波動関数

これらの波動方程式はすべて、永続的な重要性を持っています。シュレーディンガー方程式とパウリ方程式は、多くの場合、相対論的方程式の優れた近似式となります。また、実際の問題においては、相対論的方程式よりもはるかに容易に解くことができます。

クライン・ゴルドン方程式とディラック方程式は相対論的ではあるものの、量子力学と特殊相対性理論を完全に調和させるものではありません。これらの方程式をシュレーディンガー方程式と同じように研究する量子力学の分野は、しばしば相対論的量子力学と呼ばれ、非常に成功を収めていますが、限界（例えばラムシフトを参照）や概念的な問題（例えばディラックの海を参照）も抱えています。

相対性理論では、システム内の粒子の数が一定でないことは避けられません。完全な調和のためには、量子場理論が必要です。^{[ 23 ]} この理論では、波動方程式と波動関数は、やや異なる形で位置づけられます。主な関心対象は波動関数ではなく、ヒルベルト状態の空間（次節で説明）上の演算子、いわゆる場演算子（または単に「演算子」が理解される場）です。元の相対論的波動方程式とその解は、ヒルベルト空間を構築するために依然として必要であることがわかります。さらに、相互作用が存在しないと仮定した場合の自由場演算子は、多くの場合、場（波動関数）と同じ方程式を（形式的に）満たすことがわかります。

したがって、この形式ではクライン・ゴルドン方程式（スピン0）とディラック方程式（スピン1/2 ）が理論に残ります。高スピンの類似式には、プロカ方程式（スピン1）、ラリタ・シュウィンガー方程式（スピン3/2 ）、そしてより一般的にはバーグマン・ウィグナー方程式があります。質量のない自由場の場合、2つの例として、自由場マックスウェル方程式（スピン1）と自由場アインシュタイン方程式（スピン2）が場演算子について挙げられます。^{[ 24 ]} これらはすべて、本質的にローレンツ不変性の要件の直接的な結果です。これらの解は、ローレンツ変換の下で所定の方法で変換されなければなりません。つまり、ローレンツ群の特定の表現の下で変換されなければなりません。そして、因果律 に影響を与えるクラスター分解特性[ ^{25 ]}などの他のいくつかの妥当な要求と合わせて、方程式を固定するのに十分です^。

これは自由場方程式に適用され、相互作用は含まれません。ラグランジュ密度（相互作用を含む）が利用可能な場合、ラグランジュ形式は古典レベルでの運動方程式を導出します。この方程式は非常に複雑で、解くことができない場合があります。解は固定数の粒子を参照し、これらの理論で言及されている「相互作用」という用語を考慮に入れません。相互作用とは、通常の「第一量子化」量子論のように外部ポテンシャルではなく、粒子の生成と消滅を伴うものです。

弦理論においても、状況は同様である。例えば、運動量空間における波動関数は、明確に定義されていない運動量を持つ粒子（弦）の一般的な状態におけるフーリエ展開係数の役割を果たす。^{[ 26 ]}

出典: ^{[ 27 ]}

弾丸、ロケット、惑星などの古典的な粒子は空間的に局在しています。音波や海洋波などの古典的な波は広い空間領域に広がります。量子波動粒子二重性は量子粒子のユニークな特性です。例えば、空間的に局在した原子は、原子内の電子に関連する波の存在により安定しています。量子粒子に関連する波の性質については合意がありませんが、これらの波に対応する数学的表現を計算する方法については合意があります。^{[ 27 ]}

非相対論的量子力学では、スピン0の量子粒子に関連付けられた波動が存在する。この「シュレーディンガー」波動に対応する数学的表現を得るには、シュレーディンガー波動方程式を解く必要がある。しかし、相対論的量子力学では、相対論的波動方程式を解く必要がある。あるいは、相対論的だがシュレーディンガーに似た波動方程式のペアを解くことで、スピン0の相対論的量子粒子に関連付けられた2つのシュレーディンガーに似た波動の数学的表現を得ることができる。^{[ 27 ]}

古典粒子には波は関連付けられていないが、スピン0の非相対論的量子粒子には1つのシュレーディンガー波が関連付けられており、さらにスピン0の相対論的量子粒子には2つのシュレーディンガー波が関連付けられており、自由古典粒子と非相対論的量子粒子は正の運動エネルギーを持つ。しかし、相対論的量子粒子は、粒子が正の運動エネルギーを持つ「通常の」シュレーディンガー波に関連付けられることもあれば、粒子が負の運動エネルギーを持つ「異常な」シュレーディンガー波に関連付けられることもある。^{[ 27 ]}

