半単純リー代数

数学において、リー代数が半単純であるとは、それが単純リー代数の直和である場合をいう。（単純リー代数とは、非零の固有イデアルを持たない非可換リー代数のことである。）

この記事全体を通して、特に断りのない限り、リー代数とは標数0の体上の有限次元リー代数を指す。このようなリー代数については、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$がゼロでない場合、以下の条件は同等です。

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$半単純である。
• 殺しの形態${\displaystyle \kappa (x,y)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y))}$非退化である。
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$非零のアーベルイデアルを持たない。
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$非零の可解イデアルを持たない。
• 根号（最大可解イデアル）${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ゼロです。

半単純性の重要性は、まずレヴィ分解に由来する。レヴィ分解によれば、すべての有限次元リー代数は、可解イデアル（その根基）と半単純代数の半直積で表される。特に、可解かつ半単純である非零リー代数は存在しない。

半単純リー代数は、可解リー代数とは対照的に、非常に洗練された分類体系を持っています。標数ゼロの代数閉体上の半単純リー代数は、そのルート系によって完全に分類され、ルート系はディンキン図によって分類されます。代数閉体でない体上の半単純代数は、代数閉包上の代数代数で理解できますが、分類はやや複雑です。実半単純リー代数の場合は、エリー・カルタンによって分類された実形式を参照してください。

さらに、半単純リー代数の表現論は、一般的なリー代数の表現論よりもはるかに簡潔である。例えば、半単純リー代数におけるジョルダン分解は、その表現におけるジョルダン分解と一致するが、これは一般的なリー代数では当てはまらない。

もし${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$半単純である場合、${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$特に、すべての線形半単純リー代数は、${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$、特殊線形リー代数。構造の研究${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$これは、半単純リー代数の表現論の重要な部分を構成する。

複素数上の半単純リー代数は、最初にヴィルヘルム・キリング（1888～90年）によって分類されましたが、彼の証明は厳密さに欠けていました。彼の証明は、エリー・カルタン（1894年）が博士論文で厳密なものとし、実数の半単純リー代数も分類しました。その後、この分類は改良され、現在のディンキン図による分類は、当時22歳だったユージン・ディンキンによって1947年に与えられました。いくつかの小さな修正（特にJP・セールによるもの）が行われましたが、証明の本質は変わっておらず、（ハンフリーズ 1972 ）などの標準的な参考文献に記載されています。

• 半単純リー代数のすべてのイデアル、商、積は再び半単純である。^{[ 1 ]}
• 半単純リー代数の中心${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$（中心がアーベルイデアルであるため）自明である。言い換えれば、随伴表現は${\displaystyle \operatorname {ad} }$ は単射である。さらに、像は^{[ 2 ]}となる。${\displaystyle \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$導出の​${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$したがって、${\displaystyle \operatorname {ad}$ :{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})} は同型写像である。 ^{[ 3 ]} （これはホワイトヘッドの補題の特殊な場合である。）
• 随伴表現は単射であるため、半単純リー代数は随伴表現の下で線形リー代数となります。すべてのリー代数は、随伴表現を介してとは限らないものの、他のベクトル空間に関して既に線形であるため（アドの定理）、このことは多少の曖昧さを生じさせる可能性があります。しかし実際には、このような曖昧さはめったに発生しません。
• もし${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は半単純リー代数である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$（なぜなら${\displaystyle {\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$半単純かつアーベル群である）。^{[ 4 ]}
• 有限次元リー代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$標数ゼロの体k上の半単純体であるのは、基底拡大が${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{k}F}$各フィールド拡張に対して半単純です${\displaystyle F\supset k}$^{[ 5 ]}したがって、例えば、有限次元実リー代数は、その複素化が半単純である場合に限り半単純である。

標数ゼロの体上の有限次元ベクトル空間の各自己準同型写像xは、半単純（すなわち、代数閉包上で対角化可能）かつ冪零な部分に一意的に分解できる。

${\displaystyle x=s+n\ }$

sとnは互いに可換である。さらに、sとnはそれぞれxの多項式である。これはxのジョルダン分解である。

上記は随伴表現に適用される${\displaystyle \operatorname {ad} }$半単純リー代数の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$要素xは${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は、以下の条件を満たす場合に半単純（または冪零）であると言われます。${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$は半単純演算子（または冪零演算子）である。^{[ 6 ]}もし${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$すると、抽象的なジョルダン分解によれば、xは一意に次のように表すことができる。

