半単純表現

数学、特に表現論において、半単純表現（完全に簡約な表現とも呼ばれる）は、単純表現（既約な表現とも呼ばれる）の直和である群または代数の線型表現である。 ^[1]これは、一般的な数学的概念である半単純性の一例である。

表現論の応用で現れる表現の多くは半単純であるか、半単純表現で近似できる。体上の代数上の半単純加群は半単純表現の一例である。逆に、体k上の群Gの半単純表現は、群代数k [ G  ] 上の半単純加群である。

V を群Gの表現とする。より一般的には、V を線型自己準同型が作用するベクトル空間とする。一般に、線型自己準同型が作用するベクトル空間は、それらの演算子の唯一の不変部分空間がゼロとベクトル空間自体である場合に単純（または既約）であると言われる。その意味で、半単純表現は単純表現の直和である。^[1]

以下は同等である: ^[2]

1. V は表現としては半単純です。
2. V は単純な部分表現の合計です。
3. Vの各部分表現W は、相補表現、すなわち、次の部分表現W 'を許容します。${\displaystyle V=W\oplus W'}$

上記の条件の同値性は、独立した興味深い 次の補題に基づいて証明できます。

補題の証明：が単純な表現であるとき、と書きます。一般性を失うことなく、 は部分表現であると仮定できます。つまり、直和が内部であると仮定できます。ここで、さまざまな部分集合 を持つすべての可能な直和の族を考えます。 の場合、 K 上の直和は J 上の直和よりも小さいとすることで、これに部分順序を付けます。 ツォルンの補題 により、となる極大値を見つけることができます。 であると主張します。定義により、したがって、 を示すだけで済みます。が の適切な部分表現である場合、となる が存在します。は単純（既約）なので、です。これは の最大性と矛盾するため、主張どおりです。したがって、 はpのセクションです。${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V}$${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle K\subset J}$${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle \operatorname {ker} p\cap V_{J}=0}$${\displaystyle V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}}$${\displaystyle \operatorname {ker} p\cap V_{J}=0}$${\displaystyle V=\オペレーター名 {ker} p+V_{J}}$${\displaystyle \operatorname {ker} p+V_{J}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k\in IJ}$${\displaystyle V_{k}\not \subset \operatorname {ker} p+V_{J}}$${\displaystyle V_{k}}$${\displaystyle V_{k}\cap (\operatorname {ker} p+V_{J})=0}$${\displaystyle J}$${\displaystyle V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}}$${\displaystyle W\simeq V/\operatorname {ker} p\simeq V_{J}\to V}$${\displaystyle \square}$

となるようなの集合 をとることはできないことに注意してください。その理由は、が の部分空間でありながら となることがあり、また頻繁に起こるからです。たとえば、 、および を の原点を通る 3 つの異なる直線とします。明示的な反例として、 を2 行 2 列の行列の代数とし、 を の正規表現とします。 および を設定し、と設定します。この場合、 、および はすべて既約 - 加群であり、です。を自然全射とします。この場合、 およびです。ただし、この和は直接的ではないためです。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \ker(p)\cap V_{i}=0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\oplus Z}$${\displaystyle X\cap Y=0=X\cap Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle A=\operatorname {Mat} _{2}F}$${\displaystyle V=A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V_{1}={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}}{\Bigr \}}}$${\displaystyle V_{2}={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}0&c\\0&d\end{pmatrix}}{\Bigr \}}}$${\displaystyle W={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}c&c\\d&d\end{pmatrix}}{\Bigr \}}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}}$${\displaystyle p:V\to V/W}$${\displaystyle \operatorname {ker} p=W\neq 0}$${\displaystyle V_{1}\cap \operatorname {ker} p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p}$${\displaystyle W\simeq V_{1}\simeq V_{2}}$${\displaystyle V\neq \operatorname {ker} p\oplus V_{1}\oplus V_{2}}$

