量子群

数学と理論物理学において、量子群という用語は、追加の構造を持つ数種類の非可換代数のうちの1つを指します。これらには、ドリンフェルト–ジンボ型量子群（準三角ホップ代数）、コンパクト行列量子群（単位分離C*-代数上の構造）、および双積量子群が含まれます。その名前にもかかわらず、それらはある意味で群に「近い」ものの、それ自体は自然な群構造を持っていません。

「量子群」という用語は、量子可積分系の理論で初めて登場し、その後、ウラジミール・ドリンフェルトとミチオ・ジンボによってホップ代数の特定のクラスとして形式化されました。同じ用語は、ドリンフェルトとジンボの研究の少し後にシャーン・マジッドによって導入された量子群の「双積」クラスなど、古典的なリー群またはリー代数を変形またはそれに近い他のホップ代数にも使用されます。

Drinfeld のアプローチでは、量子群は補助パラメータqまたはhに依存するホップ代数として発生し、q = 1 またはh = 0のときに、特定のリー代数 (多くの場合、半単純またはアフィン)の普遍包絡代数になります。密接に関連しているのは、ホップ代数であり、量子群とも呼ばれる特定の双対オブジェクトであり、対応する半単純代数群またはコンパクトリー群上の関数の代数を変形します。

量子群の発見は全く予想外のことでした。なぜなら、コンパクト群と半単純リー代数は「固定された」オブジェクト、つまり「変形」できないことは長い間知られていたからです。量子群の背後にあるアイデアの 1 つは、ある意味では同等だがより大きな構造、つまり群代数または普遍包絡代数を考えると、群代数または包絡代数は「変形」できるというものです。ただし、変形はもはや群代数または包絡代数のままではなくなります。より正確には、変形は、可換または余可換である必要がないホップ代数のカテゴリ内で実現できます。変形されたオブジェクトは、アラン・コンヌの非可換幾何学の精神に則り、「非可換空間」上の関数の代数と考えることができます。しかしながら、この直感は、レニングラード学派（ルートヴィヒ・ファデーエフ、レオン・タクタジャン、エフゲニー・スクリャニン、ニコライ・レシェティキン、ウラジミール・コレーピン）によって開発された量子ヤン・バクスター方程式と量子逆散乱法の研究、および日本学派による関連研究において、特定のクラスの量子群の有用性がすでに証明された後に得られたものである。^{[1] 2番目の双}積クラスの量子群の背後にある直感は異なり、量子重力へのアプローチとしての自己双対オブジェクトの探索から生まれたものである。^[2]

一般に「量子群」と呼ばれるオブジェクトの一種は、ウラジミール・ドリンフェルトと神保道夫の研究で、半単純リー代数、またはより一般的にはカツ・ムーディ代数の普遍包絡代数の変形としてホップ代数のカテゴリに登場しました。結果として得られる代数には追加の構造があり、準三角ホップ代数になります。

A = ( a _ij )をKac-Moody 代数のカルタン行列とし、 q ≠ 0, 1 を複素数とすると、量子群U _q ( G ) （Gはカルタン行列がAであるリー代数）は、生成元k _λ（ここでλは重み格子の元、つまり 2(λ, α _i )/(α _i , α _i ) はすべてのiに対して整数）、およびe _iとf _i （単純 根、 α _iの場合）を持つ単位結合代数として定義され、次の関係が成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{0}&=1\\k_{\lambda }k_{\mu }&=k_{\lambda +\mu }\\k_{\lambda }e_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{(\lambda ,\alpha _{i})}e_{i}\\k_{\lambda }f_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{-(\lambda ,\alpha _{i})}f_{i}\\\left[e_{i},f_{j}\right]&=\delta _{ij}{\frac {k_{i}-k_{i}^{-1}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}&&k_{i}=k_{\alpha _{i}},q_{i}=q^{{\frac {1}{2}}(\alpha _{i},\alpha _{i})}\\\end{aligned}}}$

そして、 i ≠ jの場合には、セール関係の変形であるq -セール関係が成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}e_{i}^{n}e_{j}e_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\\[6pt]\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}f_{i}^{n}f_{j}f_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\end{aligned}}}$

