集中化と標準化

数学、特に群論において、群Gの部分集合Sの中心化子 （可換子^{[1] [2]とも呼ばれる）は、} Sのすべての元と可換なGの元の集合、または同等に、による共役によりSの各元が固定されるような元の集合である。GにおけるSの正規化子は、共役により集合が固定されるという弱い条件を満たすGの元の集合である。 Sの中心化子と正規化子はGの部分群である。群論の多くの手法は、適切な部分集合Sの中心化子と正規化子の研究に基づいている 。 ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(S)}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)}$${\displaystyle S\subseteq G}$

適切に定式化すれば、定義は半群にも適用されます。

環論では、環の部分集合の中心化は、環の乗法（半群演算）に関して定義されます。環Rの部分集合の中心化は、 Rの部分環です。この記事では、リー代数の中心化と正規化についても扱います。

半群または環における理想化は、中心化や正規化と同じような別の構成です。

群（または半群）Gの部分集合Sの中心化は次のように定義される^[3]

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\right\}=\left\{g\in G\mid gsg^{-1}=s{\text{ for all }}s\in S\right\},}$

ここで、半群には最初の定義のみが適用されます。問題のグループについて曖昧さがない場合、表記法Gを省略できます。S  = { a } が単集合の場合、 C _G ({ a })ではなく C G ( a )_と書きます。中心化子のもう 1 つのあまり一般的ではない表記法は Z( a ) で、中心の表記法と類似しています。この後者の表記法を使用する場合、グループGの中心であるZ( G ) と、Gの元gの中心であるZ( g )との混同を避けるように注意する必要があります。

群（または半群）GにおけるSの正規化子は次のように定義される。

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gS=Sg\right\}=\left\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\right\},}$

ここでも、最初の定義のみが半群に適用されます。集合が のサブグループである場合、正規化子 はが の正規サブグループである最大のサブグループです。中心化子と正規化子の定義は似ていますが、同一ではありません。g がSの中心化子にあり、sがSにある場合、 gs = sgでなければなりませんが、g が正規化子にある場合、S内のいずれかのtに対してgs = tgであり、t はsと異なる場合があります。つまり、 Sの中心化子の要素はSと点ごとに交換する必要がありますが、 Sの正規化子の要素は集合 として Sと交換するだけで済みます。中心化子について上で述べたのと同じ表記規則が正規化子にも適用されます。正規化子を正規閉包と混同しないでください。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N_{G}(S)}$${\displaystyle G'\subseteq G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G'}$

明らかに、 と は両方とも のサブグループです。 ${\displaystyle C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)}$${\displaystyle G}$

R が体上の環または代数であり、SがRのサブセットである場合、 Sの中心化は、 Gの代わりにR があるグループに対して定義されているのとまったく同じです。

がリー積[ x , y ]を持つリー代数（またはリー環）である場合、部分集合Sの中心化は^[4]と定義される。${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$

${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.}$

リー環の中心化子の定義は、次のように環の定義と結びついています。R が結合環である場合、R には括弧積 [ x , y ] = xy − yxを与えることができます。もちろん、xy = yxであるためには、[ x , y ] = 0である必要があります。 括弧積を持つ集合R をL _Rと表記すると、明らかにSのRにおける環の中心化子はSの L _Rにおけるリー環の中心化子に等しくなります。

リー代数（またはリー環）の部分集合Sの正規化子は^[4]で与えられる。${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$

${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ for all }}s\in S\}.}$

これはリー代数における「正規化子」という用語の標準的な用法であるが、この構成は実際にはにおける集合Sの理想化子である。Sが の加法部分群である場合、 はSがリー理想子である最大のリー部分環（または場合によってはリー部分代数）である。^[5]${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)}$

グループを検討する

${\displaystyle G=S_{3}=\{[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]\}}$(3 つの要素の順列の対称群)。

群 G の部分集合 H を取ります。

${\displaystyle H=\{[1,2,3],[1,3,2]\}.}$

[1, 2, 3] は G の恒等置換であり、各要素の順序を保持します。一方、[1, 3, 2] は最初の要素を固定し、2 番目と 3 番目の要素を入れ替える置換です。

群 G に関する H の正規化子は、要素が H と共役したときに集合 H (潜在的に並べ替え可能) を生成する G のすべての要素です。G の各要素の例を解くと、次のようになります。

${\displaystyle [1,2,3]}$Hに適用すると => ; したがって、[1, 2, 3]はGに関してNormalizer(H)内にあります。${\displaystyle \{[1,2,3],[1,3,2]\}=H}$

${\displaystyle [1,3,2]}$Hに適用すると => ; したがって、[1, 3, 2]はGに関してNormalizer(H)内にあります。${\displaystyle \{[1,2,3],[1,3,2]\}=H}$

${\displaystyle [2,1,3]}$Hに適用した場合 => ; したがって、[2, 1, 3]はGに関してNormalizer(H)に含まれません。${\displaystyle \{[1,2,3],[3,2,1]\}!=H}$

${\displaystyle [2,3,1]}$Hに適用した場合 => ; したがって、[2, 3, 1]はGに関してNormalizer(H)に含まれません。${\displaystyle \{[1,2,3],[2,1,3]\}!=H}$

