リング上の射影直線

数学において、環上の射影直線は、体上の射影直線の概念の拡張です。環A (1 を含む) が与えられたとき、 A上の射影直線 P ¹ ( A )は、射影座標によって特定される点から構成されます。A ^{× を}Aの単位群とします。A × Aのペア( a、b )と( c、d )は、 A ^×にuが存在してua = cかつub = dであるときに関連します。この関係は同値関係です。一般的な同値類はU [ a、b ]と書きます。

P ¹ ( A ) = { U [ a , b ] | aA + bA = A }、つまり、aとbによって生成される片側イデアルがAのすべてである 場合、 U [ a , b ]は射影直線上にあります。

射影直線 P ¹ ( A ) にはホモグラフィ群が備わっている。ホモグラフィは、A上の行列環とその単位群V を使用して次のように表現される: cがA ^×の中心Z( A ^× ) に含まれる場合、行列のP ¹ ( A ) への群作用は単位行列の作用と同じになる。このような行列は、Vの正規部分群Nを表す。 P ¹ ( A )のホモグラフィは、商群V  /  Nの要素に対応する。 ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}c&0\\0&c\end{smallmatrix}}\right)}$

P ¹ ( A ) は、埋め込み E  : a → U [ a , 1]によりAのコピーを含むため、環Aの拡張であると考えられます。乗法逆写像u → 1/ u は通常A ^×に制限され、 P ¹ ( A )上のホモグラフィによって表現されます。

${\displaystyle U[a,1]{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=U[1,a]\thicksim U[a^{-1},1].}$

さらに、u、v ∈ A ^×に対して、写像a → uav はホモグラフィに拡張できます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&0\\0&v\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle U[a,1]{\begin{pmatrix}v&0\\0&u\end{pmatrix}}=U[av,u]\thicksim U[u^{-1}av,1].}$

u は任意の値なので、 u ⁻¹に置き換えることができる。P ¹ ( A ) 上のホモグラフィは、線型分数変換と呼ばれる。

${\displaystyle U[z,1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+b,zc+d]\thicksim U[(zc+d)^{-1}(za+b),1].}$

体である環は最もよく知られている。GF (2)上の射影直線には3つの元、U [0, 1]、U [1, 0]、U [1, 1]がある。そのホモグラフィ群はこれら3つの上の置換群である。 ^{[1] : 29}

環Z  / 3 Z、または GF(3) には 1、0、-1 の要素があります。その射影直線には 4 つの要素U [1, 0]、U [1, 1]、U [0, 1]、U [1, -1]があります。これは 1 と -1 が両方とも単位であるためです。この射影直線上のホモグラフィ群には 12 個の要素があり、行列または順列で記述されます。^{[1] : 31}有限体GF( q )の場合、射影直線はガロア幾何学 PG(1, q )です。JWPヒルシュフェルトは、q = 4、5、7、8、9の射影直線で調和四元を記述しました。 ^[2]

nが合成数であるときのP ¹ ( Z  /  n Z )を考えます。pとq がn を割り切る異なる素数である場合、⟨ p ⟩と⟨ q ⟩はZ  /  n Zの最大イデアルであり、ベズーの恒等式により、 ap + bq = 1となるようなZ内のaとb が存在するため、U [ p , q ]はP ¹ ( Z  /  n Z )に含まれますが、標準埋め込みによる元の像ではありません。 P ¹ ( Z  /  n Z )全体は、元U [ up , vq ]によって埋められます。ここで、u ≠ vかつu、v ∈ A ^×で、A ^{× は}Z  /  n Zの単位です。ここで、 Z  /  n Z の例は、 n = 6、10、12の場合に示されています。ここで、モジュラー演算によれば、環の単位群は、それぞれ( Z  / 6 Z ) ^× = {1, 5}、( Z  / 10 Z ) ^× = {1, 3, 7, 9}、( Z  / 12 Z ) ^× = {1, 5, 7, 11}です。モジュラー演算により、各表で、特定の文字が複数の点を表すことが確認できます。これらの表では、点U [ m、n ] は、表の下部の行にm 、表の左側の列にnでラベル付けされています。たとえば、無限遠点A = U [ v、 0]であり、v は環の単位です。

追加の点は、拡張された複素上半平面上の有理数であるQ ⊂ R ⊂ Cに関連付けることができます。 P ¹ ( Z  /  n Z )上のホモグラフィの群は主合同部分群と呼ばれます。^[3]

