嘘のグループ型

数学、特に群論において、リー型群という用語は通常、有限体における値を持つ簡約線型代数群の有理点群と密接に関連する有限群を指す。リー型群という語には広く受け入れられている正確な定義はないが^{[1] 、リー型有限}単純群の重要な集合には正確な定義があり、有限単純群の分類における群のほとんどを構成している。

「リー型群」という名前は、（無限）リー群との密接な関係によるものです。コンパクト リー群は、実数体上の簡約線型代数群の有理点として見ることができるためです。リー型群の標準的な参考文献は、Dieudonné (1971) と Carter (1989) です。

この問題に対する最初のアプローチは、ジョーダン (1870) による有限体およびその他の体上のいわゆる古典群の定義と詳細な研究でした。これらの群は、 LE ディクソンとジャン デュドネによって研究されました。エミール アルティンは、一致のケースを分類する目的で、このような群の順序を調査しました。

古典群は、大まかに言えば、特殊な線型群、直交群、シンプレクティック群、またはユニタリ群です。これらには、導来部分群または中心 商を取ることで得られるいくつかの小さなバリエーションがあり、中心商は射影線型群をもたらします。これらは、実数上で構築されるのとほぼ同じ方法で、有限体（またはその他の体）上で構築できます。これらは、シュヴァレー群とスタインバーグ群の級数 A _n、 B _n、 C _n、 D _n、² A _n、² D _nに対応します。

シュヴァレー群は有限体上のリー群と考えることができる。この理論は代数群の理論とリー代数に関するシュヴァレー(1955)の研究によって明らかにされ 、これによってシュヴァレー群の概念が分離された。シュヴァレーはすべての複素単純リー代数(またはむしろそれらの普遍包絡代数) に対してシュヴァレー基底(一種の積分形式だが有限体上)を構築し、これを使って整数上の対応する代数群を定義できる。特に、彼は任意の有限体で値を持つ点を取ることができた。リー代数 A _n、 B _n、 C _n、 D _{nに対しては、これによりよく知られた古典的な群が得られたが、彼の構築によって例外的なリー代数 E 6}、 E ₇、 E ₈、 F ₄、 G ₂に関連する群も得られた。 G ₂型のもの（ディクソン群と呼ばれることもある）は、すでにディクソン（1905）によって構築されており、E ₆型のものはディクソン（1901）によって構築されていた。

シュヴァレーの構成では、既知の古典群のすべてが得られたわけではなく、ユニタリ群と非分割直交群が省略されていた。スタインバーグ (1959) は、これらの群と 2 つの新しい族³ D ₄、² E ₆が得られたシュヴァレーの構成の修正版を発見した。2 番目の族は、ほぼ同時期に、ティッツ (1958) によって異なる観点から発見された。この構成は、一般線型群からユニタリ群を通常構成することを一般化したものである。

ユニタリ群は次のようにして生じる。複素数上の一般線型群には、ディンキン図式A _{n を}逆にすることで得られる図式自己同型（転置逆をとることに対応）と、複素共役をとることで得られる体自己同型があり、これらは可換である。ユニタリ群は、これら 2 つの自己同型の積の不動点の群である。

同様に、多くのシュヴァレー群は、そのディンキン図式の自己同型によって誘導される図式自己同型と、有限体の自己同型によって誘導される体自己同型を持つ。ユニタリの場合と同様に、スタインバーグは図式と体自己同型の積の不動点を取ることで群の族を構築した。

これらは次のとおりです:

• ユニタリ群 ² A _{n 、 A n}の 2 次自己同型より;
• _{D n}の位数 2 の自己同型から、さらに直交群 ² D _{n が}得られる。
• _{E 6}の 2 次自己同型から得られる新しい級数² E ₆。
• _{D 4}の 3 次自己同型から得られる新しい級数³ D ₄。

複素数には 3 次自己同型性がないため、タイプ³ D ₄の群には実数上の類似物はありません。 ^{[説明が必要]} D _{4図の対称性によって、}三元性も生じます。