ここで、q階乗は、通常の階乗のq類似体であり、q数を使用して再帰的に定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{[0]}_{q_{i}}!&=1\\{[n]}_{q_{i}}!&=\prod _{m=1}^{n}[m]_{q_{i}},&&[m]_{q_{i}}={\frac {q_{i}^{m}-q_{i}^{-m}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}\end{aligned}}}$

q → 1の極限では、これらの関係は普遍包絡代数U ( G ) の関係に近づく。ここで、

${\displaystyle k_{\lambda }\to 1,\qquad {\frac {k_{\lambda }-k_{-\lambda }}{q-q^{-1}}}\to t_{\lambda }}$

そしてtλ_はカルタン部分代数の元であり、カルタン部分代数内のすべてのhに対して( _tλ , h ) = λ ( h )を満たす。

これらの代数がホップ代数となるような様々な共積が存在する。例えば、

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\Delta _{1}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{1}(e_{i})=1\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}&\Delta _{1}(f_{i})=k_{i}^{-1}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes 1\\\Delta _{2}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{2}(e_{i})=k_{i}^{-1}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes 1&\Delta _{2}(f_{i})=1\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}\\\Delta _{3}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{3}(e_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}&\Delta _{3}(f_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}\end{array}}}$

ここで、生成子の集合は、必要に応じて、重み格子の要素とルート格子の要素の半分の和として表現できるλに対してk _{λ を}含むように拡張されます。

さらに、任意のホップ代数は逆の余積T o Δ を持つ別のホップ代数につながります。ここで、 T はT ( x ⊗ y ) = y ⊗ xで与えられ、さらに 3 つのバージョンが可能です。

U _q ( A )上の余積は、これらすべての余積に対して同じである: ε ( k _λ ) = 1、ε ( e _i ) = ε ( f _i ) = 0、そして上記の余積のそれぞれの反対称体は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{array}{lll}S_{1}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{1}(e_{i})=-e_{i}k_{i}^{-1}&S_{1}(f_{i})=-k_{i}f_{i}\\S_{2}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{2}(e_{i})=-k_{i}e_{i}&S_{2}(f_{i})=-f_{i}k_{i}^{-1}\\S_{3}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{3}(e_{i})=-q_{i}e_{i}&S_{3}(f_{i})=-q_{i}^{-1}f_{i}\end{array}}}$

あるいは、量子群U _q ( G ) は、体C ( q )、つまりC上の不定qのすべての有理関数の体上の代数と見なすことができます。

同様に、量子群U _q ( G ) は、体Q ( q )、つまりQ上の不定qのすべての有理関数の体上の代数と見なすことができます ( q = 0における量子群のセクションを参照)。量子群の中心は量子行列式によって記述できます。

Kac-Moody 代数とその普遍包絡代数にはさまざまなタイプの表現があるのと同様に、量子群にもさまざまなタイプの表現があります。

すべてのホップ代数の場合と同様に、U _q ( G ) は、それ自身を加群として表現し、その作用は次のように与えられる。

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{x}\cdot y=\sum _{(x)}x_{(1)}yS(x_{(2)}),}$

どこ

${\displaystyle \Delta (x)=\sum _{(x)}x_{(1)}\otimes x_{(2)}.}$

重要な表現の1つに重み表現があり、対応するモジュールは重みモジュールと呼ばれます。重みモジュールは、重みベクトルの基底を持つモジュールです。重みベクトルは、_すべてのλに対してkλ · v = dλvとなる非ゼロベクトルvです。ここで、dλ は_、すべての重みλに対して複素数であり、

${\displaystyle d_{0}=1,}$

${\displaystyle d_{\lambda }d_{\mu }=d_{\lambda +\mu },}$すべての重みλとμについて。

重み加群は、 e _iとf _iの作用が 局所的に冪零である場合（つまり、加群内の任意のベクトルvに対して、 vに依存している可能性のある正の整数k が存在し、すべてのiに対してとなる場合）、積分可能と呼ばれます。積分可能加群の場合、重みベクトルに関連付けられた複素数d _{λ は}、^{[引用が必要]}を満たします。ここで、 νは重み格子の要素であり、c _{λ は}複素数であり、 ${\displaystyle e_{i}^{k}.v=f_{i}^{k}.v=0}$${\displaystyle d_{\lambda }=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}}$

