単純リー代数

代数学において、単純リー代数とは、非可換であり、かつ非零の固有イデアルを含まないリー代数のことである。実単純リー代数の分類は、ヴィルヘルム・キリングとエリー・カルタンの主要な業績の一つ​​である。

標数0の体上では、単純リー代数の直和を半単純リー代数と呼ぶ。

単純リー群とは、連結リー群であって、そのリー代数が単純である群のことである。

有限次元の単純複素リー代数は、以下のいずれかと同型である。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$、${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{n}\mathbb {C} }$、${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C} }$（古典的リー代数）または5つの例外的なリー代数のいずれか。^{[ 1 ]}

各有限次元複素半単純リー代数に対して${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$、対応する図（ディンキン図と呼ばれる）が存在し、ノードは単純根を表し、ノードは単純根間の角度に応じて複数の線で接続（または接続されない）され、矢印は根が長いか短いかを示すために配置される。^{[ 2 ]}ディンキン図は、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$接続されているのは、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$簡単です。接続可能なすべての Dynkin 図は次のとおりです。^{[ 3 ]}

ここでnはノード (単純根) の数です。図と複素単純リー代数の対応関係は次のとおりです。^{[ 2 ]}

（A _n）${\displaystyle \quad {\mathfrak {sl}}_{n+1}\mathbb {C} }$

(B _n )${\displaystyle \quad {\mathfrak {so}}_{2n+1}\mathbb {C} }$

(C _n )${\displaystyle \quad {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C} }$

(D _n )${\displaystyle \quad {\mathfrak {so}}_{2n}\mathbb {C} }$

残りは例外的なリー代数である。

もし${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$は有限次元の実単純リー代数であり、その複素化は (1) 単純リー代数であるか、または (2) 単純複素リー代数とその共役リー代数の積のいずれかである。例えば、 の複素化は${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$実数リー代数として考えられるのは${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} \times {\overline {{\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }}}$したがって、実単純リー代数は、複素単純リー代数の分類といくつかの追加情報によって分類できます。これは、ディンキン図を一般化したサタケ図によって行うことができます。実単純リー代数の一部のリストについては、「リー群の表#実リー代数」も参照してください。

• シンプル・ライ・グループ
• フォーゲルプレーン

• フルトン、ウィリアム；ハリス、ジョー（ 1991）。表現論入門。大学院数学テキスト、数学読本、第129巻。ニューヨーク ：シュプリンガー・フェルラーク。doi ：10.1007 /978-1-4612-0979-9。ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249 . OCLC 246650103 .  
• ジェイコブソン、ネイサン、『リー代数』、1962年の原著の再版。ドーバー出版、ニューヨーク、1979年 。ISBN 0-486-63832-4第X章では、標数ゼロの体上の単純リー代数の分類について考察する。

• 「半単純リー代数」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• n Labにおける単純リー代数