ホワイトヘッド製品

数学において、ホワイトヘッド積は、空間のホモトピー群上の次数付き準 リー代数構造です。これは、 JHC ホワイトヘッドによって(Whitehead 1941) で定義されました。

関連するMSCコードは、55Q15、ホワイトヘッド積と一般化です。

要素が与えられた場合、ホワイトヘッド括弧${\displaystyle f\in \pi _{k}(X),g\in \pi _{l}(X)}$

${\displaystyle [f,g]\in \pi _{k+l-1}(X)}$

は次のように定義されます。

積は、くさびの和に -セルを付加することによって得られる。${\displaystyle S^{k}\times S^{l}}$${\displaystyle (k+l)}$

${\displaystyle S^{k}\vee S^{l}}$;

添付の地図は地図です

${\displaystyle S^{k+l-1}{\stackrel {\phi }{\ \longrightarrow \ }}S^{k}\vee S^{l}.}$

地図で 表現する${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle f\colon S^{k}\to X}$

そして

${\displaystyle g\colon S^{l}\to X,}$

次に、添付の地図を使用してウェッジを構成します。

${\displaystyle S^{k+l-1}{\stackrel {\phi }{\ \longrightarrow \ }}S^{k}\vee S^{l}{\stackrel {f\vee g}{\ \longrightarrow \ }}X.}$

結果として得られる写像のホモトピー類は代表の選択に依存せず、したがって、

${\displaystyle \pi _{k+l-1}(X).}$

次数には 1 のシフトがあり (ホモトピー群のインデックスと比較して)、したがって次数にも 1 のシフトがあることに注意してください。同様に、( L を次数付き準リー代数に設定)。したがって、 は各次数付きコンポーネントに作用します。 ${\displaystyle \pi _{k}(X)}$${\displaystyle (k-1)}$${\displaystyle L_{k}=\pi _{k+1}(X)}$${\displaystyle L_{0}=\pi _{1}(X)}$

ホワイトヘッド積は次の特性を満たします。

• 双線形性。 ${\displaystyle [f,g+h]=[f,g]+[f,h],[f+g,h]=[f,h]+[g,h]}$
• 段階的な対称性。${\displaystyle [f,g]=(-1)^{pq}[g,f],f\in \pi _{p}X,g\in \pi _{q}X,p,q\geq 2}$
• 次数付きヤコビ恒等式。${\displaystyle (-1)^{pr}[[f,g],h]+(-1)^{pq}[[g,h],f]+(-1)^{rq}[[h,f],g]=0,f\in \pi _{p}X,g\in \pi _{q}X,h\in \pi _{r}X{\text{ with }}p,q,r\geq 2}$

空間のホモトピー群は、ホワイトヘッド積演算とともに、次数付き準 リー代数と呼ばれることがあります。これは、Uehara & Massey (1957) でMassey 三重積によって証明されています。

の場合には、ホワイトヘッド括弧は の通常の作用と次のように関係している。 ${\displaystyle f\in \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}}$${\displaystyle \pi _{k}}$

${\displaystyle [f,g]=g^{f}-g,}$

ここで は によるの共役を表します。 ${\displaystyle g^{f}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$

の場合、これは ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle [f,g]=fgf^{-1}g^{-1},}$

これはにおける通常の交換子です。これは、トーラスの - セルが- スケルトンの交換子に沿って取り付けられていることを観察することによっても確認できます。 ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle S^{1}\vee S^{1}}$

経路連結なH 空間では、 上のホワイトヘッド積はすべて消えます。前の節では、これは H 空間の基本群がアーベル的であることと、H 空間が単純であるという事実の両方の一般化です。 ${\displaystyle \pi _{*}(X)}$

クラスのすべてのホワイトヘッド積は、懸垂準同型写像の核に含まれる。${\displaystyle \alpha \in \pi _{i}(X)}$${\displaystyle \beta \in \pi _{j}(X)}$${\displaystyle \Sigma \colon \pi _{i+j-1}(X)\to \pi _{i+j}(\Sigma X)}$

• ${\displaystyle [\mathrm {id} _{S^{2}},\mathrm {id} _{S^{2}}]=2\cdot \eta \in \pi _{3}(S^{2})}$、ホップマップはどこにありますか。${\displaystyle \eta \colon S^{3}\to S^{2}}$

これは、ホップ不変量が同型性を定義することを観察し、 を表す写像のコファイバーのコホモロジー環を明示的に計算することによって示されます。ポンチャギン-トム構成を使用すると、正則点の逆像がホップリンクのコピーであるという事実を使用して、直接的な幾何学的議論が行われます。 ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})\cong \mathbb {Z} }$${\displaystyle [\mathrm {id} _{S^{2}},\mathrm {id} _{S^{2}}]}$

• 一般化ホワイトヘッド積
• マッセイ製品
• 戸田ブラケット

• ホワイトヘッド、JHC (1941 年 4 月)、「ホモトピー群への関係の追加について」、Annals of Mathematics、2、42 ( 2): 409–428、doi :10.2307/1968907、JSTOR  1968907
• 上原 宏、マッシー、ウィリアム S. (1957)、「ホワイトヘッド積のヤコビ恒等式」、代数幾何学と位相幾何学、S. レフシェッツ記念シンポジウム、プリンストン、ニュージャージー州:プリンストン大学出版局、pp. 361–377、MR  0091473
• ホワイトヘッド、ジョージ W. (1946 年 7 月)、「ホモトピー群の積について」、Annals of Mathematics、2、47 ( 3): 460–475、doi :10.2307/1969085、JSTOR  1969085
• ホワイトヘッド、ジョージ W. (1978)。「X.7 ホワイトヘッド積」。ホモトピー理論の要素。シュプリンガー出版。pp. 472–487。ISBN 978-0387903361。