同値性の証明^[4] : p を自然射影とする。Vは半単純であるため、p は分解され、したがって、切断を通じて、Wと相補的な部分表現と同型である。 ${\displaystyle 1.\Rightarrow 3.}$${\displaystyle V\to V/W}$${\displaystyle V/W}$

${\displaystyle 3.\Rightarrow 2.}$: まず、すべての非ゼロのサブ表現W には、単純なサブ表現があることを観察します。 W を(非ゼロの)巡回サブ表現に縮小すると、有限生成であると想定できます。すると、最大のサブ表現 U が存在します。条件 3. により、ある に対してとなります。モジュラー法則により、 が成立します。すると、 はWの単純なサブ表現です(最大性のため「単純」です)。これにより、 の観察が確立されます。ここで、をすべての単純なサブ表現の合計とします。これは、条件 3. により、相補表現 を許容します。 の場合、前述の観察により、 には単純なサブ表現が含まれ、したがって は無意味になります。したがって、 となります。 ${\displaystyle V=U\oplus U'}$${\displaystyle U'}$${\displaystyle W=U\oplus (W\cap U')}$${\displaystyle (W\cap U')\simeq W/U}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W'}$${\displaystyle W'\neq 0}$${\displaystyle W'}$${\displaystyle W\cap W'\neq 0}$${\displaystyle W'=0}$

${\displaystyle 2.\Rightarrow 1.}$: ^[5]この含意は、ベクトル空間の全域集合から基底を抽出できるという線型代数の基本事実を直接一般化したものである。つまり、次の少し正確な命題を証明できる。

• が単純な部分表現の和である場合、その和から半単純分解、すなわち何らかの部分集合を抽出できます。${\displaystyle V=\sum _{i\in I}V_{i}}$${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I'}V_{i}}$${\displaystyle I'\subset I}$

補題の証明と同様に、いくつかの で構成される最大の直和を見つけることができます。ここで、I内の各iについて、簡単に言うと、または です。2 番目のケースでは、直和はWの最大性と矛盾します。したがって、 です。${\displaystyle W}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V_{i}\subset W}$${\displaystyle V_{i}\cap W=0}$${\displaystyle W\oplus V_{i}}$${\displaystyle V_{i}\subset W}$${\displaystyle \square }$

有限次元ユニタリ表現（すなわち、ユニタリ群を因数分解する表現）は、半単純表現の基本的な例である。このような表現は、Wが部分表現である場合、 Wの直交補表現は補表現であるため、半単純である^[6] 。なぜなら、および の場合、 WはG不変であるため、 W内の任意のwに対して となり、したがって となるからである。 ${\displaystyle v\in W^{\bot }}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle \langle \pi (g)v,w\rangle =\langle v,\pi (g^{-1})w\rangle =0}$${\displaystyle \pi (g)v\in W^{\bot }}$

例えば、有限群またはコンパクト群Gの連続有限次元複素表現が与えられた場合、平均化の議論により、G不変であるV上の内積を定義できます。つまり、はユニタリ演算子であり、ユニタリ表現でもあります。^{[6]したがって、} Gのすべての有限次元連続複素表現は半単純です。^{[7]有限群の場合、これは}マシュケの定理の特別な場合であり、これは、 Gの位数を割り切らない特性を持つ体k上の有限群Gの有限次元表現は半単純であると述べています。^{[8] [9]}${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle \langle \,,\rangle }$${\displaystyle \langle \pi (g)v,\pi (g)w\rangle =\langle v,w\rangle }$${\displaystyle \pi (g)}$${\displaystyle \pi }$

ワイルの完全還元定理によれば、特性ゼロの体上の半単純リー代数のすべての有限次元表現は半単純である。 ^[10]

ベクトル空間Vの線型自己準同型Tが与えられたとき、VがTの表現として半単純（つまりTは半単純演算子）であるためには、Tの最小多項式が分離可能であること、つまり異なる既約多項式の積であることが必要である。^[11]

