カルタンの基準

数学において、カルタンの基準は、特性 0 のリー代数が可解である ための条件を与え、リー代数が半単純であるための関連する基準を意味する。これは、式によって定義される の対称 双線型形式であるキリング形式の概念に基づいている。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle B(u,v)=\オペレーター名 {tr} (\オペレーター名 {ad} (u)\オペレーター名 {ad} (v)),}$

ここでtrは線形演算子のトレースを表す。この基準はエリー・カルタン （1894）によって導入された。^[1]

カルタンの解決可能性の基準は、次のように述べています。

特性ゼロの体上の有限次元ベクトル空間の自己準同型のリー部分代数は 、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {tr} (ab)=0}$${\displaystyle a\in {\mathfrak {g}},b\in [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}].}$

解けるケースでは、が基底体の代数閉包上の上三角形式に代入するリーの定理から導かれる（トレースは基底体を拡張した後に計算できる）。逆は、そこで説明されているように、ジョルダン・シュヴァレー分解に基づくべき零性基準から演繹できる。 ${\displaystyle \operatorname {tr} (ab)=0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

カルタンの基準を随伴表現に適用すると次のようになります。

特性ゼロの体上の有限次元リー代数は、次の場合にのみ解けます(ここで K はキリング形式)。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0}$

カルタンの半単純性の基準は次のように述べています。

特性ゼロの体上の有限次元リー代数は、キリング形式が非退化である場合に限り、半単純である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ジャン・ディウドネ (1953) は、有限次元リー代数 (任意の特性において) が非退化不変双線型形式を持ち、非ゼロのアーベルイデアルを持たない場合、特にそのキリング形式が非退化である場合、それは単純なリー代数の和であるという非常に短い証明を与えました。

逆に、カルタンの可解性の基準から、半単純代数（特性 0）は非退化キリング形式を持つことが容易に分かります。

カルタンの基準は特性において不合格です。例えば、 ${\displaystyle p>0}$

• リー代数は、k の標数が 2 でなく、キリング形式がゼロになる 場合、単純です。ただし、リー代数は、 によって与えられる非ゼロの不変双線形形式を持ちます。${\displaystyle \operatorname {SL} _{p}(k)}$${\displaystyle (a,b)=\operatorname {tr} (ab)}$
• の基底を持ち、括弧 [ a _i , a _j ] = ( i − j ) a _{i + j を}持つリー代数は、 に対して単純ですが、非ゼロ不変双線型形式を持ちません。${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle p>2}$
• k が特性 2 を持つ場合、半直積gl ₂ ( k ). k ²は解けるリー代数ですが、キリング形式はその導出代数 sl ₂ ( k ). k ²上では恒等的にゼロではありません。

有限次元リー代数が冪零である場合、キリング形式は恒等的にゼロです（より一般的には、キリング形式は任意の冪零イデアル上で消滅します）。逆は偽です。キリング形式が消滅する非冪零リー代数が存在します。例として、アーベルリー代数Vと、 bが冪零でなく Tr( b ² )=0 であるような自己準同型bとしてV に作用する 1 次元リー代数との半直積が挙げられます。

特性 0 では、すべての簡約リー代数 (可換リー代数と単純リー代数の和) は非退化不変対称双線型形式を持ちます。しかし、その逆は偽です。非退化不変対称双線型形式を持つリー代数は、単純リー代数と可換リー代数の和である必要はありません。典型的な反例はG = L [ t ]/ t ⁿ L [ t ] です。ここでn >1、Lは双線型形式 (,) を持つ単純複素リー代数であり、G上の双線型形式は、 L上の形式によって誘導されるG上のC [ t ] 値双線型形式のt ^{n −1}の係数を取ることで与えられます。双線型形式は非退化ですが、リー代数は単純リー代数と可換リー代数の和ではありません。

• Cartan、Élie (1894)、最終と継続の変換グループの構造、論文、ノニー
• ディウドネ、ジャン(1953)、「半単純リー代数について」、アメリカ数学会紀要、4 (6): 931–932、doi :10.2307/2031832、ISSN  0002-9939、JSTOR  2031832、MR  0059262
• セール、ジャン＝ピエール（2006）[1964]、リー代数とリー群、数学講義ノート、第1500巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/978-3-540-70634-2、ISBN 978-3-540-55008-2、MR  2179691

• モジュラーリー代数