鈴木 (1960) は、一見すると既知の代数群とは無関係に思える新しい群の無限級数を発見した。リー (1960, 1961) は、代数群 B _{2 が、その平方が}フロベニウス自己同型である標数 2 の「余分な」自己同型を持つことを知った。彼は、標数 2 の有限体も、その平方がフロベニウス写像である自己同型を持つ場合、スタインバーグの構成の類似物から鈴木群が得られることを発見した。このような自己同型を持つ体は、位数 2 ^{2 n +1}の体であり、対応する群は鈴木群である。

² B ₂ (2 ^{2 n +1} ) = Suz(2 ^{2 n +1} )。

（厳密に言えば、Suz(2)群は単純ではないため、鈴木群には数えられません。それは位数20のフロベニウス群です。）Reeは2つの新しい類似族を見つけることができました。

² F ₄ (2 ^{2 n +1} )

そして

² G ₂ (3 ^{2 n +1} )

_{単純群の分類は、 F 4}と G _{2 が}特性 2 と 3 に追加の自己同型を持つという事実を利用している。（大まかに言えば、特性pでは、図の自己同型を取るときに、ディンキン図の多重度pの結合上の矢印を無視できる。） ² F ₄型の最小群² F 4 (2 _{)は単純ではないが、}指数2の単純部分群を持ち、これはティッツ群（数学者ジャック・ティッツにちなんで名付けられた）と呼ばれる。 ² G 2 型の最小群² _{G 2} ( 3 ) は単純ではないが、指数 3 の単純正規部分群を持ち、これは A ₁ (8)と同型である。有限単純群の分類では、リー群

² G ₂ (3 ^{2 n +1} )

は、その構造を明示的に特定するのが最も難しい群です。これらの群は、最初の現代の散在群の発見にも役割を果たしました。これらの群には、 q = 3 ⁿに対してZ /2 Z × PSL(2, q )という形式の反転中心化子があり、同様の形式Z /2 Z × PSL(2, 5)の反転中心化子を持つ群を調べることで、Janko は散在群 J _{1 を}発見しました。

鈴木群は、位数が3で割り切れない唯一の有限非可換単純群である。位数は2 ^{2(2 n +1)} (2 ^{2(2 n +1)} + 1)(2 ^{(2 n +1)} − 1)である。

リー型有限群は、巡回群、対称群、交代群に次いで数学で最初に考察された群の一つであり、素数有限体上の射影特殊線型群PSL(2, p ) は1830 年代にエヴァリスト・ガロアによって構築された。リー型有限群の体系的な探究は、射影特殊線型群PSL(2, q ) はq ≠ 2, 3に対して単純であるというカミーユ・ジョルダンの定理から始まった。この定理は高次元の射影群に一般化され、有限単純群の重要な無限族 PSL( n , q )を与える。他の古典的な群は、 20 世紀初頭にレナード・ディクソンによって研究された。 1950 年代にクロード・シュヴァレーは、半単純リー群に関する多くの定理は、適切な再定式化の後、任意の体k上の代数群の類似物を許容し、現在シュヴァレー群と呼ばれるものの構成につながることを認識しました。さらに、コンパクト単純リー群の場合と同様に、対応する群は抽象群としてほぼ単純であることがわかりました (ティッツ単純性定理)。他の有限単純群 (たとえば、マシュー群) が存在することは 19 世紀以来知られていましたが、徐々に、ほぼすべての有限単純群は、巡回群と交代群とともに、シュヴァレーの構成の適切な拡張によって説明できるという信念が形成されました。さらに、例外である散在群は、リー型の有限群と多くの特性を共有しており、特に、ティッツの意味での 幾何学に基づいて構成および特徴付けることができます。

この信念は、今では定理、つまり有限単純群の分類になっています。有限単純群のリストを調べると、有限体上のリー型の群には、巡回群、交代群、ティッツ群、および 26 個の散在単純群以外のすべての有限単純群が含まれることがわかります。

一般に、単連結な単純代数群の自己準同型に関連付けられた有限群は単純群の普遍中心拡大であるため、完全であり、自明なシューア乗数を持ちます。ただし、上記の族の最小の群のいくつかは完全ではないか、シューア乗数が「予想」よりも大きくなります。