有限次元表現Vが与えられたとき、ジョルダン・ヘルダーの定理によれば、部分表現によるフィルタリングが存在する。つまり、連続する各商は単純表現となる。すると、関連するベクトル空間は、関連する半単純表現と呼ばれる半単純表現となり、同型を除いてVによって一意に決定される。^[12]${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0}$${\displaystyle V_{i}/V_{i+1}}$${\displaystyle \operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{i}/V_{i+1}}$

ユニポテント群の表現は一般に半単純ではない。を実数行列からなる群とすると、自然に作用してV をGの表現にする。W がVの次元 1 の部分表現である場合、簡単な計算でそれがベクトル によって張られることが示される。つまり、 VのG部分表現はちょうど 3 つ存在する。特に、Vは半単純ではない（一意の 1 次元部分表現は相補表現を許容しないため）。^[13]${\displaystyle G}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

半単純表現を単純表現に分解することを半単純分解と呼ぶが、これは一意である必要はない。例えば、自明な表現の場合、単純表現は1次元ベクトル空間であり、したがって半単純分解は表現ベクトル空間の基底を選択することに等しい。^[14]一方、同型分解は一意な分解の例である。^[15]

しかし、代数的に閉じた体上の有限次元半単純表現Vに対して、 Vの分解に現れる同型を除く単純表現の数は(1) 一意であり、 (2) 同型を除く表現を完全に決定する。^{[16]これは、次のようにして}シュアの補題から導かれる。代数的に閉じた体上の有限次元半単純表現Vが与えられているとする。定義により、これは単純表現の直和である。分解において、同型を除き互いに同型である単純表現をグループ化すると、分解（必ずしも一意ではない）が見つかる。^[16]

${\displaystyle V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}}}$

ここで、は単純な表現であり、互いに同型ではなく、正の整数である。シューアの補題により、 ${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$

${\displaystyle m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})}$、

ここで、 は同変線型写像を指す。また、が に同型な別の単純表現に置き換えられても、それぞれは変化しない。したがって、整数は選択された分解とは独立であり、同型を除いて、Vにおける単純表現 の重複度である。^[17]${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$

一般に、体k上の群Gの有限次元表現が与えられた場合、その合成はの指標と呼ばれる。^[18]が半単純で、分解が上記のとおりである場合、トレースは重複度を持つのトレースの和であり、したがって、G上の関数として、 ${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$${\displaystyle \chi _{V}:G\,{\overset {\pi }{\to }}\,GL(V)\,{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}\,k}$${\displaystyle (\pi ,V)}$${\displaystyle (\pi ,V)}$${\displaystyle V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}}}$${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (g))}$${\displaystyle \pi (g):V_{i}\to V_{i}}$

${\displaystyle \chi _{V}=\sum _{i}m_{i}\chi _{V_{i}}}$

ここで はの指標である。G が有限群、またはより一般的にはコンパクト群であり、平均化引数によって内積が与えられるユニタリ表現である場合、シューア直交関係は次のように述べている。^[19] Gの既約指標（単純表現の指標）はG上の複素数値関数の空間の正規直交部分集合であり、したがって である。 ${\displaystyle \chi _{V_{i}}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle m_{i}=\langle \chi _{V},\chi _{V_{i}}\rangle }$

半単純表現には、表現の同型分解と呼ばれる一意の分解があります。定義により、単純表現 S が与えられた場合、表現Vの型Sの同型成分は、 Sに同型であるVのすべての部分表現の和です。^{[15]この成分は、} Sに同型な部分表現のいくつかの選択の直和にも同型であることに注意します（したがって、成分は一意ですが、加数は必ずしも一意である必要はありません）。

すると、半単純表現Vの同型分解は（唯一の）直和分解となる：^{[15] [20]}

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\widehat {G}}}V^{\lambda }}$

