古典リー代数

古典リー代数は、体上の有限次元リー代数であり、、およびの 4 つのタイプに分類できます。ここで、一般線型リー代数と単位行列については次のようになります。 ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n\times n}$

• ${\displaystyle A_{n}:={\mathfrak {sl}}(n+1)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(n+1):{\text{tr}}(x)=0\}}$、特殊線型リー代数。
• ${\displaystyle B_{n}:={\mathfrak {so}}(2n+1)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(2n+1):x+x^{T}=0\}}$、奇数次元直交リー代数。
• ${\displaystyle C_{n}:={\mathfrak {sp}}(2n)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(2n):J_{n}x+x^{T}J_{n}=0,J_{n}={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}\}}$、シンプレクティックリー代数、そして
• ${\displaystyle D_{n}:={\mathfrak {so}}(2n)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(2n):x+x^{T}=0\}}$偶数次元の直交リー代数。

低次元の場合とを除いて、古典的なリー代数は単純である。^{[1] [2]}${\displaystyle D_{1}={\mathfrak {so}}(2)}$${\displaystyle D_{2}={\mathfrak {so}}(4)}$

モヤル代数は、すべての古典的なリー代数を部分代数として含む無限次元のリー代数です。

• 単純なリー代数
• クラシックグループ