グループが完璧ではないケースとしては、

• A ₁ (2) = SL(2, 2) 6次の可解数（3点対称群）
• A ₁ (3) = PSL(2, 3) 12次の可解な方程式（4点の交代群）
• ² A ₂ (4) 解ける
• B ₂ (2) 完全ではないが、6点上の対称群と同型なので、その導来部分群の指数は2で、位数は360である。
• ² B ₂ (2) = Suz(2) 20次の可解数（フロベニウス群）
• ² F ₄ (2) 完全ではないが、導来群は指数2を持ち、単純Tits群である。
• G ₂ (2) 完全ではないが、導来群の指数は2で、位数は6048である。
• ² G ₂ (3) 完全ではないが、導来群の指数は3で、位数504の単純群である。

グループが完全であるが、シューア乗数が予想よりも大きい場合の例としては、次のものがあります。

• A ₁ (4) シューア乗数には余分なZ /2 Zがあるため、単純群のシューア乗数の順序は1ではなく2になります。
• A ₁ (9) シューア乗数には余分なZ /3 Zがあるため、単純群のシューア乗数の次数は2ではなく6になります。
• A ₂ (2) シューア乗数には余分なZ /2 Zがあるため、単純群のシューア乗数の順序は 1 ではなく 2 になります。
• A ₂ (4) シューア乗数には余分なZ /4 Z × Z /4 Zがあるため、単純群のシューア乗数の次数は3ではなく48になります。
• A ₃ (2) シューア乗数には余分なZ /2 Zがあるため、単純群のシューア乗数の順序は1ではなく2になります。
• B ₃ (2) = C ₃ (2) シューア乗数には余分なZ /2 Zがあるため、単純群のシューア乗数の次数は1ではなく2になります。
• B ₃ (3) シューア乗数には余分なZ /3 Zがあるため、単純群のシューア乗数の順序は2ではなく6になります。
• D ₄ (2) シューア乗数には余分なZ /2 Z × Z /2 Zがあるため、単純群のシューア乗数の順序は1ではなく4になります。
• F ₄ (2) シューア乗数には余分なZ /2 Zがあるため、単純群のシューア乗数の順序は1ではなく2になります。
• G ₂ (3) シューア乗数には余分なZ /3 Zがあるため、単純群のシューア乗数の順序は1ではなく3になります。
• G ₂ (4) シューア乗数には余分なZ /2 Zがあるため、単純群のシューア乗数の順序は1ではなく2になります。
• ² A ₃ (4) シューア乗数には余分なZ /2 Zがあるため、単純群のシューア乗数の順序は1ではなく2になります。
• ² A ₃ (9) シューア乗数には余分なZ /3 Z × Z /3 Zがあるため、単純群のシューア乗数の次数は4ではなく36になります。
• ² A ₅ (4) シューア乗数には余分なZ /2 Z × Z /2 Zがあるため、単純群のシューア乗数の次数は3ではなく12になります。
• ² E ₆ (4) シューア乗数には余分なZ /2 Z × Z /2 Zがあるため、単純群のシューア乗数の順序は3ではなく12になります。
• ² B ₂ (8) シューア乗数には余分なZ /2 Z × Z /2 Zがあるため、単純群のシューア乗数の次数は1ではなく4になります。

リー型 (および交代群) のさまざまな小群の間には、驚くほど多くの「偶然の」同型が存在します。たとえば、SL(2, 4)、PSL(2, 5)、および 5 点​​の交代群はすべて同型です。

これらの例外の完全なリストについては、有限単純群のリストを参照してください。これらの特別な特性の多くは、特定の散在単純群に関連しています。

交代群は、 1 つの元を持つ体上のリー型の群であるかのように振舞うことがあります。小さな交代群の中には例外的な特性を持つものもあります。交代群は通常、次数 2 の外部自己同型群を持ちますが、6 点上の交代群は次数 4 の外部自己同型群を持ちます。交代群は通常、次数 2 のシューア乗数を持ちますが、6 点または 7 点上の交代群は次数 6 のシューア乗数を持ちます。