粒子に関連付けられたシュレーディンガー波の存在は、量子粒子の量子特性を決定します。何らかの理由でシュレーディンガー波が消滅すると、粒子は量子性を失い、古典粒子に変化します。私たちの周りの巨視的な物体が古典的で物質のみで構成されているように見える理由を説明するために、このような量子から古典への遷移のいくつかの超越的な例が提案されています。量子-古典境界の例は次のとおりです。^{[ 27 ]}

• 重原子における原子核と電子間の静電引力は、相対論的電子に関連する通常のシュレーディンガー波を崩壊させる可能性がある。これが、原子番号Z > 137の原子に中性原子が存在しない理由である。
• 重力は、質量を持つ相対論的量子粒子に関連付けられた通常のシュレーディンガー波を崩壊させることができる。これが、巨視的な物体が古典的である理由を説明する。
• 静電反発力は反粒子に関連する特異なシュレーディンガー波を崩壊させる可能性があるが、相対論的量子粒子ではそのような現象は起こらない。これが、反原子の周期表が存在しないこと、そして反物質からなる生命が存在しない理由である。

このような粒子の状態は、その波動関数によって完全に記述される。$${\displaystyle \Psi (x,t)\,,}$$ここで、xは位置、tは時間です。これは、2つの実変数xとtの複素数値関数です。

1次元のスピンを持たない粒子1個の場合、波動関数を確率振幅として解釈すると、波動関数の 絶対値の二乗は正の実数となる。$${\displaystyle \left|\Psi (x,t)\right|^{2}=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=\rho (x),}$$は、ある時刻tにおける粒子の位置の測定に対する確率密度 として解釈されます。アスタリスクは複素共役を表します。粒子の位置が測定された場合、その位置は波動関数から決定することはできませんが、確率分布によって記述されます。

この粒子は運動量空間においても波動関数を持つ。 $${\displaystyle \Phi (p,t)}$$ ここで、pは1次元の運動量であり、 −∞から+∞までの任意の値をとることができ、tは時間である。

_{位置の場合と同様に、2つの}波動関数Φ1 ( p , t )とΦ2 ( p , t )の内積は_次のように定義できる。 $${\displaystyle (\Phi _{1},\Phi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Phi _{1}^{*}(p,t)\Phi _{2}(p,t)dp\,.}$$

時間によらないシュレーディンガー方程式の特定の解の一つは $${\displaystyle \Psi _{p}(x)=e^{ipx/\hbar },}$$運動量がちょうどpである粒子の記述に使用できる 平面波。これは運動量演算子の固有関数である。これらの関数は 1 に正規化できない (二乗可積分ではない) ため、実際には物理的なヒルベルト空間の要素ではない。 $${\displaystyle \{\Psi _{p}(x,t),-\infty \leq p\leq \infty \}}$$これは運動量基底 と呼ばれるものを形成する。この「基底」は、通常の数学的な意味での基底ではない。まず、関数は正規化できないため、代わりにデルタ関数に正規化される。^{[ nb 4 ]}$${\displaystyle (\Psi _{p},\Psi _{p'})=\delta (pp').}$$

また、これらは線形独立ではあるものの、物理的なヒルベルト空間の基底としては数が多すぎる（非可算集合を形成する）ため、使用することはできません。しかし、次に説明するように、フーリエ変換を用いることで、ヒルベルト空間内のすべての関数を表現することは可能です。

xとpの表現は $${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\int \Psi (x)|x\rangle dx,\\|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |p\rangle \langle p|\Psi \rangle dp=\int \Phi (p)|p\rangle dp.\end{aligned}}}$$

次に、 2つの方程式の最後の式を使用して、 状態Ψを運動量の固有関数に射影します。$${\displaystyle \int \Psi (x)\langle p|x\rangle dx=\int \Phi (p')\langle p|p'\rangle dp'=\int \Phi (p')\delta (pp')dp'=\Phi (p)。}$$

次に、自由シュレーディンガー方程式の位置表現解における運動量の適切に正規化された固有状態に対する既知の式を利用する。$${\displaystyle \langle x|p\rangle =p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}px}\Rightarrow \langle p|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}px},}$$ 得られるもの $${\displaystyle \Phi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Psi (x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}px}dx\,.}$$

同様に、位置の固有関数を使用すると、 $${\displaystyle \Psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Phi (p)e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp\,.}$$

位置空間と運動量空間の波動関数は、互いにフーリエ変換であることがわかっています。 ^{[ 31 ]}これらは同じ状態の2つの表現であり、同じ情報を含んでおり、どちらか一方だけで粒子のあらゆる特性を計算するのに十分です。

