実在形式（嘘理論）

数学において、実形式の概念は、実数と複素数の体上で定義されたオブジェクトを関連付けます。実リー代数g _0は、 gがg ₀の複素化である場合、複素リー代数gの実形式と呼ばれます。

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\simeq {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .}$

実形式の概念は複素リー群に対しても定義できます。複素半単純リー群とリー代数の実形式は、エリー・カルタンによって完全に分類されています。

リー群とリー代数間のリー対応を用いて、リー群の実形式の概念を定義することができる。線型代数群の場合、複素化と実形式の概念は代数幾何学の言語で自然に記述できる。

複素半単純リー代数がディンキン図によって分類されるのと同様に、半単純リー代数の実数形式はサタケ図によって分類されます。サタケ図は、複素形式のディンキン図から、いくつかの頂点を黒（塗りつぶし）でラベル付けし、他のいくつかの頂点を矢印でペアにして特定の規則に従って接続することによって得られます。

複素半単純リー代数の構造理論における基本的な事実は、そのような代数はすべて 2 つの特殊実数形式を持つということである。1 つはコンパクト実数形式で、リー対応の下でコンパクト リー群に対応し (そのサタケ図ではすべての頂点が黒くなっている)、もう 1 つは分割実数形式で、コンパクトからできるだけ遠いリー群に対応する (そのサタケ図では黒くなっている頂点がなく、矢印もない)。複素特殊線型群 SL ( n , C ) の場合、コンパクト実数形式は特殊ユニタリ群 SU ( n ) であり、分割実数形式は実特殊線型群SL ( n , R ) である。半単純リー代数の実数の分類は、エリー・カルタンがリーマン対称空間の文脈で達成した。一般に、実数が 3 つ以上存在する場合がある。

g _{0 が}実数体上の半単純リー代数であると仮定します。カルタンの基準により、キリング形式は非退化であり、対角要素が +1 または -1 である適切な基底で対角化できます。シルベスターの慣性法則により、正の要素の数、つまり慣性の正の指数は双線型形式の不変量です。つまり、対角化基底の選択に依存しません。これは 0 とgの次元の間の数であり、実リー代数の重要な不変量であり、指数と呼ばれます。

有限次元複素半単純リー代数gの実形式g ₀は、各カルタン分解g ₀ = k ₀  ⊕  p ₀において、空間p _0がg ₀の最大アーベル部分代数、すなわちそのカルタン部分代数を含むとき、分割 あるいは正規であるという。エリー・カルタンは、すべての複素半単純リー代数gには、同型を除いて一意である分割実形式があることを証明した。 ^[1]それはすべての実形式の中で最大の指数を持つ。

分割形式は、頂点が黒く塗られておらず、矢印もない サタケ図に相当します。

実リー代数g _0は、キリング形式が負定値、つまりg ₀のインデックスが 0 である場合にコンパクトと呼ばれます。この場合、g ₀  =  k _0はコンパクト リー代数です。リー対応の下では、コンパクト リー代数はコンパクト リー群に対応することが知られています。

コンパクト形式は、すべての頂点が黒くなっているサタケ図に対応します。

一般に、コンパクト実数の構成には半単純リー代数の構造理論が使用されます。古典的なリー代数の場合は、より明示的な構成があります。

g _{0 を}R上の転置写像に関して閉じた 行列の実リー代数とする。

${\displaystyle X\to {X}^{t}.}$

するとg _{0 は、その}歪対称部分 k ₀と対称部分 p ₀の直和に分解されます。これがカルタン分解です。

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}.}$

g ₀の複素化gはg ₀とig ₀の直和に分解される。行列の実ベクトル空間

${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus i{\mathfrak {p}}_{0}}$

は、交換子に関して閉じており、歪エルミート行列からなる複素リー代数gの部分空間です。したがって、u _{0 は}gの実リー部分代数であり、そのキリング形式は負定値であり（コンパクトなリー代数になります）、u _{0の複素化は}gです。したがって、u _0はgのコンパクトな形式です。

• 複素化（リー群）