• ${\displaystyle c_{0}=1,}$
• ${\displaystyle c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },}$すべての重みλとμについて、
• ${\displaystyle c_{2\alpha _{i}}=1}$すべての私に対して。

特に興味深いのは、最高重み表現と、それに対応する最高重みモジュールです。最高重みモジュールは、すべての重みμについてk _λ · v = d _λ v、すべてのiについてe _i · v = 0を条件として、重みベクトルvによって生成されるモジュールです。同様に、量子群は最低重み表現と最低重みモジュールを持つことができます。つまり、すべての重みλについてk _λ · v = d _λ v、すべてのiについてf _i · v = 0 を条件として、重みベクトルvによって生成されるモジュールです。

重み格子内の すべてのλに対して重みν を持つベクトルv を定義します。${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v=q^{(\lambda ,\nu )}v}$

Gが Kac-Moody 代数である場合、最高重み ν を持つU _q ( G )の任意の既約最高重み表現において、重みの重複度は、等しい最高重みを持つU ( G ) の既約表現におけるそれらの重複度に等しくなります。最高重みが優勢かつ整数である場合 (重みμがすべてのiに対して が負でない整数であるという条件を満たす場合、重みμは優勢かつ整数です)、既約表現の重みスペクトルはGのワイル群の下で不変であり、表現は積分可能です。 ${\displaystyle 2(\mu ,\alpha _{i})/(\alpha _{i},\alpha _{i})}$

逆に、最高重みモジュールが積分可能であれば、その最高重みベクトルvはを満たす。ここでc _λ · v = d _λ vは複素数であり、 ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}v}$

• ${\displaystyle c_{0}=1,}$
• ${\displaystyle c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },}$すべての重みλとμについて、
• ${\displaystyle c_{2\alpha _{i}}=1}$すべての私に対して、

そしてνは支配的かつ積分的である。

すべてのホップ代数の場合と同様に、 2つのモジュールのテンソル積は別のモジュールです。U q (G) の元xと、_それぞれのモジュールのベクトルvとwについて、 x ⋅ ( v ⊗ w ) = Δ( x ) ⋅ ( v ⊗ w ) であるため、 となり、余積 Δ ₁の場合は、${\displaystyle k_{\lambda }\cdot (v\otimes w)=k_{\lambda }\cdot v\otimes k_{\lambda }.w}$${\displaystyle e_{i}\cdot (v\otimes w)=k_{i}\cdot v\otimes e_{i}\cdot w+e_{i}\cdot v\otimes w}$${\displaystyle f_{i}\cdot (v\otimes w)=v\otimes f_{i}\cdot w+f_{i}\cdot v\otimes k_{i}^{-1}\cdot w.}$

上で説明した積分可能な最高重みモジュールは、1次元モジュール（すべてのλに対してk _λ = c _λ、すべてのiに対してe _i = f _i = 0 ）と、すべての重みλに対して、すべてのiに対しての対象となる非ゼロベクトルv ₀によって生成される最高重みモジュールとのテンソル積です。 ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v_{0}=q^{(\lambda ,\nu )}v_{0}}$${\displaystyle e_{i}\cdot v_{0}=0}$

G が有限次元リー代数（カッツ・ムーディ代数の特殊なケース）である 特定のケースでは、支配的な積分最高重みを持つ既約表現も有限次元になります。

最高重みモジュールのテンソル積の場合、サブモジュールへの分解は、Kac-Moody 代数の対応するモジュールのテンソル積の場合と同じです (最高重みは同じであり、その重複度も同じです)。

厳密には、量子群U _q ( G ) は準三角ではないが、 R行列の役割を果たす無限形式和が存在するという点で「ほぼ準三角」であると考えられる。この無限形式和は、生成子e _iおよびf _i、およびカルタン生成子t _λで表現でき、ここでk _{λ は}q ^{t _λ}と形式的に同一視される。無限形式和は、2 つの因子の積である。^{[引用が必要]}

