リー代数の指数

代数学では、g を体K上のリー代数とする。さらに をg上の1 形式とする。 ξの安定化因子g _ξは、余接表現でξ を消滅させるgの元のリー部分代数である。リー代数の指数は ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle \operatorname {ind} {\mathfrak {g}}:=\min \limits _{\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}\dim {\mathfrak {g}}_{\xi }.}$

gが簡約的である場合、随伴表現と余随伴表現は同型であり、 rk g はg内の元の安定化元の最小次元であるため、 gのインデックスはgのランクでもあります。これは、実際にはg内の任意の正則元の安定化元の次元です。

ind g = 0 の場合、gはフロベニウス・リー代数と呼ばれます。これは、キリロフ形式がg ^*内の何らかのξに対して非特異であるという事実と同等です。g が代数群Gのリー代数であるときの別の同等の条件は、 G が余接表現の下で g ^*内に開軌道を持つ場合のみ、gがフロベニウスであるということです。${\displaystyle K_{\xi }\colon {\mathfrak {g\otimes g}}\to \mathbb {K} :(X,Y)\mapsto \xi ([X,Y])}$

g が代数群 Gのリー代数である場合、 gの指数はGの (共)随伴作用に対して不変であるg ^*上の有理関数体の超越次数である。^[1]

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