有理数 Qの場合、座標の同次性とは、 P ¹ ( Q ) のすべての要素が P ¹ ( Z )の要素によって表されることを意味します。同様に、 P ¹ ( Q )のホモグラフィは、モジュラー群の要素、つまり P ¹ ( Z )の自己同型に対応します。

分割環上の射影直線は、単一の補助点∞ = U [1, 0]をもたらす。例としては、実射影直線、複素射影直線、四元数上の射影直線などがある。これらの位相環の例には、射影直線が一点コンパクト化として含まれる。複素数体Cの場合は、ホモグラフィ群として メビウス群を持つ。

双対数上の射影直線は1906 年に Josef Grünwald によって記述されました。^[4]この環にはnn = 0 を満たす非零冪零 n が含まれます。双対数の平面{ z = x + yn | x , y ∈ R }には、点U [1, xn ], x ∈ Rの直線を含む射影直線があります。^[5] Isaak Yaglom はこれを、補助直線が含まれる場合に円筒の位相を持つ「逆ガリレオ平面」として記述しました。 ^{[6] : 149–153}同様に、Aが局所環である場合、 P ¹ ( A ) はAの 最大イデアルの要素に対応する隣接点によって形成されます。

分割複素数環M上の射影直線は、補助直線{ U [1, x (1 + j)] | x ∈ R }と{ U [1, x (1 − j)] | x ∈ R }を導入します。立体射影を使用すると、分割複素数平面はこれらの直線で1 枚の双曲面に閉じられます。^{[6] : 174–200  [7]} M上の射影直線は、ホモグラフィック写像の下での双曲面の挙動によって特徴付けられる場合、ミンコフスキー平面と呼ばれることがあります。

環A上の射影直線 P ¹ ( A ) は、加群A ⊕ A内の射影加群の空間として同定することもできる。 P ¹ ( A )の元は、 A ⊕ Aの直和分となる。このより抽象的なアプローチは、ベクトル空間の部分空間の幾何学としての射影幾何学の見方に従っており、これはギャレット・バーコフ^[8]の格子理論やラインホルド・バーの著書『線型代数と射影幾何学』と関連付けられることもある。有理整数環Zの場合、 P ¹ ( Z )の加群の和の定義は、m がnと互いに素であるU [ m , n ]に注目を絞り、 A が位相的である場合の P ¹ ( A )の主要な特徴である埋め込みを排除する。 W. Benz、Hans-Joachim Samaga、Helmut Scheaffer による 1981 年の記事では、直接加数の定義について言及しています。

論文「射影表現：環上の射影直線」^[9]では、行列環M ₂ ( R )の単位群と加群および双加群の概念を使用して、環上の射影直線を定義しています。単位群は、一般線型群の表記法を採用してGL(2, R )で表されます。ここで、Rは通常、体とみなされます。

射影直線は、R × Rの自由巡回部分加群R (1, 0)のGL(2, R )の下の軌道の集合である。ベンツの可換理論を拡張すると、環元の右または左の逆乗法の存在は、 P ¹ ( R ) とGL(2, R )に関係する。デデキント有限性が特徴付けられる。最も重要なことは、分割環K上の射影空間におけるP ¹ ( R ) の表現が、左Kベクトル空間および右R加群である( K , R )双加群Uによって達成される。 P ¹ ( R )の点は、その補空間に同型なP ¹ ( K , U × U )の部分空間である。

３つの特定の環元a、b、c を射影直線点U [0, 1]、U [1, 1]、U [1, 0]に取るホモグラフィh は、クロス比ホモグラフィと呼ばれます。^{[10] [11]}クロス比は、 ４番目の点xにおけるhの値として取られることもあります : ( x、a、b、c ) = h ( x )。

a、b、cからhを構築するには、生成器ホモグラフィ

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

固定点に注意して、次の式を使用します。+1 と -1 は反転時に固定され、U [1, 0]は平行移動時に固定され、 uによる「回転」ではU [0, 1]とU [1, 0]は固定されます。指示は、最初にc を配置し、次に平行移動でa をU [0, 1]に移動し、最後に回転を使用してb をU [1, 1]に移動することです。

補題: Aが可換環で、b − a、c − b、c − aがすべて単位である場合、( b − c ) ⁻¹ + ( c − a ) ⁻¹は単位です。

証明: 明らかに、要求どおりの単位です。 ${\displaystyle {\frac {b-a}{(b-c)(c-a)}}={\frac {(b-c)+(c-a)}{(b-c)(c-a)}}}$