${\displaystyle x=s+n}$

どこ${\displaystyle s}$半単純です。${\displaystyle n}$は冪零であり、${\displaystyle [s,n]=0}$^{[ 7 ]}さらに、${\displaystyle y\in {\mathfrak {g}}}$xと可換であれば、両方と可換になる。${\displaystyle s,n}$同じように。

抽象的なジョルダン分解は、任意の表現を通して${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$任意の表現ρが与えられたとき、

${\displaystyle \rho (x)=\rho (s)+\rho (n)\,}$

これは、表現空間の自己準同型代数におけるρ( x )のジョルダン分解である。 ^{[ 8 ]} （これはワイルの完全還元定理の結果として証明される。ワイルの完全還元定理#応用：ジョルダン分解の保存を参照。）

させて${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$代数的に閉じた標数ゼロの体上の（有限次元の）半単純リー代数である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は、特定の特別な部分代数、カルタン部分代数の随伴作用によって記述できます。定義により、^{[ 9 ]}カルタン部分代数（最大トーラル部分代数とも呼ばれる）${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は、各 に対して、${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$、${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$は対角化可能である。実際、${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$はアーベル群であり、したがって、すべての演算子は${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$は同時に対角化可能である。各線形関数について${\displaystyle \alpha }$の${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$、 させて

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}|\operatorname {ad} (h)x:=[h,x]=\alpha (h)x\,{\text{ for all }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$。

（ご了承ください${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$は、​${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$。） それから

（最も見せるのが難しいアイテムは${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1}$標準的な証明はすべて表現理論のいくつかの事実を使用しています。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$; 例えば、セールは、${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$-負の重みを持つ原始要素を持つモジュールは無限次元であり、矛盾する${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}<\infty }$）

させて${\displaystyle h_{\alpha }\in {\mathfrak {h}},e_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha },f_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$交換関係を用いて${\displaystyle [e_{\alpha },f_{\alpha }]=h_{\alpha },[h_{\alpha },e_{\alpha }]=2e_{\alpha },[h_{\alpha },f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }}$; つまり、${\displaystyle h_{\alpha },e_{\alpha },f_{\alpha }}$標準基準に対応する${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$。

線形汎関数${\displaystyle \Phi }$は、​${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$相対的に${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$根は${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$（もし${\displaystyle \alpha (h)=0,\alpha \in \Phi }$、 それから${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$はゼロ演算子です。つまり、${\displaystyle h}$は中心にあり、それはゼロです。）さらに、表現理論から${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$、次の対称性と積分特性が導き出される。${\displaystyle \Phi }$: 各${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$、

ご了承ください${\displaystyle s_{\alpha }}$(1)の特性を持つ${\displaystyle s_{\alpha }(\alpha )=-\alpha }$（２）不動点集合は${\displaystyle \{\gamma \in {\mathfrak {h}}^{*}|\gamma (h_{\alpha })=0\}}$つまり、${\displaystyle s_{\alpha }}$は、対応する超平面に関する反射です。${\displaystyle \alpha }$以上のことから、${\displaystyle \Phi }$ルートシステムです。

根系の一般理論から、${\displaystyle \Phi }$基礎を含む${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$の${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$各根が線形結合である${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$同じ符号の整数係数を持つ根${\displaystyle \alpha _{i}}$は単純根と呼ばれます。${\displaystyle e_{i}=e_{\alpha _{i}}}$など。それから${\displaystyle 3l}$要素${\displaystyle e_{i},f_{i},h_{i}}$（シュヴァレー発電機と呼ばれる）${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$リー代数として。さらに、それらは関係式（セール関係式と呼ばれる）を満たす。${\displaystyle a_{ij}=\alpha _{j}(h_{i})}$、

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]=0,}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=h_{i},[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j,}$

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j},}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (e_{i})^{-a_{ij}+1}(e_{j})=\operatorname {ad} (f_{i})^{-a_{ij}+1}(f_{j})=0,i\neq j}$。

