自由リー代数

数学において、体K上の自由リー代数は、交代K双線型性とヤコビ恒等式の定義関係以外の関係が課されずに、集合Xによって生成されるリー代数です。

集合Xによって生成される自由リー代数の定義は次のとおりです。

X を集合とし、Xからリー代数Lへの集合の射(関数)とする。 が普遍射である場合、リー代数L はX上で自由であると呼ばれる。つまり、集合の射を持つ任意のリー代数Aに対して、となる唯一のリー代数射が存在する。${\displaystyle i\colon X\to L}$${\displaystyle i}$${\displaystyle f\colon X\to A}$${\displaystyle g\colon L\to A}$${\displaystyle f=g\circ i}$

集合Xが与えられた場合、 Xによって生成される唯一の自由リー代数が存在することを示すことができます。 ${\displaystyle L(X)}$

圏論の言語では、集合X をXによって生成されるリー代数に送る関数は、集合の圏からリー代数の圏への自由関数である。つまり、忘却関数の左随伴関数である。

集合X上の自由リー代数は自然に次数付きです。自由リー代数の 1 次成分は、まさにその集合上の自由ベクトル空間です。

あるいは、体K上のリー代数から体K上のベクトル空間への忘却関手の左随伴としてベクトル空間 V上の自由リー代数を定義することもできます。つまり、リー代数構造を忘れますが、ベクトル空間構造は覚えています。

集合X上の自由リー代数の普遍包絡代数は、Xによって生成される自由結合代数です。ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理により、これは自由リー代数の対称代数と「同じサイズ」です（つまり、両側がXの次数 1 の要素を与えることによって次数付けされている場合、それらは次数付きベクトル空間として同型です）。これは、任意の次数の自由リー代数の部分の次元を記述するために使用できます。

エルンスト・ヴィットは、m元集合上の自由リー代数におけるk次基本交換子の数はネックレス多項式で与えられることを示した。

${\displaystyle M_{m}(k)={\frac {1}{k}}\sum _{d|k}\mu (d)\cdot m^{k/d},}$

ここで、 はメビウス関数です。 ${\displaystyle \mu}$

有限集合上の自由リー代数の普遍包絡代数の次数付き双対はシャッフル代数である。普遍包絡代数はホップ代数の構造を持ち、シャッフル積はこの代数における共乗法の作用を記述するため、これは本質的に従う。シャッフル積と共乗法の相互関係の詳細な説明については、 テンソル代数を参照のこと。

自由リー代数の明示的な基底は、ホール集合によって与えることができる。ホール集合は、 X上の自由マグマ内の特定の種類の部分集合である。自由マグマの元は二分木であり、その葉はXの元でラベル付けされる。ホール集合は、フィリップ・ホールの群に関する研究に基づいてマーシャル・ホール (1950) によって導入された。その後、ヴィルヘルム・マグヌスは、ホール集合が、下中心級数によって与えられる自由群上の濾過に関連付けられた次数付きリー代数として生じることを示した。この対応は、フィリップ・ホールとウィットによる 群論における交換子恒等式によって動機付けられた。

リンドン語はホール語の特殊なケースであるため、特にリンドン語に対応する自由リー代数の基底が存在します。これはロジャー・リンドンにちなんでリンドン基底と呼ばれています。(これはチェン・フォックス・リンドン基底またはリンドン・シルショフ基底とも呼ばれ、シルショフ基底と本質的に同じです。)順序付けられたアルファベットのリンドン語からこのアルファベット上の自由リー代数の基底への全単射γ が次のように定義されます。

• 単語wの長さが 1 の場合(自由リー代数の生成元として考えられます)。${\displaystyle \gamma (w)=w}$
• wの長さが2以上であれば、 Lyndon語u、vをvが可能な限り長いものとして記述します（「標準因数分解」^[1]）。すると、${\displaystyle w=uv}$${\displaystyle \ガンマ (w)=[\ガンマ (u),\ガンマ (v)]}$

アナトリー・シルショフ (1953) とウィット (1956) は、自由リー代数の任意 のリー部分代数はそれ自体が自由リー代数であることを示した。

半単純リー代数に関するセールの定理は、自由リー代数を使用して、生成元と関係から半単純代数を構築します。

リンク群のミルノア不変量は、その記事で説明されているように、リンクの成分上の自由リー代数と関連しています。

オペラドの構築における自由リー代数の使用については、 リー オペラドも参照してください。

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