アフィンリー代数

数学において、アフィン リー代数は、有限次元単純リー代数から標準的な方法で構築される無限次元リー代数です。アフィン リー代数が与えられれば、以下で説明するように、関連するアフィン カック-ムーディ代数を形成することもできます。純粋に数学的な観点から、アフィン リー代数は、有限次元半単純リー代数の表現理論と同様に、その表現理論が一般のカック-ムーディ代数の表現理論よりもはるかによく理解されているため興味深いものです。Victor Kacによって観察されたように、アフィン リー代数の表現の指標式は、特定の組み合わせ恒等式、つまりマクドナルド恒等式を意味します。

アフィン リー代数は、その構築方法により、弦理論と2 次元共形場理論で重要な役割を果たします。単純リー代数 から始めて、点ごとの交換子を持つ円 (閉じた弦として解釈される) 上の - 値関数によって形成されるループ代数を考えます。アフィン リー代数は、ループ代数に 1 つの次元を追加し、交換子を非自明な方法で変更することによって得られます。これを物理学者は量子異常(この場合は、 WZW モデルの異常) と呼び、数学者は中心拡大と呼びます。より一般的には、 σ が単純リー代数の自己同型で、そのディンキン図の自己同型に関連付けられている場合、ツイスト ループ代数は、ツイスト周期性条件f ( x + 2 π ) = σ f ( x )を満たす実数直線上の- 値関数fで構成されます。それらの中心的な拡張は、まさにねじれたアフィン リー代数です。弦理論の観点は、アフィン リー代数の表現のキャラクターがモジュラー グループの下で相互に変換されるという事実など、アフィン リー代数の多くの深い性質を理解するのに役立ちます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle L{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle L_{\sigma }{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

が有限次元単純リー代数である場合、対応するアフィンリー代数は、1次元の中心を持つループ代数の中心拡張として構築されます 。ベクトル空間として、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]}$${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } c.}$

${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {g}}}={\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]\oplus \mathbb {\mathbb {C} } c,}$

ここで、は不定tにおけるローラン多項式の複素ベクトル空間である。リー括弧は次式で定義される。 ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]}$

${\displaystyle [a\otimes t^{n}+\alpha c,b\otimes t^{m}+\beta c]=[a,b]\otimes t^{n+m}+\langle a|b\rangle n\delta _{m+n,0}c}$

すべての およびに対して、 はリー代数のリー括弧であり、 はのカルタンキリング形式である。${\displaystyle a,b\in {\mathfrak {g}},\alpha ,\beta \in \mathbb {\mathbb {C} } }$${\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

有限次元半単純リー代数に対応するアフィンリー代数は、その単純被加数に対応するアフィンリー代数の直和である。アフィンリー代数の明確な導出は次のように定義される。

${\displaystyle \delta (a\otimes t^{m}+\alpha c)=t{d \over dt}(a\otimes t^{m}).}$

対応するアフィンKac-Moody代数は、 [ d、A ] = δ ( A )を満たす追加の生成元dを追加することによって半直積として定義されます。

各アフィン リー代数のディンキン図は、対応する単純リー代数のディンキン図に、虚根の追加に対応する追加のノードを加えたものです。もちろん、そのようなノードはディンキン図の任意の場所に接続できるわけではありませんが、各単純リー代数には、リー代数の外部自己同型群の濃度に等しい数の可能な接続が存在します。特に、この群には常に単位元が含まれ、対応するアフィン リー代数は非ねじれアフィン リー代数と呼ばれます。単純代数が内部自己同型でない自己同型を許容する場合、他のディンキン図が得られ、これらはねじれアフィン リー代数 に対応します。

対応する単純リー代数のディンキン図に追加のノードを追加することは、次の構成に対応します。アフィン リー代数は、対応する単純リー代数のループ代数の中心拡張として常に構成できます。代わりに半単純リー代数から始める場合は、半単純代数の単純成分の数に等しい数の要素で中心拡張する必要があります。物理学では、代わりに半単純代数とアーベル代数の直和を検討することがよくあります。この場合、n個のアーベル生成子に対してn 個のさらに中心要素を追加する必要があります。 ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{n}}$