実際には、運動量空間の波動関数よりも位置空間の波動関数の方がはるかに頻繁に使用されます。関連する方程式（シュレーディンガー方程式、ディラック方程式など）に現れるポテンシャルによって、どの基底で記述するのが最も簡単かが決まります。調和振動子の場合、xとpは対称的に現れるため、どちらの記述を使用しても問題ありません。同じ方程式（定数を法とする）が得られます。これから少し考察すると、調和振動子の波動方程式の解はL ²におけるフーリエ変換の固有関数であることがわかります。^{[ nb 5 ]}

ヒルベルト空間は元々無限次元の完全内積空間を指しますが、定義上、有限次元の完全内積空間も含まれます。^{[ 32 ]}物理学では、しばしば有限次元ヒルベルト空間 と呼ばれます。^{[ 33 ]}すべての有限次元ヒルベルト空間には、ヒルベルト空間全体を張る正規直交基底ケットが存在します。

N次元集合の場合${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$が正規直交系である場合、これらの状態によって張られる空間の射影演算子は次のように与えられる。

$${\displaystyle P=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=I}$$ここで射影は恒等演算子と等価である。${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$これはヒルベルト空間全体を網羅するため、ヒルベルト空間内のどのベクトルも変化しません。これは有限次元ヒルベルト空間の完全性関係としても知られています。

波動関数は代わりに次のように与えられる。

$${\displaystyle |\psi \rangle =I|\psi \rangle =\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\psi \rangle }$$どこ${\textstyle \{\langle \phi _{i}|\psi \rangle \}}$は、上記の式を用いて波動関数を構築するために使用できる複素数の集合です。

The position-space wave function of a single particle without spin in three spatial dimensions is similar to the case of one spatial dimension above: $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$$ where r is the position vector in three-dimensional space, and t is time. As always Ψ(r, t) is a complex-valued function of real variables. As a single vector in Dirac notation$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,t)\,|\mathbf {r} \rangle }$$

All the previous remarks on inner products, momentum space wave functions, Fourier transforms, and so on extend to higher dimensions.

For a particle with spin, ignoring the position degrees of freedom, the wave function is a function of spin only (time is a parameter); $${\displaystyle \xi (s_{z},t)}$$ ここで、s _zはz軸に沿ったスピン射影量子数です。（z軸は任意の選択です。波動関数を適切に変換すれば、他の軸を使用することもできます。詳細は後述します。）s _zパラメータは、rやtとは異なり、離散変数です。例えば、スピン 1/2 の粒子の場合、s _{z は}+1/2または−1/2のみであり、他の値をとることはできません。（一般に、スピンsの場合、s _{z は}s、s − 1、…、−s + 1、−sのいずれかになります。）各量子数を挿入すると、空間と時間の複素数値関数が得られ、その数は 2s + 1 個です。これらは列ベクトルに配置できます。

$${\displaystyle \xi ={\begin{bmatrix}\xi (s,t)\\\xi (s-1,t)\\\vdots \\\xi (-(s-1),t)\\\xi (-s,t)\\\end{bmatrix}}=\xi (s,t){\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (s-1,t){\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\cdots +\xi (-(s-1),t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (-s,t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}}$$

ブラケット記法では、これらは簡単にベクトルの成分に整理できます。 $${\displaystyle |\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}=-s}^{s}\xi (s_{z},t)\,|s_{z}\rangle }$$

ベクトルξ全体は、適切なハミルトニアンを持つシュレーディンガー方程式の解であり、これは2 s + 1 個の常微分方程式の連立系に展開され、その解はξ ( s , t ), ξ ( s − 1, t ), ..., ξ (− s , t )です。一部の著者は、「波動関数」の代わりに「スピン関数」という用語を使用しています。これは、位置座標が連続的な自由度である位置空間波動関数の解とは対照的です。なぜなら、その場合、シュレーディンガー方程式は波動方程式の形をとるからです。

より一般的に言えば、任意のスピンを持つ3次元粒子の場合、波動関数は「位置-スピン空間」で次のように表すことができる。 $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)}$$ これらは列ベクトルに並べることもできます $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\Psi (\mathbf {r} ,s,t)\\\Psi (\mathbf {r} ,s-1,t)\\\vdots \\\Psi (\mathbf {r} ,-(s-1),t)\\\Psi (\mathbf {r} ,-s,t)\\\end{bmatrix}}}$$ ここでは、スピン依存性はエントリのインデックス付けに用いられ、波動関数は空間と時間のみの複素ベクトル値関数である。

離散変数だけでなく連続変数も含めた波動関数のすべての値は、単一のベクトルに集約される。 $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)\,|\mathbf {r} ,s_{z}\rangle }$$