${\displaystyle q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}}$

無限の形式和であり、λ _{j は}カルタン部分代数の双対空間の基底、μ _{j は}双対基底、η = ±1 である。

R行列の役割を果たす形式的な無限和は、2つの既約な最高重みモジュールのテンソル積と、2つの最低重みモジュールのテンソル積に対して明確に定義された作用を持つ。具体的には、v が重みαを持ち、w が重みβ を持つ場合、

${\displaystyle q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}\cdot (v\otimes w)=q^{\eta (\alpha ,\beta )}v\otimes w,}$

そして、モジュールが両方とも最高重みモジュールであるか、両方とも最低重みモジュールであるという事実は、v ⊗ Wに対する他の因子の作用を有限和に減らします。

具体的には、V が最高重みモジュールである場合、形式的な無限和Rは、 V ⊗ Vに対して明確に定義され、可逆な作用を持ち、このRの値(End( V ⊗ V ) の要素として)はヤン・バクスター方程式を満たすため、組紐群の表現を決定し、結び目、リンク、組紐の準不変量を定義できます。

柏原正樹は、q → 0としての量子群の極限挙動を研究し、結晶基底と呼ばれる特に良好な挙動を示す基底を発見しました。

q ⁿ = 1 の場合の上記U _q ( g )のような量子群の有限商の記述については、かなりの進歩がありました。通常は、尖ったホップ代数のクラスを考慮します。これは、すべての単純な左または右の余加群が 1 次元であり、したがって、そのすべての単純な部分余代数の合計が、余加群と呼ばれる群代数を形成することを意味します。

• 2002年にH.-J. SchneiderとN. Andruskiewitsch ^[3]は、アーベル共根基群（素数2、3、5、7を除く）を持つ尖端ホップ代数の分類を完了しました。特に、U _q ( g )の上記の有限商は、通常の半単純リー代数と同様に、 E ′（ボレル部）、双対F ′、K ′（カルタン代数）に分解されます。

${\displaystyle \left({\mathfrak {B}}(V)\otimes k[\mathbf {Z} ^{n}]\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\right)^{\sigma }}$

ここで、古典理論と同様に、V はE ′によって張られるn次元の編組ベクトル空間であり、 σ (いわゆるコサイクルツイスト) はE ′ とF ′の間に非自明なリンクを作成します。古典理論とは対照的に、リンクされたコンポーネントが 2 つ以上出現する可能性があることに注意してください。量子ボレル代数の役割は、編組ベクトル空間のニコルス代数によって引き継がれます。 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$

• 重要な要素は、I. ヘッケンバーガーによる、一般化されたディンキン図によるアーベル群の有限ニコルス代数の分類でした。^[4]小さな素数が存在する場合、三角形などのいくつかの珍しい例が発生します（ランク3のダンキン図の図も参照）。

• 一方、シュナイダーとヘッケンベルガー^[5]は、非可換の場合にも算術 ルート系の存在を一般的に証明し、可換の場合にカルチェコによって証明されたPBW基底を生成した（有限次元の仮定なし）。これは^[6]特定のケース U _q ( g )に使用でき、例えばこれらの量子群の特定の共イデアル部分代数とリー代数gのワイル群の順序との間の数値的一致を説明できる。

SL Woronowicz はコンパクト行列量子群を導入しました。コンパクト行列量子群は、その構造上の「連続関数」がC* 代数の要素によって与えられる抽象構造です。コンパクト行列量子群の幾何学は、非可換幾何学の特殊なケースです。

コンパクトなハウスドルフ位相空間上の連続複素数値関数は可換 C*-代数を形成します。ゲルファントの定理により、可換 C*-代数はコンパクトなハウスドルフ位相空間上の連続複素数値関数の C*-代数に同型であり、位相空間は同相写像を除いて C*-代数によって一意に決定されます。