これの逆もま​​た真である。すなわち、上記のような生成子と関係によって生成されるリー代数は、上記のようなルート空間分解を持つ（有限次元の）半単純リー代数である（ただし、${\displaystyle [a_{ij}]_{1\leq i,j\leq l}}$はカルタン行列です。これはセールの定理です。特に、2 つの半単純リー代数は、同じルートシステムを持つ場合に同型です。

ルートシステムの公理的性質とセールの定理が示唆するのは、すべての可能なルートシステムを列挙できるということである。したがって、「すべての可能な」半単純リー代数（標数ゼロの代数的に閉じた体上の有限次元リー代数）を列挙できることになる。

ワイル群は、線形変換の群である。${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\simeq {\mathfrak {h}}}$生成された${\displaystyle s_{\alpha }}$'s。ワイル群はこの問題の重要な対称性です。たとえば、任意の有限次元表現の重みは${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ワイル群の下で不変である。^{[ 11 ]}

のために${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$カルタン部分代数${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$対角行列の、定義${\displaystyle \lambda _{i}\in {\mathfrak {h}}^{*}}$による

${\displaystyle \lambda _{i}(d(a_{1},\ldots ,a_{n}))=a_{i}}$、

どこ${\displaystyle d(a_{1},\ldots ,a_{n})}$は対角行列を表し、${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$対角線上にある。すると、分解は次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{i\neq j}{\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}\right)}$

どこ

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}={\text{Span}}_{\mathbb {C} }(e_{ij})}$

ベクトルの場合${\displaystyle e_{ij}}$で${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$標準（行列）基底で、つまり${\displaystyle e_{ij}}$は基底ベクトルを表します${\displaystyle i}$-行目と${\displaystyle j}$列目。この分解は${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$関連するルートシステムを持つ：

${\displaystyle \Phi =\{\lambda _{i}-\lambda _{j}:i\neq j\}}$

#Structureで述べたように、半単純リー代数は${\displaystyle \mathbb {C} }$（より一般的には、標数ゼロの代数的に閉じた体）は、カルタン部分代数に関連付けられたルート系によって分類され、ルート系は、さらにディンキン図によって分類されます。ディンキン図から得られる記号を用いた、半単純リー代数、古典的リー代数の例は次のとおりです。

• ${\displaystyle A_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}}$、特殊線形リー代数。
• ${\displaystyle B_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}}$奇数次元の特殊直交リー代数。
• ${\displaystyle C_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}}$シンプレクティックリー代数。
• ${\displaystyle D_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$偶数次元の特殊直交リー代数（${\displaystyle n>1}$)

制限${\displaystyle n>1}$で${\displaystyle D_{n}}$家族が必要な理由は${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2}}$は一次元かつ可換であるため、半単純ではない。

これらのリー代数は、n が階数となるように番号付けされています。これらの半単純リー代数のほとんどは実際には単純であり、これらの族のメンバーは、小さな階数でのいくつかの衝突を除いて、ほとんどすべて異なります。たとえば${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\oplus {\mathfrak {so}}_{3}}$そして${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{5}}$これら4つの族は、5つの例外（ E ₆、E ₇、E ₈、F ₄、G ₂ ）とともに、実際には複素数上の唯一の単純リー代数である。

標数 0 の代数的に閉じた体上のすべての半単純リー代数は、単純リー代数の直和であり(定義による)、有限次元の単純リー代数は、A _n、B _n、C _n、および D _{n の4 つの族に分類され、} E ₆、E ₇、E ₈、F ₄、およびG ₂の5 つの例外があります 。単純リー代数は、右に示す連結ディンキン図によって分類されますが、半単純リー代数は、必ずしも連結ではないディンキン図に対応し、図の各コンポーネントは、半単純リー代数を単純リー代数に分解したときの和因子に対応します。

分類は、カルタン部分代数（下記参照）とそのリー代数への随伴作用を考慮することによって進められます。作用のルート系は、元のリー代数を決定し、非常に制約された形式を持つ必要があり、これはディンキン図によって分類できます。詳細については、カルタン部分代数とルート系について説明した下記のセクションを参照してください。