単一粒子の場合、その位置状態ベクトル| ψ⟩とスピン状態ベクトル| ξ⟩のテンソル積⊗は、合成位置スピン状態ベクトルを与える 。$${\displaystyle |\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)\,|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$$ 識別情報とともに $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =|\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle }$$$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)=\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)}$$$${\displaystyle |\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$$

エネルギー固有状態のテンソル積分解は、系のダイナミクスの根底にあるハミルトニアン演算子において粒子の軌道角運動量とスピン角運動量が分離可能であれば常に可能である（言い換えれば、ハミルトニアンは軌道項とスピン項の和に分解できる^{[ 35 ]}）。時間依存性はどちらの因子にも配置でき、それぞれの時間発展を個別に研究することができる。このようなハミルトニアンの下では、任意のテンソル積状態は別のテンソル積状態に発展し、これは本質的に、非エンタングル状態は時間発展の下で非エンタングル状態のままであることを意味する。これは、テンソル積の状態間に物理的な相互作用がない場合に起こると言われている。分離不可能なハミルトニアンの場合、エネルギー固有状態は、そのような状態の線形結合であると言われ、必ずしも因子分解可能である必要はない。例としては、磁場中の粒子やスピン軌道結合などが挙げられる。

前述の議論は、離散変数としてのスピンに限定されるものではなく、全角運動量Jも使用できます。^{[ 36 ]}アイソスピンなどの他の離散自由度も、上記のスピンの場合と同様に表現できます。

粒子が多数ある場合、一般に波動関数は1つだけであり、各粒子ごとに個別の波動関数はありません。1つの波動関数が多数の粒子を記述するという事実が、量子もつれとEPRパラドックスを可能にしています。N個の粒子の位置空間波動関数は次のように記述されます。 ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)}$$ ここで、r _iはi番目の粒子の 3 次元空間における位置、 tは時間です。全体として、これは3 N + 1 個の実変数の複素数値関数です。

量子力学では、同一粒子と識別可能な粒子の間に根本的な区別がある。例えば、任意の2つの電子は同一であり、根本的に区別できない。物理法則では、特定の電子に「識別番号を刻印」して追跡することは不可能である。^{[ 31 ]}これは、同一粒子系の波動関数に対する要件となる。 $${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots \right)}$$ ここで、+記号は粒子がすべてボソンである場合に発生し、−記号はすべてフェルミオンである場合に発生します。言い換えれば、波動関数はボソンの位置に関して完全に対称であるか、フェルミオンの位置に関して完全に反対称であるかのいずれかです。^{[ 37 ]}粒子の物理的な交換は、波動関数の引数を数学的に交換することに対応します。フェルミオン波動関数の反対称性はパウリの排他原理につながります。一般に、ボソンとフェルミオンの対称性の要件は粒子統計の現れであり、他の量子状態の形式にも存在します。

N個の識別可能な粒子（同一の粒子は2つとなく、つまり量子数の組が同じ粒子は2つとない）の場合、波動関数が対称であるか反対称であるかの要件はない。

粒子群において、座標r ₁、r ₂、 ...を持つ同一の粒子と、 x ₁、x ₂、 ...を持つ区別可能な粒子（互いに同一ではなく、前述の同一の粒子とも同一ではない）が存在する場合、波動関数は同一の粒子の座標r _iに関してのみ対称または反対称となる。 $${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)}$$

繰り返しますが、識別可能な粒子の座標x _iには対称性の要件はありません。

スピンを持つN個の粒子の波動関数は複素数値関数である。 $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1},s_{z\,2}\cdots s_{z\,N},t)}$$

これらの要素をすべて1つのベクトルに集約すると、

$${\displaystyle |\Psi \rangle =\overbrace {\sum _{s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}}} ^{\text{discrete labels}}\overbrace {\int _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\cdots \int _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}} ^{\text{continuous labels}}\;\underbrace {{\Psi }(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N})} _{\begin{array}{c}{\text{wave function (component of }}\\{\text{ state vector along basis state)}}\end{array}}\;\underbrace {|\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}\rangle } _{\text{basis state (basis ket)}}\,.}$$

同一の粒子の場合、対称性の要件は波動関数の位置引数とスピン引数の両方に適用され、全体として正しい対称性を持つようにする。

内積の公式は、すべての座標または運動量に関する積分と、すべてのスピン量子数に関する和です。3次元空間でスピンを持つ N個の粒子の一般的な場合、$${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\sum _{s_{z\,N}}\cdots \sum _{s_{z\,2}}\sum _{s_{z\,1}}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{1}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{N}\Psi _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\Psi _{2}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)}$$ これは合計でN 個の3 次元体積積分とN個のスピンに関する和です。微分体積要素d ³ r _iは " dV _i " または " dx _i dy _i dz _i "とも表記されます。

