モヤルブラケット

物理学において、モヤル括弧は位相空間スター積の適切に正規化された反対称化です。

モヤル括弧は1940年頃にホセ・エンリケ・モヤルによって考案されたが、モヤルはポール・ディラックとの長い論争の末、1949年にようやくその成果を発表することに成功した。^{[1] [2]} 一方、このアイデアは1946年にヒップ・グローネウォルドによって独立して導入された。^[3]

モイヤール括弧は、量子力学の位相空間定式化において、これらの観測量が位相空間上の関数として記述されるときに、観測量の交換子を記述する方法である。これは、位相空間上の関数を量子観測量と同一視するスキームに依存しており、これらのスキームの中で最も有名なのはウィグナー・ワイル変換である。これは、ハイゼンベルクの量子運動方程式と同等の定式化であるモイヤールの力学方程式の基礎となり、ハミルトン方程式の量子一般化を提供する。

数学的には、これは位相空間のポアソン括弧の変形（本質的にはその拡張）であり、変形パラメータは縮小されたプランク定数ħである。したがって、その群収縮ħ →0はポアソン括弧のリー代数 を生み出す。

形式的同値性まで、モヤル括弧はポアソン括弧の唯一の 1 パラメータ リー代数変形である。交換子代数に対する代数同型性は、ポアソン括弧の同型性を排除するグローネウォルド-ファン ホーヴェ定理の否定的結果を回避し、これはディラックが 1926 年の博士論文^[4]で暗黙的に提起した問題で ある量子化の「古典的類推法」である。^[5]

例えば、2次元平坦位相空間、およびワイル写像対応では、モヤル括弧は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\{\{f,g\}\}&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{i\hbar }}(f\star g-g\star f)\\&=\{f,g\}+O(\hbar ^{2}),\\\end{aligned}}}$

ここで ★は位相空間におけるスター積演算子（モヤル積参照）であり、f とgは微分可能な位相空間関数であり、{ f , g }はそれらのポアソン括弧である。^[6]

より具体的には、演算論理の言語で言えば、これは次のようになる。

偏導関数の上の左矢印と右矢印は、左偏導関数と右偏導関数を表します。Moyal 括弧は、Sine 括弧と呼ばれることもあります。

^{ジョージ・ベイカー[7]}によって導入された、一般的な（フーリエ）積分表現は、

${\displaystyle \{\{f,g\}\}(x,p)={2 \over \hbar ^{3}\pi ^{2}}\int dp'\,dp''\,dx'\,dx''f(x+x',p+p')g(x+x'',p+p'')\sin \left({\tfrac {2}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)~.}$

位相空間からヒルベルト空間への各対応写像は、特徴的な「モヤル」括弧（ここでワイル写像について示されているものなど）を誘導する。体系的な理論によれば、このようなモヤル括弧はすべて形式的に同等である。^[8]

モヤル括弧は同名の無限次元 リー代数を指定する。これは引数f とg が反対称であり、ヤコビ恒等式を満たす。対応する抽象リー代数はT _f ≡ f ★で実現され、

${\displaystyle [T_{f}~,T_{g}]=T_{i\hbar \{\{f,g\}\}}.}$

2次元トーラス位相空間T ²において、周期座標xとpがそれぞれ[0,2 π ]にあり、整数モードインデックスm _i、基底関数exp( i ( m ₁ x + m ₂ p ))の場合、このリー代数は次のように表される。^[9]

${\displaystyle [T_{m_{1},m_{2}}~,T_{n_{1},n_{2}}]=2i\sin \left({\tfrac {\hbar }{2}}(n_{1}m_{2}-n_{2}m_{1})\right)~T_{m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2}},~}$

これは整数N  ≡ 4 π/ħに対してSU ( N )に簡約されます。SU ( N ) は、変形パラメータ 1/ Nを持つSU (∞)の変形として現れます。

第二級制約を持つ量子系に対するモヤル括弧の一般化には、位相空間における関数の同値類に対する操作が含まれ、^{[10]これは}ディラック括弧の量子変形と見なすことができます。

議論された正弦括弧の次に、グローネウォルドはさらに^[3]、ベイカーによって詳述された余弦括弧を導入した^{[7] [11]。}

${\displaystyle {\begin{aligned}\{\{\{f,g\}\}\}&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\tfrac {1}{2}}(f\star g+g\star f)=fg+O(\hbar ^{2}).\\\end{aligned}}}$

ここでも、★は位相空間におけるスター積演算子、f とg は微分可能な位相空間関数、f g は通常の積です。

正弦括弧と余弦括弧は、それぞれスター積を反対称化および対称化した結果である。したがって、正弦括弧が交換子のウィグナー写像であるのに対し、余弦括弧は標準量子力学における反交換子 のウィグナー像である。同様に、モヤル括弧はħの高次のオーダーまでポアソン括弧に等しいのに対し、余弦括弧はħの高次のオーダーまで通常の積に等しい。古典極限では、モヤル括弧は（ポアソン括弧で定式化された）リウヴィル方程式への簡約に役立ち、余弦括弧は古典ハミルトン・ヤコビ方程式につながる。^[12]

正弦括弧と余弦括弧は、量子力学の純粋に代数的な記述の方程式にも関係している。 ^{[12] [13]}