リー代数前期

数学において、リー前代数は、根付き木やアフィン空間上のベクトル場などのオブジェクトのいくつかの特性を表すベクトル空間上の代数構造です。

前リー代数の概念は、マレー・ガーステンハーバーが代数の変形に関する研究の中で導入しました。

前リー代数は、左対称代数、右対称代数、ヴィンバーグ代数など、いくつかの別名で考えられてきました。

前リー代数は、線型写像を持つベクトル空間であり、次の関係を満たす。 ${\displaystyle (V,\triangleleft )}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \triangleleft :V\otimes V\to V}$${\displaystyle (x\triangleleft y)\triangleleft zx\triangleleft (y\triangleleft z)=(x\triangleleft z)\triangleleft yx\triangleleft (z\triangleleft y).}$

この恒等式は、 2 つの変数とを交換した場合の結合子 の不変性として考えることができます。${\displaystyle (x,y,z)=(x\triangleleft y)\triangleleft zx\triangleleft (y\triangleleft z)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

したがって、結合子が同一に消えるので、すべての結合代数は前リー代数でもある。結合性よりも弱いが、前リー代数の定義関係は、依然として交換子が リー括弧であることを意味する。特に、交換子のヤコビ恒等式は、上記の前リー代数の定義関係の項を循環させることから得られる。 ${\displaystyle x\triangleleft yy\triangleleft x}$${\displaystyle x,y,z}$

を変数でパラメータ化されたの開近傍とします。ベクトル場が与えられた場合、を定義します。 ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$${\displaystyle u=u_{i}\partial _{x_{i}}}$${\displaystyle v=v_{j}\partial _{x_{j}}}$${\displaystyle u\triangleleft v=v_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\partial _{x_{i}}}$

との違いはであり、 これはと で 対称です。したがって、リー前代数構造を定義します。 ${\displaystyle (u\triangleleft v)\triangleleft w}$${\displaystyle u\triangleleft (v\triangleleft w)}$${\displaystyle (u\triangleleft v)\triangleleft wu\triangleleft (v\triangleleft w)=v_{j}w_{k}{\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}\partial _{x_{i}}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \triangleleft}$

多様体 と から への同相写像がの重なり合う開近傍として与えられたとき、それらはそれぞれ、重なり合う上で定義されたベクトル場上のリー前代数構造を定義します。と一致する必要はないものの、それらの交換子は一致します。つまり、 、およびのリー括弧です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi ,\phi '}$${\displaystyle U,U'\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \triangleleft ,\triangleleft '}$${\displaystyle \triangleleft}$${\displaystyle \triangleleft'}$${\displaystyle u\triangleleft vv\triangleleft u=u\triangleleft 'vv\triangleleft 'u=[v,u]}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$

すべての根付き木によって張られる自由ベクトル空間とします。 ${\displaystyle \mathbb {T} }$

次のようにして双線型積を導入することができます。と を2 つの根付き木とします。 ${\displaystyle \curvearrowleft}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \tau_{1}}$${\displaystyle \tau_{2}}$

${\displaystyle \tau _{1}\curvearrowleft \tau _{2}=\sum _{s\in \mathrm {頂点} (\tau _{1})}\tau _{1}\circ _{s}\tau _{2}}$

ここで、 は の非結合和集合との頂点からのルート頂点に向かう辺を追加することによって得られるルート付き木です。 ${\displaystyle \tau _{1}\circ _{s}\tau _{2}}$${\displaystyle \tau_{1}}$${\displaystyle \tau_{2}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \tau_{1}}$${\displaystyle \tau_{2}}$

すると、 1 つの生成元上の自由リー前代数になります。より一般的には、任意の生成元セット上の自由リー前代数は、各頂点に生成元の 1 つでラベル付けされたツリーから同じ方法で構築されます。 ${\displaystyle (\mathbb {T} ,\curvearrowleft )}$

• Chapoton, F.; Livernet, M. (2001)、「Pre-Lie 代数とルート付き木オペラド」、International Mathematics Research Notices、2001 (8): 395–408、doi : 10.1155/S1073792801000198、MR  1827084。
• Szczesny, M. (2010)、Pre-Lie 代数と有色根付き木の発生カテゴリ、第 1007 巻、p. 4784、arXiv : 1007.4784、Bibcode :2010arXiv1007.4784S。