交互多重線マップ

数学、より具体的には多重線型代数において、交代多重線型写像とは、すべての引数が同じベクトル空間（たとえば、双線型形式または多重線型形式）に属し、その引数の任意のペアが等しい場合は常に 0 となる多重線型写像です。これは、可換環上のモジュールに直接一般化されます。

交代化(または交代化)の概念は、すべての引数が同じ空間に属する任意の多重線型マップから交代多重線型マップを導出するために使用されます。

を可換環とし、を上の加群とする。 の形式の多重線型写像は、次の同値な条件を満たすとき、 交代写像であると言われる。${\displaystyle R}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f:V^{n}\to W}$

1. が存在するときはいつでも、となる。^{[1] [2]}${\textstyle 1\leq i\leq n-1}$${\displaystyle x_{i}=x_{i+1}}$${\displaystyle f(x_{1},\ldots,x_{n})=0}$
2. が存在するときはいつでも、となる。^{[1] [3]}${\textstyle 1\leq i\neq j\leq n}$${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$${\displaystyle f(x_{1},\ldots,x_{n})=0}$

を同じ体上のベクトル空間とします。このとき、次の条件を満たす場合、 形式の多重線型写像は交代写像です。${\displaystyle V,W}$${\displaystyle f:V^{n}\to W}$

• が線形従属である場合は。${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle f(x_{1},\ldots,x_{n})=0}$

リー代数では、リー括弧は交代双線型写像です。行列の行列式は、行列の行または列の多重線型交代写像です。

交代多重線型写像の任意の成分が、基本環内の任意のおよびに対して に置き換えられた場合、その写像の値は変化しない。^[3]${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}+cx_{j}}$${\displaystyle j\neq i}$${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R}$

すべての交代多重線型写像は反対称である。 ^{[4]これは[1]} または同等に、 は 次数の置換群を表し、はの符号を表す。^[5]が基本環 の単位元である 場合、すべての反対称-多重線型形式は交代である。 $${\displaystyle f(\dots ,x_{i},x_{i+1},\dots )=-f(\dots ,x_{i+1},x_{i},\dots )\quad {\text{ 任意の }}1\leq i\leq n-1 に対して、}$$$${\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=(\operatorname {sgn} \sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{ 任意の }}\sigma \in \mathrm {S} _{n},}$$${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma }$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$

形式の多重線型写像が与えられたとき、によって定義される 交代多重線型写像はの交代化 であるといわれます。 ${\displaystyle f:V^{n}\to W,}$${\displaystyle g:V^{n}\to W}$$${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n})\mathrel {:=} \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}$$${\displaystyle f}$

プロパティ

• -多重線型交代写像の交代化は、それ自身の倍数です。${\displaystyle n}$${\displaystyle n!}$
• 対称マップの交代化はゼロです。
• 双線型写像の交代化は双線型です。最も注目すべきは、任意のコサイクルの交代化は双線型であるということです。この事実は、格子の2 番目のコホモロジー群を格子上の交代双線型形式の群と同一視する上で重要な役割を果たします。

• 交代代数
• 双線形写像
• 外積代数 § 交代多重線型形式
• 地図（数学）
• 多重線形代数
• 多重線形マップ
• 多重線形形式
• 対称化

• ブルバキ、N. (2007)。数学的要素。 Vol. Algèbre Chapitres 1 から 3 (再版)。スプリンガー。
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004).抽象代数(第 3 版). Wiley.
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