${\displaystyle [3,1,2]}$Hに適用した場合 => ; したがって、[3, 1, 2]はGに関してNormalizer(H)に含まれません。${\displaystyle \{[1,2,3],[3,2,1]\}!=H}$

${\displaystyle [3,2,1]}$Hに適用した場合 => ; したがって、[3, 2, 1]はGに関してNormalizer(H)に含まれません。${\displaystyle \{[1,2,3],[2,1,3]\}!=H}$

したがって、G に関する Normalizer(H) は、これらのグループ要素の両方が共役の下で集合 H を保存するため、次のようになります。 ${\displaystyle \{[1,2,3],[1,3,2]\}}$

群 G の中心化元は、共役によって H の各元が変化しない元の集合、つまり H のすべての元と可換な元の集合です。この例では、S ₃のそのような元は H 自体 ([1, 2, 3]、[1, 3, 2]) のみであることが明らかです。

を半群 の中心化 として表すとします。つまり、は部分半群およびを形成します。つまり、可換子 はそれ自身の二可換子です。 ${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S'=\{x\in A\mid sx=xs{\text{ for every }}s\in S\}.}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S'=S'''=S'''''}$

出典: ^[6]

• Sの中心化群と正規化群はどちらもGのサブグループです。
• 明らかに、C _G ( S ) ⊆ N _G ( S )です。実際、 C _G ( S ) は常にN _G ( S ) の正規部分群であり、準同型N _G ( S ) → Bij( S )の核であり、群 N _G ( S )/C _G ( S ) は共役によりS上の全単射群として機能します。たとえば、トーラスTを持つコンパクトリー群Gのワイル群はW ( G , T ) = N _G ( T )/C _G ( T )と定義され、特にトーラスが最大である場合 (つまりC _G ( T ) = T )、リー群の理論における中心的なツールとなります。
• C _G (C _G ( S )) にはSが含まれますが、 C _G ( S ) にはSが含まれる必要はありません。 包含はSがアーベルの場合にのみ発生します。
• H がGのサブグループである場合、N _G ( H )にはH が含まれます。
• H がGのサブグループである場合、 Hが正規となるGの最大サブグループはサブグループ N _G (H) です。
• S がGの部分集合であり、 Sのすべての要素が互いに可換である場合、中心にSが含まれるGの最大の部分群は部分群 C _G (S) です。
• 群Gの部分群HはN _G ( H ) = HならばGの自己正規化部分群。
• Gの中心はまさに C _G (G)であり、 C _G (G) = Z( G ) = Gのときのみ、G はアーベル群である。
• シングルトン集合の場合、C _G ( a ) = N _G ( a )です。
• 対称性により、SとT がGの 2 つの部分集合である場合、T ⊆ C _G ( S )であるためには、S ⊆ C _G ( T )である必要があります。
• 群GのサブグループHについて、N/C 定理は因子群N _G ( H )/C _G ( H ) がHの自己同型群である Aut( H ) のサブグループに同型であることを述べています。N _G ( G ) = GかつC _G ( G ) = Z( G )であるため、N/C 定理はG /Z( G ) がGのすべての内部自己同型からなるAut( G )のサブグループInn( G ) に同型であることも意味します。
• 群準同型 T  : G → Inn( G )をT ( x )( g ) = T _x ( g ) = xgx ⁻¹で定義すると、Inn( G )のGへの群作用によってN _G ( S )とC _G ( S )を記述できる。Inn( G )におけるSの安定化群はT (N _G ( S ))であり、Sを点ごとに固定したInn( G )の部分群はT (C _G ( S ))である。
• 群Gの部分群HがC 閉または自己二交換であるとは、ある部分集合S ⊆ Gに対してH = C _G ( S )が成立する場合を言います。その場合、実際にはH = C _G (C _G ( H )) です。

出典: ^[4]

• 環と体上の代数の中心化は、それぞれ体上の部分環と部分代数です。リー環とリー代数の中心化は、それぞれリー部分環とリー部分代数です。
• リー環におけるSの正規化子にはSの中心化子が含まれる。
• C _R (C _R ( S )) にはSが含まれますが、必ずしも等しいとは限りません。二重中心化定理は、等号が発生する状況を扱います。
• S がリー環Aの加法部分群である場合、NA ₍ S )はSがリーイデアルであるAの最大のリー部分環です。
• S がリー環Aのリー部分環である場合、S ⊆ N _A ( S )です。

• 整流子
• 二重中心化定理
• 理想主義者
• 乗数と中心化（バナッハ空間）
• スタビライザーサブグループ

• アイザックス、I. マーティン (2009)、「代数: 大学院課程」、Graduate Studies in Mathematics、第 100 巻 (1994 年初版の再版)、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、doi :10.1090/gsm/100、ISBN 978-0-8218-4799-2、MR  2472787
• ジェイコブソン、ネイサン（2009）、Basic Algebra、第1巻（第2版）、Dover Publications、ISBN 978-0-486-47189-1
• ジェイコブソン、ネイサン（1979）、リー代数（1962年初版の再出版）、ドーバー出版、ISBN 0-486-63832-4、MR  0559927