ライプニッツ代数

数学において、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツにちなんで名付けられた（右）ライプニッツ代数（ジャン＝ルイ・ロデイにちなんでロデイ代数とも呼ばれる）は、可換環 R上の加群Lであり、双線形積 [ _ , _ ] がライプニッツ恒等式を満たすものである。

${\displaystyle [[a,b],c]=[a,[b,c]]+[[a,c],b].\,}$

言い換えれば、任意の要素cによる右乗算は微分である。さらに括弧が交代的である場合 ([ a , a ] = 0)、ライプニッツ代数はリー代数である。実際、この場合 [ a , b ] = − [ b , a ] であり、ライプニッツ恒等式はヤコビ恒等式 ([ a , [ b , c ]] + [ c , [ a , b ]] + [ b , [ c , a ]] = 0) と等価である。逆に、任意のリー代数は明らかにライプニッツ代数である。                   

この意味で、ライプニッツ代数はリー代数の非可換一般化と見なすことができる。リー代数のどの定理や性質がライプニッツ代数にも依然として有効であるかを調べることは、文献で繰り返し取り上げられているテーマである。^{[ 1 ]}例えば、エンゲルの定理はライプニッツ代数にも依然として成り立つことが示されている^{[ 2 ] [ 3 ]}し、レヴィ・マルチェフの定理の弱いバージョンも成り立つことが示されている^{[ 4 ]}。

テンソルモジュール、${\textstyle T(V)=\bigoplus _{i=1}^{\infty }V^{\otimes i}}$任意のベクトル空間Vの は、次のような Loday 代数に変換できます。

${\displaystyle [a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n},x]=a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}\otimes x\quad {\text{for }}a_{1},\ldots ,a_{n},x\in V.}$

これはV上の自由ロデイ代数です。

ライプニッツ代数は 1965 年に A. Bloh によって発見され、D 代数と呼ばれました。ジャン＝ルイ・ロデイが、リー代数の外部モジュールにおける古典的なChevalley–Eilenberg 境界写像をテンソルモジュールに持ち上げると新しい鎖複体が得られることに気付いた後、関心を集めました。実際、この複体は任意のライプニッツ代数に対してwell-definedです。この鎖複体のホモロジーHL ( L ) はライプニッツホモロジーとして知られています。Lが結合R代数 A上の (無限) 行列のリー代数である場合、 LのライプニッツホモロジーはAのHochschild ホモロジー上のテンソル代数です。

ジンビール代数は、ライプニッツ代数に対するコズル双対概念である。その定義となる恒等式は以下の通りである。

${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)+a\circ (c\circ b).}$