リー型の有限群には標準的な表記法はなく、文献には互換性がなく混乱を招く表記法が数十種類も含まれています。

• 単純群 PSL( n , q ) は、通常、代数群 PSL( n ) の F q 値点の群 PSL( n , F _q ) と同じではありません。問題は_、 SL( n ) → PSL( n ) などの代数群の射影写像が、必ずしも何らかの (代数的に閉じていない) 体に値を持つ対応する群の射影写像を誘導するわけではないことです。有限体に値を持つ他の代数群の点についても同様の問題があります。
• _{A n −1}型の群は、PSL( n , q )（射影特殊線型群）またはL ( n , q )と表記されることもある。
• _{C n}型の群は、 Sp(2 n , q ) (シンプレクティック群) または (紛らわしいが) Sp( n , q )と表記されることもある。
• _{D n}型の群（「直交」群）の表記は特に紛らわしい。使用される記号には O( n , q )、O ⁻ ( n , q )、PSO( n , q )、Ω _n ( q ) などがあるが、規則が多すぎるため、明示的に指定しなければ、これらがどの群に対応するかを正確に言うことはできない。問題の原因は、単純群が直交群 O でも射影特殊直交群PSO でもなく、むしろ PSO のサブグループ^[2]であり、したがって古典的な表記法がないことである。特に厄介な罠は、ATLASなどの一部の著者が、直交群ではなく対応する単純群である群にO( n , q ) を使用することである。 Ω, PΩという表記はジャン・ディウドネによって導入されたが、彼の定義はn ≤ 4では単純ではないため、 n ≥ 5では一致するが低次元では一致しないわずかに異なるグループに同じ表記が使用されることがある。^[2]
• スタインバーグ群については、他の著者が² A _n ( q )と表記する群を² A _n ( q ² ) などと表記する著者もいます。問題は、q ²位の体とその固定位qの体の 2 つの体が関係しており、どちらを表記に含めるべきかについて人によって考え方が異なることです。「² A _n ( q ² )」表記の方が論理的で一貫性がありますが、「² A _n ( q )」表記の方がはるかに一般的で、代数群の表記に近いです。
• _{A n} ( q )のような群が、単純代数群の値を持つ点の群なのか、それとも単連結代数群の値を持つ点の群なのかについては、著者によって意見が分かれています。たとえば、A _n ( q ) は、特殊線型群 SL( n +1, q ) または射影特殊線型群 PSL( n +1, q ) のいずれかを意味します。したがって、² A ₂ (4) は、著者によって 4 つの異なる群のいずれかになります。

• ドリーニュ・リュスティグ理論（リー型有限群の表現論）
• モジュラーリー代数

• カーター、ロジャー W. (1989) [1972]、「リー型の単純群」、ワイリークラシックスライブラリー、ニューヨーク：ジョンワイリーアンドサンズ、ISBN 978-0-471-50683-6、MR  0407163
• Chevalley, Claude (1955)、「確実な群の単純さ」、東北数学ジャーナル、第 2 シリーズ、7 (1–2): 14–66、doi : 10.2748/tmj/1178245104、ISSN  0040-8735、MR  0073602
• ディクソン、レナード・ユージーン（1901b）、「任意の体における線型群の理論」、アメリカ数学会誌、2（4）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会：363–394、doi：10.1090/S0002-9947-1901-1500573-3、ISSN  0002-9947、JSTOR  1986251、彼の論文集第2巻に再録
• ディクソン、レナード・ユージン（1901）、「立方体表面上の27本の直線の構成に関連する任意の領域内のグループのクラス」、純粋および応用数学の季刊誌、33：145-173、全集第5巻に再版
• ディクソン、LE (1905)、「単純群の新しいシステム」、Math. Ann.、60 : 137–150、doi :10.1007/BF01447497、S2CID  179178145レナード・E・ディクソンはG _{2型のグループを報告した。}
• Dieudonné、Jean A. (1971) [1955]、La géométrie des groupes classiques (第 3 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-05391-2、MR  0310083
• ジョルダン、カミーユ(1870)、代物と代数の説明、パリ: ゴティエ ヴィラール
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