対応する単純コンパクトリー群のループ群の第二積分コホモロジーは整数に同型である。単一の生成元によるアフィン リー群の中心拡大は、この自由ループ群上の位相的に円束であり、ファイバ化の最初のチャーン類として知られる 2 つの類によって分類される。したがって、アフィン リー群の中心拡大は、物理学の文献でレベルと呼ばれ、最初に登場した単一のパラメータkによって分類される。アフィン コンパクト群のユニタリ最高重み表現は、 kが自然数の場合にのみ存在する。より一般的には、半単純代数を考えると、各単純成分の中心電荷が存在する。

有限の場合と同様に、カルタン-ワイル基底を決定することは、アフィンリー代数の構造を決定する上で重要なステップです。

カルタン部分代数と特定のルート系を持つ有限次元の単純複素リー代数を固定します。 という表記法を導入すると、 のカルタン-ワイル基底をで与えられるアフィンリー代数に対する基底に拡張することができ、アーベル部分代数を形成します。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle X_{n}=X\otimes t^{n},}$${\displaystyle \{H^{i}\}\cup \{E^{\alpha }|\alpha \in \Delta \}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \{H_{n}^{i}\}\cup \{c\}\cup \{E_{n}^{\alpha }\}}$${\displaystyle \{H_{0}^{i}\}\cup \{c\}}$

およびの固有値はそれぞれ およびであり、 とは独立である。したがって、根はこのアーベル部分代数に関して無限に退化している。アーベル部分代数に上記の導出を加えると、アーベル部分代数はアフィンリー代数のカルタン部分代数になり、の固有値は${\displaystyle ad(H_{0}^{i})}$${\displaystyle ad(c)}$${\displaystyle E_{n}^{\alpha}}$${\displaystyle \alpha^{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle (\alpha ^{1},\cdots ,\alpha ^{dim{\mathfrak {h}}},0,n)}$${\displaystyle E_{n}^{\alpha }.}$

キリング形式は、その不変性を利用してほぼ完全に決定できます。上のキリング形式の表記と、アフィン Kac–Moody 代数上のキリング形式の 表記を使用します。ただし、最後の方程式だけが不変性によって固定されておらず、代わりに慣例によって選択されています。特に、 を部分空間に 制限すると、シグネチャ を持つ双線型形式が得られます。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$$${\displaystyle {\hat {B}}(X_{n},Y_{m})=B(X,Y)\delta _{n+m,0},}$$ $${\displaystyle {\hat {B}}(X_{n},c)=0,{\hat {B}}(X_{n},d)=0}$$ $${\displaystyle {\hat {B}}(c,c)=0,{\hat {B}}(c,d)=1,{\hat {B}}(d,d)=0,}$$${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle c,d}$${\displaystyle (+,-)}$

に関連するアフィン根を と書きます。を定義すると、これは次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle E_{n}^{\alpha}}$${\displaystyle {\hat {\alpha }}=(\alpha ;0;n)}$${\displaystyle \delta =(0,0,1)}$$${\displaystyle {\hat {\alpha }}=\alpha +n\delta .}$$

根の完全な集合は であり、長さが 0 であるため異常です。ここでは、キリング形式によって誘導される根の双線形形式です。 $${\displaystyle {\hat {\Delta }}=\{\alpha +n\delta |n\in \mathbb {Z} ,\alpha \in \Delta \}\cup \{n\delta |n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\}.}$$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle (\delta ,\delta )=0}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$

アフィン代数の単純根の基底を得るためには、追加の単純根を付加する必要があり、これは によって与えられます 。 ここで は、根の高さの通常の概念を使用した の最大の根です。これにより、拡張カルタン行列と拡張ディンキン図の定義が可能になります。 $${\displaystyle \alpha _{0}=-\theta +\delta }$$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

アフィン リー代数の表現理論は、通常、 Verma モジュールを使用して開発されます。半単純リー代数の場合と同様に、これらは最高重みモジュールです。有限次元表現はありません。これは、有限次元 Verma モジュールのヌル ベクトルが必然的に 0 であるのに対し、アフィン リー代数のヌル ベクトルは 0 ではないという事実から生じます。大まかに言えば、これは、キリング形式が方向に対してローレンツ的であるため、弦上の「光円錐座標」と呼ばれることがあるためです。「放射状に順序付けられた」現在の演算子積は、弦の世界面に沿った時間的方向と空間方向をとることで、時間的正規順序付けされていると理解できます。 ${\displaystyle c,\delta }$${\displaystyle (z,{\bar {z}})}$${\displaystyle z=\exp(\tau +i\sigma )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \sigma }$

