中央シリーズ

数学、特に群論とリー理論の分野において、中心級数（ちゅうかんせんすい）は部分群またはリー部分代数の正規級数の一種であり、交換子がほぼ自明であるという考えを表現する。群の場合、中心級数の存在はそれが冪零群であることを意味し、行列環（リー代数として考えられる）の場合、ある基底において環が定数対角線の上三角行列のみで構成されることを意味する。

この記事では群論の言語を使用しており、リー代数にも類似の用語が使用されています。

一般群は下中心級数と上中心級数（それぞれ下降中心級数と上昇中心級数とも呼ばれる）を持つが、これらが厳密な意味での中心級数（自明な部分群で終了する）となるのは、群が冪零である場合に限る。関連しているが異なる構成として導来級数があり、群が解ける場合は常に自明な部分群で終了する。

中心系列はサブグループの列である

${\displaystyle \{1\}=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \dots \triangleleft A_{n}=G}$

となり、後続の商は中心 となります。つまり、 となります。ここで、 は、形式 のすべての元によって生成される交換子部分群を表し、gはGに、h はHに含まれます。 であるため、部分群は各iに対してGで正規です。したがって、上記の「中心」条件は次のように言い換えることができます。はGで正規であり、 各iに対して で中心です。結果として、は各iに対してアーベルです。 ${\displaystyle [G,A_{i+1}]\leq A_{i}}$${\displaystyle [G,H]}$${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$${\displaystyle [G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}}$${\displaystyle A_{i+1}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}}$${\displaystyle G/A_{i}}$${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}}$

リー理論では、中心級数は、随伴作用によって厳密に保存される旗（より平凡に言えば、各要素が厳密に上三角行列で表される基底）に類似しています。エンゲルの定理と比較してください。

群は中心級数を持つ必要はありません。実際、群が中心級数を持つのは、それが冪零群_である場合のみです。群が中心級数を持つ場合、項が特定の意味で極値となる中心級数が 2 つ存在します。A 0 = {1} なので、中心Z ( G )はA ₁ ≤ Z ( G ) を満たします。したがって、 A ₁の最大選択はA ₁ = Z ( G )です。このようにして、A _{i が}与えられたときに可能な限り最大のA _{i + 1を選択することを続けると、}上中心級数と呼ばれるものが生成されます。双対的に、A _n  =  Gなので、交換子部分群 [ G , G ] は [ G , G ] = [ G , A _n ] ≤ A _{n − 1を満たします。したがって、} A _{n − 1}の最小選択は[ G , G ] です。[ G , A _{i + 1} ] ≤ A _iとなるようなA _{i + 1}が最小となるようにA _{i を}選択し続けると、下中心級数と呼ばれるものが生成されます。これらの級数は任意のグループに対して構築でき、グループが中心級数を持つ場合（冪零グループである場合）、これらの手順により中心級数が生成されます。

群Gの下中心系列（または下降中心系列）は、部分群の下降系列である。

G = G ₁ ⊵ G ₂ ⊵ ⋯ ⊵ G _n ⊵ ⋯,

ここで、各nに対して、

${\displaystyle G_{n+1}=[G_{n},G]}$、

およびを持つすべての交換子によって生成されるGの部分群。したがって、はGの導来部分群であり、 などです。下中心級数は と表記されることが多いです。のとき、級数は終了または安定化するといい、そのような最小のnは級数の 長さです。 ${\displaystyle [x,y]}$${\displaystyle x\in G_{n}}$${\displaystyle y\in G}$${\displaystyle G_{2}=[G,G]=G^{(1)}}$${\displaystyle G_{3}=[[G,G],G]}$${\displaystyle \gamma _{n}(G)=G_{n}}$${\displaystyle G_{n}=G_{n+1}=G_{n+2}=\cdots }$

これを導関数級数と混同してはならない。導関数級数の項は

${\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]}$、

ではありません。2 つの級数は によって関連しています。たとえば、対称群S ₃はクラス 2 の可解です。導来級数はS ₃ ⊵ { e , (1 2 3), (1 3 2)} ⊵ { e } です。しかし、これは冪零ではありません。その下中心級数S ₃ ⊵ { e , (1 2 3), (1 3 2)} は { e }で終了しません。冪零群は可解群であり、その導来長さはその冪零クラスで対数的です (Schenkman 1975、p. 201,216)。 ${\displaystyle G_{n}=[G_{n-1},G]}$${\displaystyle G^{(n)}\leq G_{n}}$