コンパクトな位相群Gに対して、C*-代数準同型 Δ: C ( G ) → C ( G ) ⊗ C ( G ) （ここでC ( G ) ⊗ C ( G )は C*-代数テンソル積、つまりC ( G ) とC ( G )の代数テンソル積の完備化）が存在し、すべてのf ∈ C ( G )に対して Δ( f )( x , y ) = f ( xy )が成り立ち、すべてのx、y ∈ Gに対して Δ ( f )( x , y ) が成り立ちます（ただし、すべてのf、g ∈ C ( G ) およびすべてのx、y ∈ Gに対して、 ( f ⊗ g )( x , y ) = f ( x ) g ( y ) が成り立ちます）。また、すべてのf ∈ C ( G ) およびすべてのx ∈ Gに対してκ ( f )( x ) = f ( x ⁻¹ )となるような線形乗法写像κ : C ( G ) → C ( G ) も存在する。厳密には、 Gが有限でない限り、これによってC ( G ) がホップ代数になるわけではない。一方、Gの有限次元表現は、 C ( G )の *-部分代数を生成するために使用することができ、これもホップ *-代数である。具体的には、 がGのn次元表現である場合、すべてのi、j u _ij ∈ C ( G )に対して、 ${\displaystyle g\mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}}$

${\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}.}$

したがって、すべてのi、jに対してu _ijとすべてのi、jに対してκ ( u _ij )によって生成される*-代数はホップ*-代数である。余単位はすべてのi、jに対してε( u _ij ) = δ _ijによって決定され（ここでδ _ijはクロネッカーのデルタ）、対蹠はκであり、単位は次のように与えられる。

${\displaystyle 1=\sum _{k}u_{1k}\kappa (u_{k1})=\sum _{k}\kappa (u_{1k})u_{k1}.}$

一般化として、コンパクト行列量子群は、CがC*代数であり、Cに次の要素を持つ行列であるペア（ C、u）として定義されます。 ${\displaystyle u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

• uの行列要素によって生成されるCの*-部分代数C _0はCにおいて稠密である。

• 共乗法 Δ: C → C ⊗ Cと呼ばれる C* 代数準同型が存在し、(ここでC ⊗ Cは C* 代数テンソル積、つまりCとCの代数テンソル積の完備化です)、すべてのi, jに対して次が成り立ちます。

${\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}}$

• κ: C ₀ → C ₀ (逆写像)が存在し、 κ ( κ ( v *)*) = v がすべてのv ∈ C ₀に対して成り立ち、

${\displaystyle \sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I,}$

ここで、I はCの単位元です。 κ は逆乗法なので、C ₀のすべてのv、wに対してκ ( vw ) = κ ( w ) κ ( v ) が成り立ちます。

連続性の結果として、C上の共乗法は共結合的である。

一般に、C は双代数ではなく、C ₀はホップ * 代数です。

非公式には、C はコンパクト行列量子群上の連続複素数値関数の * 代数と見なすことができ、u はコンパクト行列量子群の有限次元表現と見なすことができます。

コンパクト行列量子群の表現は、ホップ*-代数の共表現（共結合共代数の共表現）によって与えられる。AはAに要素を持つ正方行列である（したがってvはM( n , A )に属する）ので、 ${\displaystyle v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

${\displaystyle \Delta (v_{ij})=\sum _{k=1}^{n}v_{ik}\otimes v_{kj}}$

すべてのi、jに対してε ( v _ij ) = δ _ijが成り立ちます。さらに、表現vがユニタリであるとは、 vの行列がユニタリである場合 (または、すべての i 、 j に対して κ( v ij ) = v * _ijが成り立つ_場合)を指します。

コンパクト行列量子群の例はSU _μ (2)で、パラメータμは正の実数である。したがってSU _μ (2) = (C(SU _μ (2)), u )であり、C(SU _μ (2))はαとγによって生成されるC*代数であり、

${\displaystyle \gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,}$

${\displaystyle \alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,}$

そして

${\displaystyle u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

したがって、共乗は ∆(α) = α ⊗ α − γ ⊗ γ*、∆(γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α* によって決定され、共乗は κ(α) = α*、κ によって決定されます。 (γ) = −μ ⁻¹ γ、κ(γ*) = −μγ*、 κ(α*) = α。u は表現ですが、単一表現ではないことに注意してください。 u はユニタリー表現と同等です

