複素リー代数

数学において、複素リー代数は複素数上のリー代数です。

複素リー代数 が与えられたとき、その共役は、同じ実ベクトル空間を持ちながら、代わりにとして作用する複素リー代数である。 ^[1]実リー代数として、複素リー代数はその共役に自明に同型である。複素リー代数がその共役に同型であるためには、それが実数形式を許容する必要がある（そして実数上で定義されていると言われる） 場合に限られる。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$${\displaystyle -i}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

複素リー代数 が与えられたとき、複素化が に同型である場合、実リー代数はの実形式であるといわれます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

実形式がアーベル（それぞれ冪零、可解、半単純）であるためには、がアーベル（それぞれ冪零、可解、半単純）である場合に限ります。^[2]一方、実形式が単純であるためには、が単純であるか、が形式である場合に限ります。ここでは単純であり、 は互いの共役です。^[2]${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {s}}\times {\overline {\mathfrak {s}}}}$${\displaystyle {\mathfrak {s}},{\overline {\mathfrak {s}}}}$

複素リー代数における実数形式の存在は、その共役に同型であることを意味する。 ^[1]実際、 ならば、 は複素共役によって誘導される -線型同型を表し、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} ={\mathfrak {g}}_{0}\oplus i{\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle \tau :{\mathfrak {g}}\to {\overline {\mathfrak {g}}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \tau (i(x+iy))=\tau (ix-y)=-ix-y=-i\tau (x+iy)}$、

つまり、これは実際には-線型同型です。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

逆に、^{[説明が必要]} -線型同型があるとします。一般性を失うことなく、これが基になる実ベクトル空間上の恒等関数であると仮定できます。次に を定義します。これは明らかに実リー代数です。の各要素はと一意に表すことができます。ここで、および は同様にを固定します。したがって 、つまり は実形式です。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \tau :{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}{\overline {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}=\{z\in {\mathfrak {g}}|\tau (z)=z\}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle z=2^{-1}(z+\tau (z))+i2^{-1}(i\tau (z)-iz)}$${\displaystyle \tau (i\tau (z)-iz)=-iz+i\tau (z)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle z+\tau (z)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus i{\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$

を半単純複素リー代数とし、これは複素リー群のリー代数です。を のカルタン部分代数とし、に対応するリー部分群とします。 の共役はカルタン部分群と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle H}$

正の根の選択によって分解が与えられると仮定する。指数写像はから への同型閉部分群を定義する。^[3]ボレル部分代数に対応するリー部分群は閉じており、との半直積である。^[4]の共役はボレル部分群と呼ばれる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {n}}^{-}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}^{+}}$${\displaystyle U\subset G}$${\displaystyle B\subset G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle U}$${\displaystyle B}$

• フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー(1991)。表現論。最初のコース。数学の大学院テキスト、数学の読書。第 129 巻。ニューヨーク: Springer-Verlag。doi : 10.1007 /978-1-4612-0979-9。ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• Knapp, AW (2002)。リー群の入門編。Progress in Mathematics。第 120 巻 (第 2 版)。ボストン、バーゼル、ベルリン: Birkhäuser。ISBN 0-8176-4259-5。。
• ジャン・ピエール・セール (2001)。複素半単純リー代数。ベルリン：シュプリンガー。ISBN 3-5406-7827-1。