微小変換

数学において、無限小変換は小さな変換の極限形です。例えば、3次元空間における剛体の無限小回転について考えてみましょう。これは慣習的に3×3の歪対称行列Aで表されます。これは空間における実際の回転の行列ではありませんが、パラメータεの小さな実数値に対して変換が成り立ちます。

${\displaystyle T=I+\varepsilon A}$

^{ε 2}程度の量までの小さな回転です。

微小変換の包括的な理論は、最初にソフス・リーによって提示されました。これは、現在リー群とその付随するリー代数と呼ばれるものに関する彼の研究の中核であり、幾何学、特に微分方程式論におけるそれらの役割の解明でした。抽象リー代数の性質は、群論の公理が対称性を体現しているのと同様に、微小変換を定義づける性質と全く同じです。「リー代数」という用語は、それまでリー群の微小変換の代数として知られていたものに対して、1934年にヘルマン・ワイルによって導入されました。

例えば、微小回転の場合、歪対称行列を3次元ベクトルと同一視すると、リー代数構造は外積によって与えられます。これは回転の軸ベクトルを選択することに相当し、定義となるヤコビ恒等式は外積のよく知られた性質です。

無限小変換として認識された最も初期の例は、オイラーの同次関数に関する定理にある。ここでは、 n個の変数x ₁ , ..., x _nを持つ次数rの同次関数F は、次の式を満たすと述べられている。

${\displaystyle \Theta F=rF\,}$

と

${\displaystyle \Theta =\sum _{i}x_{i}{\partial \over \partial x_{i}},}$

シータ演算子。つまり、その性質から

${\displaystyle F(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{r}F(x_{1},\dots ,x_{n})\,}$

λに関して微分し、λを1に設定することが可能です。これは、滑らかな関数Fが同次性を持つための必要条件となります。また、十分条件でもあります（シュワルツ分布を用いることで、ここでの数学的解析の検討を減らすことができます）。この設定は、 1パラメータのスケーリング群が作用し、情報が1階微分演算子である無限小変換に符号化されているという点で典型的です。

演算子方程式

${\displaystyle e^{tD}f(x)=f(x+t)\,}$

どこ

${\displaystyle D={d \over dx}}$

これはテイラーの定理の演算子版であり、f が解析関数であるという条件の下でのみ有効です。演算子の部分に注目すると、 D は無限小変換であり、指数関数を介して実数直線の平行移動を生成することがわかります。リーの理論では、これはかなり一般化されています。任意の連結リー群は、その無限小生成子(群のリー代数の基底)によって構築できます。明示的だが必ずしも有用ではない情報は、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式で与えられます。

• 「リー代数」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• Sophus Lie (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen、DH Delphenich による英語翻訳、§8、新古典物理学からのリンク。