ここで、はGの単純表現の同型類の集合であり、は何らかの に対する型SのVの同型成分です。 ${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle V^{\lambda }}$${\displaystyle S\in \lambda }$

を変数 の複素数上の同次 3 次多項式の空間とします。すると、は 3 つの変数の置換によって に作用します。これは有限群の有限次元複素表現であるため、半単純です。したがって、この 10 次元表現は 3 つの同型成分に分解でき、各成分は の 3 つの既約表現の 1 つに対応します。特に、 には自明表現の 3 つのコピー、符号表現の 1 つのコピー、およびの2 次元既約表現の 3 つのコピーが含まれます。たとえば、とのスパンはと同型です。これは、この 2 次元部分空間を次のように記述することで、より簡単に確認できます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}}$${\displaystyle x_{2}^{2}x_{3}-x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}-x_{3}^{2}x_{1}}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle W_{1}=\{a(x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{2}x_{3})+b(x_{2}^{2}x_{1}+x_{2}^{2}x_{3})+c(x_{3}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{2})\mid a+b+c=0\}}$。

の別のコピーも同様の形式で記述できます。 ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W_{2}=\{a(x_{2}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{1})+b(x_{1}^{2}x_{2}+x_{3}^{2}x_{2})+c(x_{1}^{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{3})\mid a+b+c=0\}}$。

3番目も同様です:

${\displaystyle W_{3}=\{ax_{1}^{3}+bx_{2}^{3}+cx_{3}^{3}\mid a+b+c=0\}}$。

すると、 はの 型の同型成分になります。 ${\displaystyle W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$

フーリエ解析では、（良い）関数をその関数のフーリエ級数の極限として分解する。同様に、表現そのものは半単純ではないかもしれないが、半単純表現の（適切な意味での）完備化であるかもしれない。この最も基本的なケースはピーター・ワイルの定理であり、これはコンパクト群の左（または右）正規表現をすべての単純ユニタリ表現の直和のヒルベルト空間完備化に分解する。系として、^{[21]コンパクト群}G上の（クラスの）二乗可積分関数のヒルベルト空間 =の自然な分解が存在する。 ${\displaystyle W=L^{2}(G)}$

${\displaystyle W\simeq {\widehat {\bigoplus _{[(\pi ,V)]}}}V^{\oplus \dim V}}$

ここで、 は直和の完備化を意味し、直和はGの単純な有限次元ユニタリ表現のすべての同型類にわたって実行されます。^{[注 1]}ここで、すべての単純なユニタリ表現 (同型を除く) は、表現の次元の重複度とともに和に現れることに注意してください。 ${\displaystyle {\widehat {\bigoplus }}}$${\displaystyle (\pi ,V)}$

群Gが有限群であるとき、ベクトル空間は単にGの群代数であり、また完備化は空である。したがって、定理は単に次のことを述べている。 ${\displaystyle W=\mathbb {C} [G]}$

${\displaystyle \mathbb {C} [G]=\bigoplus _{[(\pi ,V)]}V^{\oplus \dim V}.}$

つまり、Gの各単純表現は、表現の次元の重複度を持つ正規表現に現れる。^[22]これは有限群の表現論における標準的な事実の1つである（そして証明するのははるかに簡単である）。

群Gが円周群 のとき、定理はまさに古典的なフーリエ解析に相当する。^[23]${\displaystyle S^{1}}$

量子力学と素粒子物理学では、物体の角運動量は回転群 SO(3) の複素表現で記述することができ、これらはすべて半単純である。^[24] SO(3) と SU(2) の関係により、素粒子の非相対論的スピンはSU(2) の複素表現で記述され、相対論的スピンはSL ₂ ( C )の複素表現で記述され、これらはすべて半単純である。^[24]角運動量結合では、クレプシュ・ゴルダン係数は、既約表現のテンソル積の半単純分解で発生する既約表現の多重度から生じる。^[25]