位置空間波動関数または位置-スピン空間波動関数の多次元フーリエ変換により、運動量空間波動関数または運動量-スピン空間波動関数が得られる。

波動力学の最も顕著な特徴の1つは、粒子が（古典力学では）不可能な力ポテンシャルを持つ場所に到達できる可能性である。一般的なモデルは「ポテンシャル障壁」であり、1次元の場合はポテンシャルが $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&|x|\geq a\end{cases}}}$$ そして、波動方程式の定常解は（定数k、κに対して） 次の形式をとる。$${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }e^{ikx}+A_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x<-a,\\B_{\mathrm {r} }e^{\kappa x}+B_{\mathrm {l} }e^{-\kappa x}&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} }e^{ikx}+C_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x>a.\end{cases}}}$$

これらの波動関数は規格化されていないことに注意してください。詳細については、散乱理論を参照してください。

_{この標準的な解釈では、}粒子の流れが左側（負のxの方向）からステップに発射されると考えられます。A r = 1と設定すると、粒子が 1 つずつ発射されます。A _rとC r_を含む項は右方向への運動を、A _lとC _{l は}左方向への運動を表します。このビームの解釈では、右側から粒子が来ないため、 C _l = 0とします。境界での波動関数とその導関数の連続性を適用することで、上記の定数を決定することができます。

半径が励起子ボーア半径よりも小さい半導体結晶では、励起子が圧縮され、量子閉じ込め効果が生じる。この場合、エネルギー準位は箱の中の粒子モデルを用いてモデル化することができ、異なる状態のエネルギーは箱の長さに依存する。

量子調和振動子の波動関数はエルミート多項式H _nで表すことができ、それらは次のようになる。 $${\displaystyle \Psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}{\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}}$$ ここでn = 0, 1, 2, ...。

水素原子中の電子の波動関数は、球面調和関数と一般化ラゲール多項式で表されます（これらは著者によって定義が異なります。これらと水素原子に関するメイン記事を参照してください）。

球面座標を使うと便利で、波動関数は各座標の関数に分離できます。^{[ 40 ]}$${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R(r)\,\,Y_{\ell }^{m}\!(\theta ,\phi )}$$ ここで、Rは動径関数であり、Y ^m _ℓ ( θ , φ )は次数ℓで次数mの球面調和関数です。これは、シュレーディンガー方程式が厳密に解かれた唯一の原子です。多電子原子には近似法が必要です。解の族は次のとおりです。^{[ 41 ]}$${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}$$ ここで、a ₀ = 4 πε ₀ ħ ² / m _e e ²はボーア半径、 L ^{2 ℓ + 1} _{n − ℓ − 1}は次数n − ℓ − 1の一般化ラゲール多項式、n = 1, 2, ...は主量子数、ℓ = 0, 1, ..., n − 1は方位量子数、m = − ℓ , − ℓ + 1, ..., ℓ − 1, ℓは磁気量子数です。水素様原子は非常に似た解を持ちます。

この解法は電子のスピンを考慮に入れていない。

水素原子軌道の図において、19個のサブイメージは位置空間における波動関数（ノルムの二乗）のイメージである。波動関数は、各イメージの右下にある量子数（n、ℓ、m）の3つ組によって特徴づけられる抽象的な状態を表している。これらは主量子数、軌道角運動量量子数、および磁気量子数である。電子のスピン射影量子数と合わせると、これは完全な観測量のセットとなる。

この図は、波動関数の関数空間のさらなる性質を説明するのに役立つ。

• この場合、波動関数は二乗可積分です。関数空間は、通常L ²で表される二乗可積分関数の空間として最初に考えることができます。
• 表示されている関数はシュレーディンガー方程式の解です。明らかに、L ^{2内のすべての関数が水素原子のシュレーディンガー方程式を満たすわけではありません。したがって、関数空間は}L ²の部分空間です。
• 表示されている関数は、関数空間の基底の一部を形成します。各組( n , ℓ , m )には、基底波動関数が対応します。スピンを考慮すると、各組に対して2つの基底関数が存在します。したがって、関数空間は可算基底を持ちます。
• 基底関数は互いに正規直交関係にある。

波動関数は、以下の具体的および抽象的な記述によって部分的に特徴付けられる関数空間の要素である。

• シュレーディンガー方程式は線形方程式です。つまり、その解である波動関数は、加算やスカラー倍によって新たな解を生成できます。シュレーディンガー方程式の解の集合はベクトル空間を形成します。
• 量子力学の重ね合わせの原理。ΨとΦが量子力学系の抽象的な状態空間における2つの状態であり、 aとbが任意の2つの複素数である場合、aΨ + bΦも有効な状態である。（零ベクトルが有効な状態（「システムが存在しない」状態）として数えられるかどうかは定義の問題である。零ベクトルは、少なくとも量子場理論における真空状態を表すものではない。）許容される状態の集合はベクトル空間である。

