リー代数の自己同型性

抽象代数学において、リー代数の自己同型とは${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は同型写像である${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$自身への写像、すなわち、リー括弧を保存する全単射線形写像。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$グループを形成する${\displaystyle \operatorname {Aut} {\mathfrak {g}}}$の自己同型群${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$。

サブグループの${\displaystyle \operatorname {Aut} {\mathfrak {g}}}$随伴作用を用いて生成された${\displaystyle e^{\operatorname {ad} (x)},x\in {\mathfrak {g}}}$は、内部自己同型群と呼ばれます。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$グループは次のように表記されます。${\displaystyle \operatorname {Aut} ^{0}({\mathfrak {g}})}$これらは自己同型群の正規部分群を形成し、商群は${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})/\operatorname {Aut} ^{0}({\mathfrak {g}})}$は外部自己同型群として知られています。^{[ 1 ]}

リー代数上の 導関数は線形写像である$${\displaystyle \delta$$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}} は ライプニッツの法則 を満たす$${\displaystyle \delta [X,Y]=[\delta X,Y]+[X,\delta Y]。}$$ リー代数上の導関数の集合${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$と表記される${\displaystyle \operatorname {Der} {\mathfrak {g}}}$は、上の自己準同型の部分代数である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$つまり${\displaystyle \operatorname {Der} {\mathfrak {g}}<\operatorname {End} {\mathfrak {g}}}$それらは自己準同型代数上のリー代数構造からリー代数構造を受け継ぎ、括弧の閉包はライプニッツの規則から導かれる。

ヤコビ恒等式により、随伴表現の像は${\displaystyle \operatorname {ad}$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow \operatorname {End} {\mathfrak {g}}} は${\displaystyle \operatorname {Der} {\mathfrak {g}}}$。

リー群とリー代数の対応関係を通して、自己同型群のリー群は${\displaystyle \operatorname {Aut} {\mathfrak {g}}}$導関数のリー代数に対応する${\displaystyle \operatorname {Der} {\mathfrak {g}}}$。

のために${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$有限であり、すべての導関数は内部導関数である。

• 各${\displaystyle g}$嘘のグループで${\displaystyle G}$、 させて${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}$共役の恒等式における微分をで表す${\displaystyle g}$。 それから${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}$は自己同型である${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$、による随伴作用${\displaystyle g}$。

ボレル・モロゾフの定理は、複素半単純リー代数のすべての可解部分代数が${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$カルタン部分代数の部分代数にマッピングできる${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$内部自己同型によって${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$特に、次のように述べられています。${\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\alpha }=:{\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}^{+}}$、 どこ$\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$はルート空間であり、は最大可解部分代数（つまり、ボレル部分代数）である。^{[ 3 ]}

• E. カルタン、「二重性の原理と単純性と半単純性のグループの理論」​​。ブル。 Sc.数学。 49、1925、361–374ページ 。
• ハンフリーズ、ジェームズ（1972）。リー代数と表現論入門。シュプリンガー。ISBN 0387900535。
• Serre, Jean-Pierre (2000)、Algèbres de Lie semi-simples complexes [ Complex Semisimple Lie Algebras ]、Jones, GA、Springer 訳、ISBN 978-3-540-67827-4。