無限群の場合、下中心級数を超限再帰的に無限順序数まで続けることができる。極限順序数λに対して、次のように定義する。

${\displaystyle G_{\lambda }=\bigcap \{G_{\alpha }:\alpha <\lambda \}}$。

ある順序数λに対して、G は集中群であるといわれます。任意の順序数λに対して、となる群Gが存在しますが、すべての に対して となります(Malcev 1949)。 ${\displaystyle G_{\lambda }=1}$${\displaystyle G_{\lambda }=1}$${\displaystyle G_{\alpha }\neq 1}$${\displaystyle \alpha <\lambda }$

が最初の無限順序数である場合、 はGの最小の正規部分群であって、その商が残差冪零 であるもの、つまり、すべての非単位元が冪零群において非単位準同型像を持つものである (Schenkman 1975、p. 175,183)。組合せ群論の分野において、自由群が残差冪零であることは重要で初期の結果である。実際、下中心級数の商は、基本交換子によって定義される自然な基底を持つ自由アーベル群である(Hall 1959、Ch. 11)。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle G_{\omega }}$

ある有限のnに対して、 はGのべき零商を持つ最小の正規部分群であり、 はGのべき零残差と呼ばれます。 これは有限群に対して常に当てはまり、Gの下側のフィッティング級数の項を定義します。 ${\displaystyle G_{\omega }=G_{n}}$${\displaystyle G_{\omega }}$${\displaystyle G_{\omega }}$${\displaystyle F_{1}(G)}$

すべての有限nに対しては冪零ではありませんが、残差冪零です。 ${\displaystyle G_{\omega }\neq G_{n}}$${\displaystyle G/G_{\omega }}$

超中心 (下記) に類似した、超限下中心級数のすべての項の交差を表す一般項は存在しません。

群Gの上中心系列（または昇中心系列）は、部分群の列である。

${\displaystyle 1=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft Z_{i}\triangleleft \cdots ,}$

ここで、各グループは次のように定義されます。

${\displaystyle Z_{i+1}=\{x\in G\mid \forall y\in G:[x,y]\in Z_{i}\}}$

および はGのi番目の中心(それぞれ、第 2 中心、第 3 中心など)と呼ばれます。この場合、はGの中心であり、各後続のグループに対して、因子群はの中心であり、 は上中心級数商と呼ばれます。また、級数が等式のチェーンに安定する場合、級数は終了すると言い、その長さは、その中の異なるグループの数です。 ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{i+1}/Z_{i}}$${\displaystyle G/Z_{i}}$

無限群の場合、上中心級数を超限再帰的に無限順序数まで続けることができる。極限順序数λに対して、次のように定義する。

${\displaystyle Z_{\lambda }(G)=\bigcup _{\alpha <\lambda }Z_{\alpha }(G).}$

このプロセスの限界（高次の中心の結合）は、グループの 超中心と呼ばれます。

超限上中心級数が群全体で安定する場合、その群は超中心群と呼ばれます。超中心群は、正規化条件（適切な部分群の正規化群は、その部分群を適切に含む）、互いに素な順序の元が可換であること、周期的超中心群がそのシローp部分群の直和である（Schenkman 1975、Ch. VI.3）など、冪零群の多くの特性を備えています。すべての順序数λに対して、 Z _λ ( G ) = Gとなる群Gが存在しますが、α < λに対してZ _α ( G ) ≠ G となります（Gluškov 1952）および（McLain 1956）。