この類似性は当然ながら偶然ではない。ただし、それぞれの空間には留意すべき相違点も存在する。

基本状態は、量子数の集合によって特徴づけられます。これは、可換な観測量の最大集合の固有値の集合です。物理的な観測量は、ベクトル空間上の線形演算子（観測量とも呼ばれる）によって表されます。最大性とは、既に存在する観測量と可換な、代数的に独立な観測量を、それ以上集合に追加できないことを意味します。このような集合の選択は、表現の選択と呼ばれることがあります。

• 量子力学の公準として、位置、運動量、スピンなどの系の物理的に観測可能な量は、状態空間上の線形エルミート演算子によって表される。その量の測定の可能な結果は、演算子の固有値である。 ^{[ 18 ]}より深いレベルでは、ほとんどの観測量、おそらくすべては、対称性の生成子として生じる。^{[ 18 ] [ 42 ] [ nb 6 ]}
• 物理的な解釈としては、このような集合は、理論上は任意の精度で同時に測定可能なものを表している。ハイゼンベルクの不確定性原理は、互いに可換でない2つの観測量を同時に正確に測定することを禁じている。
• _{この集合は}一意ではありません。例えば、1粒子系の場合、位置とスピンのz射影( x , Sz )となる場合もあれば、運動量とスピンのy射影( p , Sy )となる場合も_あります。この場合、位置に対応する演算子(位置表現における乗算演算子)と運動量に対応する演算子(位置表現における微分演算子)は可換ではありません。
• 表現方法が選択された後も、まだ任意性が残っています。座標系を選択する必要があるのです。これは、例えば、x、y、z軸の選択に対応する場合もあれば、水素原子波動関数に使用される球座標に代表されるような曲線座標の選択に対応する場合もあります。この最後の選択によって、抽象ヒルベルト空間の基底も固定されます。基本状態は、可換な観測量の最大集合と適切な座標系に対応する量子数によってラベル付けされます。^{[ nb 7 ]}

抽象状態が「抽象的」であるのは、それを明示的に記述するために必要な任意の選択が与えられていないという点においてのみです。これは、可換な観測量の最大集合の選択が与えられていないことと同じです。これは、基底が指定されていないベクトル空間に類似しています。したがって、状態に対応する波動関数は一意ではありません。この非一意性は、可換な観測量の最大集合の選択における非一意性を反映しています。1次元の1つのスピン粒子に対して、特定の状態には、同じ状態を記述する2つの波動関数Ψ( x , S _z )とΨ( p , S _y )が対応します。

• 抽象状態空間における観測量の最大可換集合のそれぞれの選択に対して、波動関数の関数空間に関連付けられた対応する表現が存在する。
• これら様々な関数空間と抽象状態空間の間には、一対一の対応関係が存在する（ここでは正規化と観測不可能な位相因子は無視する）。ここでの共通項は、特定の抽象状態である。例えば、同じ状態を記述する運動量空間と位置空間の波動関数の関係は、フーリエ変換である。

それぞれの表現方法の選択は、その表現方法に対応する波動関数が存在する固有の関数空間を指定するものと考えるべきである。たとえそのような関数空間が数学的に等しいと主張できたとしても（例えば、二乗可積分関数の集合など）、この区別は維持するのが最善である。その場合、関数空間は、その集合の異なる2つのコピーと考えることができる。

波動関数のベクトル空間と抽象状態空間には、さらに別の代数的構造が存在する。

• 物理的には、異なる波動関数はある程度重なり合うと解釈されます。状態Ψにあるシステムが状態Φと重なり合わない場合、測定時に状態Φにあるとは見なされません。しかし、Φ ₁、 Φ ₂、 …がΨとある程度重なり合う場合、 Ψで記述されるシステムの測定結果が状態Φ ₁、 Φ ₂、 …にあると見なされる可能性があります。また、選択則が適用されることも観察されます。これらは通常、いくつかの量子数の保存という形で定式化されます。これは、初期および最終の全波動関数が重なり合わないため、ある観点（例えば、エネルギーと運動量の保存）から許容される特定のプロセスが発生しないことを意味します。
• 数学的には、特定のポテンシャルに対するシュレーディンガー方程式の解は、ある意味で直交することがわかります。これは通常、積分によって記述されます。$${\displaystyle \int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}w\,dV=\delta _{nm},}$$ここで、 m、nは異なる解をラベル付けするインデックス（量子数）の集合であり、厳密に正の関数wは重み関数と呼ばれ、δmn_はクロネッカーのデルタである。積分は関連する空間全体で行われる。