この分類は、数学における最も洗練された成果の一つとして広く認められている。簡潔な公理のリストから、比較的短い証明を通して、驚くべき構造を持つ完全かつ非自明な分類が得られる。これは、はるかに複雑な有限単純群の分類と比較されるべきである。

4 つの族の列挙は冗長ではなく、単純な代数のみで構成されます。${\displaystyle n\geq 1}$_{A n の}場合、${\displaystyle n\geq 2}$_{B n}の場合、${\displaystyle n\geq 3}$C _nの場合、${\displaystyle n\geq 4}$D _nの場合。番号を小さくしていくと列挙が冗長になり、単純なリー代数の間に例外的な同型性が生じ、それがディンキン図の同型性に反映されます。E _nも下に拡張できますが、E ₆より下のものは他の例外のない代数と同型です。

代数的に閉じていない体上では、分類はより複雑になります。まず、代数的閉包上の単純リー代数を分類し、次に、これらのそれぞれについて、元の体上でこの形式（閉包上）を持つ単純リー代数を分類します。たとえば、単純実リー代数を分類するには、与えられた複素化を持つ実リー代数を分類します。これらは複素リー代数の実形式として知られています。これは、追加データ（「装飾」）を持つディンキン図であるサタケ図によって行うことができます。^{[ 12 ]}

させて${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$代数的に閉じた標数ゼロの体上の（有限次元の）半単純リー代数とする。すると、#Structureと同様に、${\textstyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$どこ${\displaystyle \Phi }$は根系です。単純な根を選択します。${\displaystyle \Phi }$; 根${\displaystyle \alpha }$の${\displaystyle \Phi }$は正と呼ばれ、で表されます。${\displaystyle \alpha >0}$非負の整数係数を持つ単純根の線形結合である場合。${\textstyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$これは、の極大可解部分代数である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ボレル部分代数。

V を(おそらく無限次元の) 単純な${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-モジュール。Vがたまたま${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$-重みベクトル${\displaystyle v_{0}}$^{[ 13 ]}の場合、スケーリングを除いて一意であり、Vの最高重みベクトルと呼ばれます。また、${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$-重みベクトルと${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$-重量${\displaystyle v_{0}}$の線形関数${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$は、Vの最高重みと呼ばれます。基本的でありながら自明でない事実^{[ 14 ]}は、(1) 各線形汎関数に対して${\displaystyle \mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$単純な${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-モジュール${\displaystyle V^{\mu }}$持っている${\displaystyle \mu }$（1）最大重量が同じであること、および（2）最大重量が同じ2つの単純モジュールは同等であること。つまり、（1）最大重量が同じであることと（2）最大重量が同じである2つの単純モジュールは同等であることの間には全単射が存在する。${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$そして単純な同値類の集合${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ボレル重みベクトルを許容するモジュール。

応用においては、有限次元の単純な${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-モジュール（有限次元既約表現）。これは特に次の場合に当てはまります。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$はリー群のリー代数（またはそのような複素化）である。なぜなら、リー対応を介して、障害が克服されれば、リー代数表現をリー群表現に統合できるからである。次の基準はこのニーズに対応する。正のワイルチャンバーによって${\displaystyle C\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$つまり、凸円錐のことです。${\displaystyle C=\{\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}|\mu (h_{\alpha })\geq 0,\alpha \in \Phi >0\}}$どこ${\displaystyle h_{\alpha }\in [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]}$は、${\displaystyle \alpha (h_{\alpha })=2}$基準は次のようになります。^{[ 15 ]}

• ${\displaystyle \dim V^{\mu }<\infty }$各正の根に対して、${\displaystyle \alpha >0}$（１）${\displaystyle \mu (h_{\alpha })}$は整数であり、（2）${\displaystyle \mu }$横たわる${\displaystyle C}$。

線形関数${\displaystyle \mu }$上記の等価条件を満たすものを優勢積分重みと呼ぶ。したがって、要約すると、優勢積分重みと有限次元単純の同値類の間には全単射が存在する。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-加群の場合、最高ウェイト定理として知られる結果が得られます。有限次元単純加群の指標は、ワイル指標公式によって計算されます。

