直交対称リー代数

数学において、直交対称リー代数は、${\displaystyle ({\mathfrak {g}},s)}$実リー代数からなる${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$そして自己同型${\displaystyle s}$の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$順序${\displaystyle 2}$固有空間が${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$1 に対応するsの集合 (つまり、${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$固定点の) はコンパクト部分代数です。「コンパクト性」を省略すると、対称リー代数と呼ばれます。直交対称リー代数は、次の場合に有効であると言われます。${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$中心と交差する${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ごく当たり前のことですが、実際には、有効性はしばしば前提とされています。この記事でも同様に前提としています。

典型的な例は対称空間のリー代数である。${\displaystyle s}$対称性の微分である。

させて${\displaystyle ({\mathfrak {g}},s)}$は有効な直交対称リー代数であり、${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ は、-1 の固有空間を表す。${\displaystyle s}$私たちはこう言います${\displaystyle ({\mathfrak {g}},s)}$コンパクトタイプの場合${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$はコンパクトかつ半単純である。代わりに、非コンパクトかつ半単純であり、${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {u}}+{\mathfrak {p}}}$カルタン分解である場合、${\displaystyle ({\mathfrak {g}},s)}$非コンパクト型です。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$はアーベルイデアルである${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$、 それから${\displaystyle ({\mathfrak {g}},s)}$ユークリッド型であると言われている。

すべての有効な直交対称リー代数は、イデアルの直和に分解される。${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$、${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}}$そして${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{+}}$それぞれ不変${\displaystyle s}$キリング形式に関して直交する${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$、そしてもし$s0$、$\displaystyle s_{-}}$そして$\displaystyle s_{+}}$制限を表す${\displaystyle s}$に${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$、${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}}$そして${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{+}}$それぞれ、${\displaystyle ({\mathfrak {g}}_{0},s_{0})}$、${\displaystyle ({\mathfrak {g}}_{-},s_{-})}$そして${\displaystyle ({\mathfrak {g}}_{+},s_{+})}$これらは、ユークリッド型、コンパクト型、非コンパクト型の有効な直交対称リー代数である。

• ヘルガソン、シグルドゥル（2001）。微分幾何学、リー群、対称空間。アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-2848-9。