これは、抽象量子状態のベクトル空間に内積を導入する動機となり、表現への移行時に上記の数学的考察と整合します。これは(Ψ, Φ)、またはブラケット記法では⟨ Ψ | Φ ⟩と表記されます。これは複素数になります。内積を用いると、関数空間は内積空間になります。内積 (通常は積分または積分の和) の明示的な出現は表現の選択に依存しますが、複素数(Ψ, Φ) は依存しません。量子力学の物理的解釈の多くは、ボルンの規則に由来します。ボルンの規則は、システムが状態Ψにあるときに測定によって状態Φが見つかる確率p は、 $${\displaystyle p=|(\Phi ,\Psi )|^{2},}$$ ここで、ΦとΨ は正規化されていると仮定します。散乱実験を考えてみましょう。量子場理論では、Φ _{out が}散乱粒子間の相互作用が停止した後の「遠い未来」（「アウト状態」）の状態を表し、Ψ _{in が}「遠い過去」の「イン状態」を表す場合、Φ _outとΨ _inがそれぞれ完全なイン状態とアウト状態のセットにわたって変化する量 (Φ out 、Ψ in ) は、S 行列または散乱行列と呼ばれます。_これを_知ることは、少なくとも予測に関しては、その理論を解いたことに相当します。減衰率や散乱断面積などの測定可能な量は、S 行列から計算できます。^{[ 43 ]}

上記の観察は、波動関数が要素である関数空間の本質を捉えています。しかし、この説明はまだ完全ではありません。関数空間には、完全性という技術的な要件がさらにあります。これにより、関数空間内の数列の極限を取ることができ、極限が存在する場合、それが関数空間の要素であることが保証されます。完全な内積空間はヒルベルト空間と呼ばれます。完全性の性質は、量子力学の高度な扱いと応用において重要です。たとえば、射影演算子または直交射影の存在は、空間の完全性に依存します。^{[ 44 ]}これらの射影演算子は、スペクトル定理など、多くの有用な定理の記述と証明に不可欠です。入門的な量子力学ではそれほど重要ではなく、技術的な詳細とリンクは、次の脚注のようなもので見つけることができます。^{[ nb 8 ]} 空間L ²はヒルベルト空間であり、内積は後で説明します。図の例の関数空間はL2の部分空間である。ヒルベルト空間の部分空間は、それが閉じている場合にヒルベルト空間となる^。

要約すると、特定の基底の選択を持つ系に対して可能なすべての正規化可能な波動関数の集合と零ベクトルは、ヒルベルト空間を構成する。

関心のある関数のすべてが、例えばL ²のようなヒルベルト空間の要素であるとは限りません。最も顕著な例は、関数e ^{2 πi p · x ⁄ h}の集合です。これらは自由粒子のシュレーディンガー方程式の平面波解であり、正規化できないため、L ²には含まれません。しかし、それでも記述には不可欠です。これらを用いることで、波束を用いて正規化可能な関数を表現できます。これらは、ある意味で、関心のある波動関数を表現できる基底（ただし、ヒルベルト空間の基底でも、ハーメル基底でもない）です。また、表記上の便宜のために頻繁に用いられる「デルタ関数への正規化」という人工的な表現もあります（後述）。デルタ関数自体も二乗可積分ではありません。

波動関数を含む関数空間の上記の説明は、主に数学的な動機に基づいています。関数空間は、完全性のため、ある意味で非常に大きいものです。すべての関数が、あらゆる物理システムの現実的な記述であるとは限りません。たとえば、関数空間L ²では、区間[0, 1]内のすべての有理数に対して0 の値を取り、無理数に対して- i の値を取る関数を見つけることができます。これは二乗可積分ですが^{[ nb 9 ]} 、物理状態を表すことはほとんどできません。

