三角行列

マトリックス

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\2&96&0\\4&9&69\end{bmatrix}}}$

非対称行列の下三角行列は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&5&8\\2&96&9\\4&9&69\end{bmatrix}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&9\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

非対称行列の場合、上三角行列は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&1\\99&6&9\\40&88&1\end{bmatrix}}}$

行列方程式L x = b は、線形方程式のシステムとして記述できます。

${\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

最初の式（${\displaystyle \ell _{1,1}x_{1}=b_{1}}$）のみ${\displaystyle x_{1}}$、したがって、${\displaystyle x_{1}}$直接。2 番目の式には、${\displaystyle x_{1}}$そして${\displaystyle x_{2}}$したがって、既に解いた値を代入すれば解くことができる。${\displaystyle x_{1}}$このまま続けると、${\displaystyle k}$第 1 番目の方程式には、${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$、そして解くことができる${\displaystyle x_{k}}$以前に解いた値を使用して${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k-1}}$結果として得られる数式は以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}}$

上三角行列Uを含む行列方程式も、同様の方法で解くことができますが、その場合は逆算することになります。

フォワード置換は、イールドカーブを構築するために金融ブートストラップで使用されます。

（下三角行列または上三角行列の）主対角線上の要素がすべて 1 である場合、その行列は（下三角行列または上三角行列）単位三角行列と呼ばれます。

これらの行列は、単位（下三角または上三角）行列、あるいはごくまれにノルム付き（下三角または上三角）行列とも呼ばれます。ただし、単位三角行列は単位行列とは異なり、ノルム付き三角行列は行列ノルムの概念とは何の関係もありません。

すべての有限単位三角行列は単冪行列である。

（下三角行列または上三角行列の）主対角線上のすべての要素が 0 である場合、その行列は厳密に（下三角行列または上三角行列）と呼ばれます。

ケイリー・ハミルトンの定理の結果として、すべての有限厳密三角行列は指数が最大nの冪零行列である。

原子（下三角または上三角）行列は、単三角行列の特殊な形式で、単一の列の要素を除いて、すべての非対角要素がゼロになります。このような行列は、フロベニウス行列、ガウス行列、またはガウス変換行列とも呼ばれます。

ブロック三角行列とは、ブロック行列（分割行列）であり、かつ三角行列である行列のことです。

行列の集合${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$と言われている全てが上三角行列となる基底が存在する場合、同時に三角化可能である。同等に、単一の相似行列P。このような行列の集合は、それが生成する行列の代数、すなわち、すべての多項式を考慮することで、より容易に理解できる。${\displaystyle A_{i},}$表記${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}].}$同時三角化可能性とは、この代数が上三角行列のリー部分代数に共役であることを意味し、この代数がボレル部分代数のリー部分代数であることと同等である。

基本的な結果として、（代数的に閉じた体上では）可換行列は${\displaystyle A,B}$あるいはもっと一般的に${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$これらは同時に三角化可能である。これは、まず可換行列が共通の固有ベクトルを持つことを示し、次に以前と同様に次元を帰納することで証明できる。これは、1878年にフロベニウスが可換ペアについて証明したことで証明されており、可換行列の項で説明されている。単一の行列については、複素数体上でユニタリ行列によって三角化できる。

可換行列が共通の固有ベクトルを持つという事実は、ヒルベルトのヌルシュテルンザッツの結果として解釈できる。すなわち、可換行列は可換代数を形成する。${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}]}$以上${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{k}]}$これはk次元アフィン空間における多様体と解釈でき、（共通の）固有値（したがって共通の固有ベクトル）の存在は、この多様体が（空でない）点を持つことに対応し、その点は（弱い）ヌルシュテレンザッツの内容である。代数的に言えば、これらの演算子はk変数多項式代数の代数表現に対応する。

これはリーの定理によって一般化され、可解リー代数の任意の表現は同時に上三角化可能であることを示している。可換行列の場合はアーベルリー代数の場合であり、アーベルは当然可解である。

より一般的に、より正確には、行列の集合${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$が同時に三角化可能であるのは、行列が${\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]}$は、 k 個の非可換変数に関するすべての多項式pに対して冪零であり、${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$は交換子です。交換するには${\displaystyle A_{i}}$交換子が消滅するので、これは成り立つ。これは1951年にDrazin、Dungey、Gruenbergによって証明された^{[ 4 ]} 。 1994年にPrasolovによって簡潔な証明が与えられている^{[ 5 ]}。1つの方向性は明らかである。行列が同時に三角化可能であれば、${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$は厳密に上三角化可能（したがって冪零）であり、任意の による乗算によって保存される。${\displaystyle A_{k}}$またはそれらの組み合わせであっても、三角化基底の対角線上には依然として0が存在する。

特定の種類の（下三角または上三角）可逆な三角行列の集合は群、すなわちリー群を形成し、これはすべての可逆行列からなる一般線形群の部分群である。三角行列が可逆であるのは、対角成分が可逆（ゼロでない）である場合に限る。

実際の数字を見ると、このグループは分断されており、${\displaystyle 2^{n}}$各対角成分が正または負であるのに応じて、成分はそれに応じて変化します。単位成分は、対角成分が正である可逆三角行列であり、すべての可逆三角行列のグループは、このグループと、対角成分が正である行列のグループの半直積です。${\displaystyle \pm 1}$対角線上には、各成分に対応する。

可逆上三角行列のリー群のリー代数は、必ずしも可逆ではないすべての上三角行列の集合であり、可解リー代数である。これらはそれぞれ、リー群 GL _nの標準ボレル部分群Bと標準ボレル部分代数である。${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$リー代数 gl _nの。

上三角行列は、まさに標準フラグを安定化させる行列である。それらの可逆行列は、一般線形群の部分群を形成し、その共役部分群は、ある（別の）完全フラグの安定化群として定義される。これらの部分群はボレル部分群である。可逆下三角行列の群は、標準基底を逆順にした標準フラグの安定化群であるため、そのような部分群である。

標準フラグの一部を忘れることによって得られる部分フラグの安定化群は、ブロック上三角行列の集合として記述できます（ただし、その要素はすべて三角行列ではありません）。このような群の共役群は、ある部分フラグの安定化群として定義された部分群です。これらの部分群は放物型部分群と呼ばれます。

2×2の上三角行列の群は、スカラー体の加法群と同型です。複素数の場合、放物型メビウス変換からなる群に対応します。3×3の上三角行列はハイゼンベルク群を形成します。