プロpグループ

数学において、プロp群（ある素数pについて）はプロ有限群である。${\displaystyle G}$任意の開正規部分群に対して${\displaystyle N\triangleleft G}$商のグループ${\displaystyle G/N}$はp群です。プロ有限群はコンパクトであるため、開部分群は有限指数の閉部分群と完全に一致することに注意してください。したがって、離散商群は常に有限です。

あるいは、プロp群を、離散的な有限p群の逆系の逆極限として定義することもできる。

最もよく理解されている（そして歴史的に最も重要な）プロp群のクラスはp進解析群である。これは、解析多様体上の構造を持つ群である。$\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$群の乗法と逆元がともに解析関数となるような群である。ルボツキーとマンの研究は、 p進数に関するヒルベルトの第5問題に対するミシェル・ラザールの解と相まって、プロp群がp進解析的であるのは、有限ランク、すなわち正の整数が存在する場合に限ることを示している。${\displaystyle r}$任意の閉部分群は、以下の位相生成集合を持つ。${\displaystyle r}$要素。より一般的には、有限生成プロ有限群がコンパクトなp進リー群であるのは、その開部分群が一様に強力なプロp群である場合のみであることが示された。

コクラス定理は、1994年にA. ShalevとCR Leedham-Greenによって独立に証明されました。定理Dはこれらの定理の1つであり、任意の素数pと任意の正の整数rに対して、コクラスrのプロp群は有限個しか存在しないことを主張しています。この有限性の結果は、有向コクラスグラフによる有限p群の分類にとって基本となります。

• 典型的な例はp進整数である。

${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\displaystyle \varprojlim \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$

• グループ${\displaystyle \ GL_{n}(\mathbb {Z} _{p})}$可逆なn × n行列の${\displaystyle \ \mathbb {Z} _{p}}$は、単位行列を法とするすべての行列からなる開部分群Uを持つ。${\displaystyle \ p\mathbb {Z} _{p}}$このUはプロp群です。実際、上述のp進解析群はすべて、 の閉部分群として見つけることができます。${\displaystyle \ GL_{n}(\mathbb {Z} _{p})}$ある整数nに対して。
• 任意の有限p群は、（定数逆系に関して）プロp群でもある。
• 事実：プロp群の有限準同型像はp群である。（JP Serreによる）

• 残余性質（数学）
• 有限群 （性質または事実5を参照）

• Dixon, JD; du Sautoy, MPF ; Mann, A.; Segal, D. (1991), Analytic pro-p-groups , Cambridge University Press , ISBN 0-521-39580-1MR 1152800​ 
• デュ・ソートイ、M.シーガル、D. Shalev, A. (2000)、Pro-p Groups の新しい地平線、Birkhäuser、ISBN 0-8176-4171-8