双曲運動

幾何学において、双曲運動は双曲空間の等長自己 同型である。写像の合成のもとで、双曲運動は連続群を形成する。この群は双曲空間を特徴付けると言われている。幾何学に対するこのようなアプローチは、フェリックス・クラインがエアランゲン・プログラムで開拓した。幾何学をその特性群に還元するというアイデアは、特にマリオ・ピエリが幾何学の基本概念を点と運動に還元する際に発展させた。

双曲運動は、多くの場合、逆幾何学から取られます。つまり、直線または円（または、2 次元を超える双曲空間の場合は超平面または超球面）の反射で構成されるマッピングです。双曲運動を区別するために、特定の直線または円が絶対として取られます。ただし、絶対はすべての双曲運動の不変セットでなければなりません。絶対は平面を 2 つの接続されたコンポーネントに分割し、双曲運動はこれらのコンポーネントを並べ替えてはなりません。

逆幾何学と双曲運動の最も一般的な文脈の 1 つは、メビウス変換による複素平面の写像の研究です。複素関数の教科書には、双曲幾何学の 2 つの一般的なモデル、つまり複素平面上の実数直線を絶対値とするポアンカレ半平面モデルと、複素平面上の単位円を絶対値とするポアンカレ円板モデルがよく記載されています。双曲運動は、双曲幾何学の双曲面モデルでも記述できます。 ^[1]

この記事では、双曲運動の使用例として、計量の半平面への拡張と単位円板を示します。 ${\displaystyle d(a,b)=\vert \log(b/a)\vert }$

双曲平面のそれ自身へのあらゆる運動（変換または等長変換）は、最大 3 回の反射の合成として実現できます。n次元双曲空間では、最大n +1 回の反射が必要になる場合があります。（これらはユークリッド幾何学や球面幾何学にも当てはまりますが、以下の分類は異なります。）

双曲平面のすべての等長変換は、次のクラスに分類できます。

• 方向保存
  • 恒等等尺性—何も動かず、反射もゼロ、自由度もゼロ。
  • 点を通る反転（半回転） — 特定の点を通る互いに垂直な線を通る 2 つの反射、つまりその点の周りの 180 度の回転。自由度は2 です。
  • 法線点の周りの回転- 指定された点を通る線による 2 つの反射 (特殊なケースとして反転を含む)、点は中心の周りの円上を移動します。自由度は 3 つです。
  • 理想点の周りの「回転」（ホロレーション） - 理想点に至る線を通る 2 つの反射。点は理想点を中心としたホロサイクルに沿って移動します。自由度は 2 です。
  • 直線に沿った移動 - 指定された線に垂直な線を通る 2 つの反射、指定された線から外れた点はハイパーサイクルに沿って移動、3 つの自由度。
• 向きの反転
  • 線を通した反射 — 1 つの反射、2 つの自由度。
  • 直線を通した反射と同じ直線に沿った平行移動の組み合わせ - 反射と平行移動は可換であり、3 回の反射が必要で、自由度は 3 つである。^[要出典]

ポアンカレ半平面モデルHPの点は、直交座標では {( x , y ): y > 0}、極座標では{( r cos a , r sin a ): 0 < a < π, r > 0 } として表されます。双曲運動は、3 つの基本的な双曲運動の合成として扱われます。p = ( x,y ) または p = ( r cos a , r sin a )、p ∈ HP とします。

基本的な動作は次のとおりです。

p → q = ( x + c , y )、c ∈ R (左または右シフト)

p → q = ( sx , sy )、 s > 0 (膨張)

p → q = ( r ⁻¹ cos a , r ⁻¹ sin a ) (単位半円内の反転)。

注: シフトと膨張は、それぞれ垂直線または同心円の反射のペアで構成される反転幾何学からのマッピングです。

三角形 {(0,0),(1,0),(1,tan a )} を考えます。1 + tan ² a = sec ² aなので、三角形の斜辺の長さは sec aです。ここで、 sec はセカント^{[壊れたアンカー]}関数を表します。r = sec aに設定し、3 番目の基本双曲運動を適用すると、 q = ( r cos a , r sin a ) が得られます。ここで、 r = sec ⁻¹ a = cos aです。

| q – (1/2, 0)| ² = (cos ² a – 1/2) ² +cos ² a sin ² a = 1/4

となるので、q は半径 ½ で中心 (½, 0) の半円Z上にある。したがって、 (1, 0) の接線は、 3 番目の基本双曲運動によってZにマッピングされる。任意の半円は、半径 ½ への拡大によってサイズを変更し、Zに移動することができ、その後反転によって接線に移動する。したがって、双曲運動の集合は、y = 0 の直径を持つ半円を、時には垂直線で並べ替え、逆もまた同様である。対数測定を使用して垂直線上の長さを測定することに同意すると仮定する。

d (( x , y ),( x , z )) = |log( z / y )|。

次に、双曲運動によって半円上の点間の距離も測定できます。まず、適切なシフトと膨張で点をZに移動し、次に、対数距離がわかっている接線上に反転して配置します。

HP におけるmとnについて 、 b をmとn を結ぶ線分の垂直二等分線とする。b が横軸に平行であれば、mとn は垂直な直線で結ばれる。そうでない場合は、 b は横軸と交差するため、この交点を中心とし、 mとn を通る半円が生まれる。集合 HP は、垂直な直線または半円上にあるm、n ∈ HP の距離 d ( m、n ) を備えると距離空間になる。垂直な直線と半円をHP における双曲線と呼ぶ。 HP における点と双曲線の幾何学は、非ユークリッド幾何学の一例である。それでもなお、 HP の直線と距離の概念の構築は、ユークリッドの元の幾何学に大きく依存している。

複素平面C内の円板 D = { z ∈ C  : zz * < 1 }を考えます。ロバチェフスキーの幾何学的平面は、双曲線を表す D の境界に垂直な円弧を使用して D に表示できます。複素数の算術と幾何学、およびメビウス変換を使用すると、双曲面の ポアンカレ円板モデルが存在します。

aとbがaa * −  bb * = 1 となる複素数であるとする。

| bz + a *| ² − | az + b *| ² = ( aa * − bb *)(1 − | z | ² )、

したがって、| z | < 1 は、|( a z + b *)/( bz + a *)| < 1 を意味する。したがって、円板 D はメビウス変換の 不変集合である。

f( z ) = ( az + b *)/( bz + a *)。

双曲線も入れ替えるので、これらの変換は双曲幾何学のDモデルの運動であることがわかります。複素行列

${\displaystyle q={\begin{pmatrix}a&b\\b^{*}&a^{*}\end{pmatrix}}}$

ここで、 aa * − bb * = 1であり、これは特殊ユニタリ群SU(1,1)の元である。

• ラース・アルフォース(1967) 双曲的運動、名古屋数学ジャーナル29:163–5 、プロジェクト・ユークリッド経由
• フランシス・ボナホン (2009) 「低次元幾何学：ユークリッド面から双曲的結び目まで」、第2章「双曲面」、11～39ページ、アメリカ数学会：学生数学図書館、第49巻、ISBN 978-0-8218-4816-6。 
• Victor V. Prasolov & VM Tikhomirov (1997、2001) Geometry、American Mathematical Society : Translations of Mathematical Monographs、第200巻、ISBN 0-8218-2038-9。 
• ASスモゴジェフスキー（1982）『ロバチェフスキー幾何学』ミール出版社、モスクワ。