間のベッティ数の交代和に等しく、これはオイラー特性に等しい。したがって、 ${\displaystyle f_{\ast }}$ ${\displaystyle \chi (X)}$

${\displaystyle \Lambda _{\mathrm {id} }=\chi (X).\ }$

レフシェッツの不動点定理は、次元閉単位円からへのすべての連続写像には少なくとも 1 つの不動点がなければならないこと を述べるブラウワーの不動点定理を一般化したものです。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D^{n}}$${\displaystyle D^{n}}$

これは次のように見ることができます:はコンパクトかつ三角形化可能であり、 を除くそのホモロジー群はすべてゼロであり、すべての連続写像は恒等写像 を誘導し、そのトレースは 1 です。これらすべてを合わせると、任意の連続写像 に対して がゼロでないことが分かります。 ${\displaystyle D^{n}}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$${\displaystyle f_{*}\colon H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )\to H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \Lambda _{f}}$${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$

レフシェッツは (Lefschetz 1926) で不動点定理を発表しました。レフシェッツが注目したのは地図の不動点ではなく、現在地図の一致点と呼ばれている点でした。

2つの写像とが与えられたとき、向き付けられた多様体から同じ次元の向き付けられた多様体への写像のレフシェッツ一致数は次のように定義される。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \Lambda _{f,g}=\sum (-1)^{k}\mathrm {tr} (D_{X}\circ g^{*}\circ D_{Y}^{-1}\circ f_{*}),}$

ここで、は上記の通り、は有理係数を持つコホモロジー群上の によって誘導される準同型であり、および はそれぞれ、およびに対するポアンカレ双対同型です。 ${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle g_{*}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle D_{X}}$${\displaystyle D_{Y}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

レフシェッツは、一致数がゼロでない場合、 と には一致点があることを証明しました。彼は論文の中で、とを恒等写像とすると、より単純な結果が得られ、現在では不動点定理として知られていることを指摘しました。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X=Y}$${\displaystyle g}$

を有限体 上の元を持つ多様体として定義し、を の代数閉包への基底変換とします。のフロベニウス自己準同型(しばしば幾何学的フロベニウス、または単にフロベニウス) は と表記され 、座標 を持つ点を座標 を持つ点に写します。したがって、 の不動点は内の座標を持つの点とまったく同じです。そのような点の集合は と表記されます。この文脈ではレフシェッツの軌跡公式が成り立ち、次のように表されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle F_{q}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle x_{1}^{q},\ldots ,x_{n}^{q}}$${\displaystyle F_{q}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X(k)}$

${\displaystyle \#X(k)=\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} (F_{q}^{*}|H_{c}^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).}$

この式は、コンパクトな台を持つエタール コホモロジー上のフロベニウスのトレースを含み、は -進数体内の値を持ち、 はと互いに素な素数です。 ${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle q}$

が滑らかで等次元である場合、この式は、コホモロジー上の の逆として作用する算術フロベニウスによって書き直すことができます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi _{q}}$${\displaystyle F_{q}}$

${\displaystyle \#X(k)=q^{\dim X}\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} ((\Phi _{q}^{-1})^{*}|H^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).}$

この式には、コンパクトなサポートを持つコホモロジーではなく、通常のコホモロジーが含まれます。

レフシェッツのトレースの公式は、有限体上の 代数スタックに一般化することもできます。

• 不動点定理
• レフシェッツゼータ関数
• 正則レフシェッツ不動点式

• レフシェッツ、ソロモン(1926) 。「複体と多様体の交差と変換」。アメリカ数学会誌。28 (1): 1–49。doi : 10.2307/ 1989171。JSTOR 1989171。MR  1501331  。
• レフシェッツ、ソロモン( 1937) 。「不動点公式について」。 数学年報。38 ( 4): 819–822。doi :10.2307/1968838。JSTOR 1968838。MR  1503373。

• 「レフシェッツの公式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]