リー代数の根号

リー理論という数学の分野では、リー代数の根号は^[1]の最大の解けるイデアルである。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

で表される根号は、次の数列に正確に当てはまる。 ${\displaystyle {\rm {rad}}({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle 0\to {\rm {rad}}({\mathfrak {g}})\to {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})\to 0}$。

ここで は半単純である。基底体が特性ゼロを持ち有限次元を持つとき、レヴィの定理は、この正確なシーケンスが分割されることを述べている。つまり、商写像の制限を介して半単純商に同型である の（必然的に半単純な）部分代数が存在する。${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}}).}$

同様の概念にボレル部分代数があり、これは（必ずしも一意ではない）最大可解部分代数です。

を体とし、を 上の有限次元リー代数とします。次の理由により 、根基と呼ばれる唯一の最大可解イデアルが存在します。${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle k}$

まず、とを の 2 つの可解なイデアルとします。 は再び のイデアルとなり、によるの拡張であるため可解となります。 次に、 のすべての可解なイデアルの和を考えます。 は可解なイデアルであるため、これは空ではありません。また、先ほど導出した和の性質により、これは可解なイデアルとなります。 明らかに、これは唯一の最大可解なイデアルです。 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}\simeq {\mathfrak {b}}/({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \{0\}}$

• リー代数は、その根号が である場合に限り、半単純です。${\displaystyle 0}$
• リー代数は、その根号がその中心に等しい場合にのみ簡約的です。

• レヴィ分解