下中心系列 (LCS) と上中心系列 (UCS) の間には、特にべき乗群に関して、さまざまな接続があります (Ellis 2001) 。

冪零群では、LCS と UCS の長さは一致し、この長さは群の冪零類と呼ばれます。しかし、冪零群の LCS と UCS は必ずしも同じ項を持つとは限りません。たとえば、巡回群 C ₂ ⊵ { e } と四元数群 Q ₈ ⊵ {1, −1} ⊵ {1} では UCS と LCS は一致しますが、それらの直積 C ₂ × Q ₈の UCS と LCS は一致しません。その LCS はC ₂ × Q ₈ ⊵ { e } × {−1, 1} ⊵ { e } × {1} ですが、その UCS はC ₂ × Q ₈ ⊵ C ₂ × {−1, 1} ⊵ { e } × {1} です。

群がアーベル群となるのは、LCS が最初のステップで終了する場合（交換子部分群が自明な部分群である場合）、UCS が最初のステップで終了する場合（中心が群全体である場合）に限ります。

対照的に、LCS は、群が完全(交換子が群全体) である場合にのみ 0 番目のステップで終了し、UCS は、群が中心なし(自明な中心) である場合にのみ 0 番目のステップで終了します。これらは異なる概念です。完全群の場合、UCS は常に最初のステップで安定します (グリュンの補題)。ただし、中心なし群は非常に長い LCS を持つ場合があります。2つ以上の生成元上の自由群は中心がありませんが、その LCS は最初の無限順序数まで安定しません。これは、LCS と UCS の長さが一般に一致する必要がないことを示しています。

p群(常に冪零)の研究では、より長い中心級数を使用することが重要になることがよくあります。このような中心級数の重要なクラスは、指数p中心級数です。つまり、商が基本アーベル群である中心級数、またはそれと同じで指数 pを持つ中心級数です。このような級数の中で最も速く下降する唯一の級数、つまり下側の指数p中心級数 λ は次のように定義されます。

${\displaystyle \lambda _{1}(G)=G}$、 そして

${\displaystyle \lambda _{n+1}(G)=[G,\lambda _{n}(G)](\lambda _{n}(G))^{p}}$。

2 番目の項 は、フラッティーニ部分群に等しい。指数が小さいp中心級数は、単にp中心級数と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \lambda _{2}(G)}$${\displaystyle [G,G]G^{p}=\Phi (G)}$

このような最も速く上昇する唯一の級数、つまり上指数p中心級数 S は次のように定義されます。

S0 ( G ) = 1 となる_。

S _{n +1} ( G )/S _n ( G ) = Ω(Z( G /S _n ( G )))

ここで、Ω( Z ( H )) は、位数がp を割り切るHの中心元の集合によって生成される（かつそれに等しい）部分群を表します。最初の項 S ₁ ( G ) は、最小正規部分群によって生成される部分群であり、Gの底に等しくなります。このため、上指数p の中心級数は、底級数または Loewy 級数と呼ばれることもありますが、後者は通常、下降級数を示すために使用されます。

次のように定義されるジェニングス級数 κのように、中心級数の他の改良が有用な場合もあります。

κ ₁ ( G ) = Gであり、

κ _{n + 1} ( G ) = [ G , κ _n ( G )] (κ _i ( G )) ^p、ここでi はn / p以上の最小の整数です。

ジェニングス級数は、p群のモジュラー群環のローウィ級数を記述するためにこの級数を使用したスティーブン・アーサー・ジェニングスにちなんで名付けられました。

• べき零級数、可解群の類似概念
• 様々な中心級数によって定義される有限p群の親子関係
• 単能群

• エリス、グラハム（2001年10月）「群の上中心商と下中心級数の関係について」アメリカ数学会誌、353（10）：4219–4234、doi：10.1090/S0002-9947-01-02812-4、JSTOR  2693793
• Gluškov, VM (1952)、「無限群の中心級数について」、Mat. Sbornik、New Series、31 : 491–496、MR  0052427
• ホール、マーシャル（1959）、群論、マクミラン、MR  0103215
• Malcev, AI (1949)、「一般化された冪零代数とその関連群」、Mat. Sbornik、New Series、25 (67): 347–366、MR  0032644
• McLain, DH (1956)、「グループの上部中心級数に関する考察」、Proc. Glasgow Math. Assoc.、3 : 38–44、doi : 10.1017/S2040618500033414、MR  0084498
• シェンクマン、ユージン（1975）、群論、ロバートE.クリーガー出版、ISBN 978-0-88275-070-5、MR  0460422特に第 6 章。