${\displaystyle v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).}$

同様に、SU _μ (2) = (C(SU _μ (2)), w )であり、C(SU _μ (2))はαとβによって生成されるC*-代数であり、

${\displaystyle \beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,}$

${\displaystyle \alpha \beta =\mu \beta \alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,}$

そして

${\displaystyle w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

したがって、共乗は ∆(α) = α ⊗ α − μβ ⊗ β*、Δ(β) = α ⊗ β + β ⊗ α* によって決定され、共乗は κ(α) = α*、κ によって決定されます。 (β) = −μ ⁻¹ β、κ(β*) = −μβ*、 κ(α*) = α。w は単一表現であることに注意してください。実現は、 を等式化することによって識別できます。 ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\mu }}\beta }$

μ = 1のとき、SU _μ (2)は具体的なコンパクト群SU(2)上の関数の 代数C (SU(2))に等しい。

コンパクト行列擬似群は、典型的には、追加の構造を持つ、双関数代数定式化におけるドリンフェルト-ジンボ量子群のバージョンであるのに対し、双積擬似群は、半単純リー群ではなく可解リー群の変形として重要性が増している、量子群の明確な第 2 の族です。これらは、リー代数のリー分割またはリー群の局所因数分解に関連付けられており、代数に対して他の因子に作用する因子の 1 つに対する外積または Mackey 量子化と見なすことができます。また、2 番目の因子が最初の因子に作用する共積 Δ についても同様のことが言えます。

最も単純で非自明な例は、Rの2つのコピーが互いに局所的に作用し、生成元p、K、K ⁻¹、および余積 を持つ量子群（ここでは代数形式で与えられている）となる。

${\displaystyle [p,K]=hK(K-1)}$

${\displaystyle \Delta p=p\otimes K+1\otimes p}$

${\displaystyle \Delta K=K\otimes K}$

ここで、h は変形パラメータです。

この量子群は、量子力学のハイゼンベルク代数の変形として見た場合、ボルンの相反性を実装するプランクスケール物理学のおもちゃのモデルに関連付けられました。また、半単純リー代数gの任意のコンパクトな実形式から始めて、次元の2倍の実リー代数としてのその複素化は、gと特定の可解なリー代数（岩沢分解）に分割され、これによりgに関連付けられた標準的な双積量子群が提供されます。su (2) の場合、 3次元の運動のユークリッド群E(3)の量子群変形が得られます。

• ホップ代数
• リー双代数
• ポアソン-リー群
• 量子アフィン代数

• グレンシング、ゲルハルト(2013)。量子場理論と非可換幾何学の構造的側面。ワールドサイエンティフィック。doi : 10.1142/8771。ISBN 978-981-4472-69-2。
• Jagannathan, R. (2001). 「量子群、量子代数、およびその応用に関する入門ノート」arXiv : math-ph/0105002。
• カッセル、クリスチャン（1995）、量子群、Graduate Texts in Mathematics、vol. 155、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007 / 978-1-4612-0783-2、ISBN 978-0-387-94370-1、MR  1321145
• Lusztig, George (2010) [1993]. 量子群入門. ケンブリッジ、マサチューセッツ州: Birkhäuser. ISBN 978-0-817-64716-2。
• マジッド、シャーン（2002）、量子群入門、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第292巻、ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/CBO9780511549892、ISBN 978-0-521-01041-2、MR  1904789
• マジッド、シャーン（2006 年 1 月）「量子群とは何か？」（PDF）、アメリカ数学会誌、53（1）：30～31、2008 年 1 月 16 日取得
• Podles, P.; Muller, E. (1998)、「量子群入門」、Reviews in Mathematical Physics、10 (4): 511–551、arXiv : q-alg/9704002、Bibcode :1998RvMaP..10..511P、doi :10.1142/S0129055X98000173、S2CID  2596718
• Shnider, Steven ; Sternberg, Shlomo (1993)。「量子群: 余代数からドリンフェルト代数へ」。数理物理学大学院テキスト。第 2 巻。ケンブリッジ、マサチューセッツ州: International Press。
• ストリート、ロス(2007)、「量子群」、オーストラリア数学協会講演シリーズ、第 19 巻、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/CBO9780511618505、ISBN 978-0-521-69524-4、MR  2294803