解の空間全体はヒルベルト空間であるが、構成要素としてよく現れる他の多くのヒルベルト空間も存在する。

• 区間[ 0, 2 π ]上の二乗可積分な複素数値関数。集合{ e ^int /2 π , n ∈ Z }はヒルベルト空間の基底、すなわち最大正規直交集合である。
• フーリエ変換は、上記の空間の関数を、平方和可能な関数の空間であるl ² ( Z )の要素に取ります。Z → C。後者の空間はヒルベルト空間であり、フーリエ変換はヒルベルト空間の同型です。^{[ nb 10 ]}その基底は{ e _i , i ∈ Z }であり、e _i ( j ) = δ _ij、i、j ∈ Zです。
• 多項式を張る最も基本的な例は、区間[ –1, 1 ]上の二乗可積分関数の空間であり、その空間ではルジャンドル多項式がヒルベルト空間の基底（完全正規直交系）となる。
• 単位球面S ²上の二乗可積分関数はヒルベルト空間です。この場合の基底関数は球面調和関数です。ルジャンドル多項式は球面調和関数の構成要素です。回転対称性を持つほとんどの問題は、その対称性に関して「同じ」（既知の）解を持つため、元の問題はより低次元の問題に縮小されます。
• 関連するラゲール多項式は、球面調和関数を因数分解した後、水素様波動関数問題に現れます。これらは、半無限区間[ 0, ∞)上の二乗可積分関数のヒルベルト空間を張ります。

より一般的には、ヒルベルト空間の設定において、シュトゥルム・リウヴィル方程式のすべての2次多項式解を統一的に扱うことを検討してもよい。これには、ルジャンドル多項式、ラゲール多項式、チェビシェフ多項式、ヤコビ多項式、エルミート多項式が含まれる。これらはすべて、実際の物理問題に現れ、後者は調和振動子に現れる。そうでなければ、特殊関数の性質の混乱した迷路が、体系化された事実の集合となる。これについては、Byron & Fuller (1992 、第5章)を参照のこと。

有限次元のヒルベルト空間も存在する。空間C ⁿはn次元のヒルベルト空間である。内積はこれらの空間における標準的な内積である。その中に、単一粒子の波動関数の「スピン部分」が存在する。

• 電子の非相対論的記述では、n = 2であり、全波動関数はパウリ方程式の解である。
• 対応する相対論的処理では、n = 4であり、波動関数はディラック方程式を解きます。

粒子数が増えると、状況はより複雑になります。テンソル積を用い、関係する対称群（回転群とローレンツ群）の表現論を用いて、テンソル積から（全）スピン波動関数が存在する空間を抽出する必要があります。（粒子が自由でない限り、相対論的な場合にはさらに問題が生じます。^{[ 45 ]}ベテ・サルピーター方程式を参照してください。）同様の注意は、対称群がSU(2)であるアイソスピンの概念にも当てはまります。60年代の核力のモデル（今日でも有用です。核力を参照してください）では、対称群SU(3)が使用されました。この場合も、内部対称性に対応する波動関数の部分は、 C ⁿまたはそのような空間のテンソル積の部分空間に存在します。

• 量子場理論において、基礎となるヒルベルト空間はフォック空間である。これは、表現を選択すれば、自由単粒子状態、すなわち波動関数から構築され、時間的に一定とは限らない有限個の粒子を収容することができる。興味深い（あるいは扱いやすい）ダイナミクスは、波動関数ではなく、フォック空間に作用する場演算子にある。したがって、ハイゼンベルク描像（状態は一定、演算子は時間的に変化する）が最も一般的な選択肢となる。

システムの次元が無限であるため、適切な数学的手法は関数解析の研究対象となる。

すべての入門教科書が長い道のりを辿って完全なヒルベルト空間の仕組みを紹介するわけではなく、特定の標準ポテンシャルに対する位置表示の非相対論的シュレーディンガー方程式に重点が置かれている。計算と物理的解釈が意味を持つように、波動関数に対する以下の制約が明示的に定式化されることがある。^{[ 46 ] [ 47 ]}

• 波動関数は二乗可積分でなければならない。これは、波動関数を確率振幅として解釈するコペンハーゲン解釈に基づいている。
• それはあらゆる場所で連続かつあらゆる場所で連続微分可能でなければならない。これは、物理的に妥当なほとんどのポテンシャルに対してシュレーディンガー方程式が現れるという事実に基づいている。

特別な目的のために、これらの条件を多少緩和することは可能です。^{[注11 ]} これらの要件が満たされない場合、波動関数を確率振幅として解釈することはできません。^{[ 48 ]}ポテンシャル場の無限不連続点では、導関数の連続性の規則に例外が生じる可能性があることに注意してください。たとえば、ポテンシャルが無限不連続であることがわかっている箱の境界で波動関数の導関数が不連続になる可能性がある箱の中の粒子の場合です。

これは、これらの特定の波動関数が存在するヒルベルト空間の構造を変えるものではありませんが、2 番目の要件を満たす二乗可積分関数のサブスペースL ²はヒルベルト空間であり、L ²では閉じていないため、それ自体はヒルベルト空間ではありません。^{[ nb 12 ]} 要件を満たさない関数は、技術的および実用的な理由の両方から依然として必要です。^{[ nb 13 ] [ nb 14 ]}