表現は以下のようにより詳細に構築される。^[1]

リー代数と基底を固定します。すると、 は対応するループ代数の基底となり、 はアフィン リー代数の基底となります。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \{J^{\rho }\}}$${\displaystyle \{J_{n}^{\rho }\}=\{J^{\rho }\otimes t^{n}\}}$${\displaystyle \{J_{n}^{\rho }\}\cup \{c\}}$${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$

階数 の真空表現は${\displaystyle k}$で表され、は基底を持つ複素表現です。 ここで、 の作用は次のように与えられます。 ${\displaystyle V_{k}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle k\in \mathbb {C} }$$${\displaystyle \{v_{\,n_{1}\,\cdots \,n_{m}}^{\,\rho _{1}\,\cdots \,\rho _{m}}:n_{1}\geq \cdots \geq n_{m}\geq 1,\rho _{1}\leq \cdots \leq \rho _{m}\}\cup \{\Omega \},}$$${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$${\displaystyle V=V_{k}({\mathfrak {g}})}$$${\displaystyle c=k\,{\text{id}}_{V},\qquad J_{n}^{\rho }\Omega =0,\ \mathrm {for} \ n\geq 0,\qquad J_{-n}^{\rho }\Omega =v_{n}^{\rho },\ \mathrm {for} \ n>0,}$$ $${\displaystyle \mathrm {and} \ J_{-n}^{\rho }v_{\,n_{1}\cdots n_{m}}^{\,\rho _{1}\cdots \rho _{m}}=v_{\,n\,n_{1}\cdots n_{m}}^{\,\rho \,\rho _{1}\cdots \rho _{m}}.}$$

実際、真空表現は頂点代数構造を備えることができ、その場合、階数のアフィン頂点代数と呼ばれます。 アフィンリー${\displaystyle k}$代数は自然にカッツ・ムーディ代数に拡張され、微分は頂点代数の変換演算子によって表されます。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle T}$

アフィンリー代数のワイル群は、ゼロモード代数（ループ代数を定義するために使用されるリー代数）のワイル群とコルート格子の半直積として表すことができます 。

アフィン リー代数の代数的指標のワイル指標公式は、ワイル-カッツ指標公式に一般化されます。これらから、多くの興味深い構成が導かれます。ヤコビ シータ関数の一般化を構築できます。これらのシータ関数は、モジュラー グループの下で変換されます。半単純リー代数の通常の分母恒等式も一般化されます。指標は「変形」または最大重みのq 類似体として記述できるため、これにより、デデキント イータ関数のこれまで知られていなかった恒等式など、多くの新しい組み合わせ恒等式が生まれました。これらの一般化は、ラングランズ プログラムの実用的な例として見ることができます。

菅原構成により、任意のアフィンリー代数の普遍包絡代数は、ヴィラソロ代数を部分代数として持つ。これにより、アフィンリー代数は、 WZWモデルや剰余類モデルなどの共形場理論の対称代数として機能できる。結果として、アフィンリー代数は弦理論の世界面記述にも現れる。

交換関係を満たす 生成元によって定義されるハイゼンベルク代数^[2]は 、アフィンリー代数として実現できる。 ${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {Z} }$$${\displaystyle [a_{m},a_{n}]=m\delta _{m+n,0}c}$$${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}(1)}$

• フックス、ユルゲン（1992）、アフィンリー代数と量子群、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-48412-X
• ゴダード、ピーター、オリーブ、デイビッド（1988）、カツ・ムーディおよびヴィラソロ代数：物理学者のための復刻版、数理物理学上級シリーズ、第3巻、ワールドサイエンティフィック、ISBN 9971-5-0419-7
• Kac, Victor (1990)、無限次元リー代数（第3版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-46693-8
• 河野俊武（1998）『共形場理論と位相』アメリカ数学会、ISBN 0-8218-2130-X
• プレスリー、アンドリュー;シーガル、グレアム(1986)、ループグループ、オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-853535-X