ワイルの定理によれば、標数ゼロの体上では、半単純リー代数のすべての有限次元加群は${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は完全に還元可能である。つまり、それは単純な式の直和である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$したがって、上記の結果は半単純リー代数の有限次元表現にも適用されます。

標数がゼロであるが代数的に閉じていない体上の半単純リー代数については、標数がゼロの代数的に閉じた体上のリー代数に対するような一般的な構造理論は存在しない。しかし、実数体上では、構造に関する結果は依然として存在する。

させて${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$有限次元実半単純リー代数であり、${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$その複素化（これもまた半単純である）。実リー代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は実際の形と呼ばれます${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }}$実形式は、そのキリング形式が負定値である場合にコンパクト形式と呼ばれます。それは必然的にコンパクトリー群のリー代数になります（そのため、この名前が付けられています）。

もし${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$、 それから${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$は、の対角部分代数とみなすことができる。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$対角成分の合計がゼロとなる対角行列から構成される。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$寸法がある${\displaystyle n-1}$我々は、${\displaystyle \mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )}$ランクがある${\displaystyle n-1}$。

ルートベクトル${\displaystyle X}$この場合、行列とみなすことができる${\displaystyle E_{i,j}}$と${\displaystyle i\neq j}$、 どこ${\displaystyle E_{i,j}}$は、${\displaystyle (i,j)}$スポットとそれ以外のゼロ。^{[ 18 ]}もし${\displaystyle H}$対角成分を持つ対角行列です${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$すると、

${\displaystyle [H,E_{i,j}]=(\lambda _{i}-\lambda _{j})E_{i,j}}$。

したがって、${\displaystyle \mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$線形汎関数は${\displaystyle \alpha _{i,j}}$によって与えられた

${\displaystyle \alpha _{i,j}(H)=\lambda _{i}-\lambda _{j}}$。

特定した後${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$その双対によって、根はベクトルとなる。${\displaystyle \alpha _{i,j}:=e_{i}-e_{j}}$空間の中で${\displaystyle n}$合計がゼロになるタプル。これはルートシステムとして知られています。${\displaystyle A_{n-1}}$従来の表示方法において。

ルートに関連付けられた反射${\displaystyle \alpha _{i,j}}$行動する${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$転置することによって${\displaystyle i}$そして${\displaystyle j}$対角成分。ワイル群は、単に置換群である。${\displaystyle n}$要素は、行列の対角成分を置換することによって作用します。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$。

半単純リー代数にはいくつかの一般化が認められます。まず、半単純リー代数に対して真である多くの命題は、より一般的に還元リー代数に対しても真です。抽象的には、還元リー代数とは随伴表現が完全に還元可能なリー代数のことですが、具体的には、還元リー代数は半単純リー代数とアーベルリー代数の直和です。例えば、${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$半単純であり、${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$還元性がある。半単純リー代数の多くの性質は、還元性のみに依存する。

複雑な半単純/簡約リー代数の多くの性質は、代数的に閉じた体上の半単純/簡約リー代数だけでなく、より一般的には他の体上の分割半単純/簡約リー代数にも当てはまります。代数的に閉じた体上の半単純/簡約リー代数は常に分割されていますが、他の体では必ずしもそうではありません。分割リー代数は、本質的に代数的に閉じた体上の半単純リー代数と同じ表現論を持ちます。たとえば、分割カルタン部分代数は、代数的に閉じた体上のカルタン部分代数と同じ役割を果たします。これは、たとえば分割半単純/簡約リー代数の表現を分類する( Bourbaki 2005 )で採用されているアプローチです。

連結リー群は、そのリー代数が半単純リー代数、すなわち単純リー代数の直和である場合、半単純群と呼ばれます。また、そのリー代数が単純リー代数と自明な（一次元）リー代数の直和である場合、還元群と呼ばれます。還元群は、代数学、幾何学、物理学における多くの数学的対象の対称性として自然に現れます。例えば、群 は、${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$n次元実ベクトル空間の対称性（あるいは可逆行列の群）は縮約的である。

• リー代数
• 根系
• リー代数表現
• コンパクトグループ
• シンプル・ライ・グループ
• ボレル部分代数
• ヤコブソン・モロゾフの定理