定理: ( b − c ) ⁻¹ + ( c − a ) ⁻¹が単位元ならば、G( A ) にはホモグラフィhが存在し、

h ( a ) = U [0, 1]、 h ( b ) = U [1, 1]、 h ( c ) = U [1, 0]である。

証明: 点p = ( b − c ) ⁻¹ + ( c − a ) ⁻¹は、aを0 にしてからU [1, 0]に反転し、cの像をU [0, 1]に持ってきた後のbの像です。pは単位なので、回転に使用される逆数はp をU [1, 1]に移動し、結果としてa、b、cがすべて適切に配置されます。 この補題は、 hが存在するための十分な条件を示しています。

複比の応用例の 1 つは、三元a、b、cの射影調和共役を、( x、a、b、c ) = −1を満たす元xとして定義する。このような四元は調和四元である。有限体GF( q )上の射影直線上の調和四元は、1954 年にq = 5、7、9に対して射影線型群PGL(2、q )の範囲を定め、偶然の同型性を証明するために使用された。^[12]

複素平面上の実数直線は、メビウス変換によって円や他の実数直線と入れ替えられるが、これは実際には、実射影直線の複素射影直線への標準埋め込みを入れ替えるものである。Aが体F上の代数であると仮定し、 Fが実数体でA が複素数体である場合を一般化する。P ¹ ( F ) の P ¹ ( A ) への標準埋め込みは、

${\displaystyle U_{F}[x,1]\mapsto U_{A}[x,1],\quad U_{F}[1,0]\mapsto U_{A}[1,0].}$

鎖はP ¹ ( F ) の P ¹ ( A )上のホモグラフィによる像である。4 つの点が鎖上にあるのは、それらの交差比がF内にある場合のみである。カール・フォン・シュタウトは、この性質を「実ストローク」理論 [reeler Zug] で利用した。^[13]

P ¹ ( A ) の2点は、それらを結ぶ鎖がない場合には平行である。慣例的に、点はそれ自身に平行である。この関係は射影直線上のホモグラフィの作用に対して不変である。3つの非平行な点が対になって与えられたとき、その3つを結ぶ唯一の鎖が存在する。^[14]

アウグスト・フェルディナント・メビウスは、著書『重心微積分』（1827年）と1855年の論文『線形幾何変換における線形分数変換の理論』の間でメビウス変換を検討した。カール・ヴィルヘルム・フォイエルバッハとユリウス・プリュッカーも同次座標の使用を最初に提唱したとされている。エドゥアルト・スタディは1898年に、エリー・カルタンは1908年に、それぞれドイツの『数学百科事典』とフランスの『数学百科事典』に超複素数に関する記事を執筆し、その中で彼らはメビウスの線形分数変換を模倣してこれらの演算を使用している。1902年、セオドア・ヴァーレンはクリフォード代数の線形分数変換をいくつか検討した短いが参考文献の多い論文を寄稿した。^[15]双対数Dの環は、1906年にヨーゼフ・グリュンワルドに^P1 ( D )を示す機会を与えた。^[4]コラード・セグレ(1912)はその環の開発を継続した。^[5]

アーサー・コンウェイは、双四元数変換による相対性理論を早期に採用した一人であり、1911年の相対性研究で四元数乗法逆変換を検討した。^[16] 1947年、逆四元数幾何学のいくつかの要素がアイルランドのPGゴームリーによって記述された。^[17] 1968年、ロシア語から翻訳されたアイザック・ヤグロムのComplex Numbers in Geometryが英語で出版された。そこで彼は、ユークリッド平面の線幾何学を記述するためにP ¹ ( D )を使用し、ロバチェフスキーの平面の線幾何学を記述するためにP ¹ ( M )を使用している。ヤグロムのテキストA Simple Non-Euclidean Geometryは1979年に英語で出版された。そこで174～200ページで彼はミンコフスキー幾何学を展開し、P ¹ ( M )を「逆ミンコフスキー平面」と記述している。ヤグロムのテキストのロシア語原文は1969年に出版されました。この2つの版の間に、ウォルター・ベンツ(1973)が著書^{[7]を出版しました。この本には}Mから取られた同次座標が含まれていました 。

• ユークリッドの果樹園

• Mitod Saniga (2006) 有限環上の射影線 (pdf) スロバキア科学アカデミー天文学研究所より