有理ホモトピー理論

数学、特に位相幾何学において、有理ホモトピー理論は位相空間に対するホモトピー理論の簡略版であり、ホモトピー群のすべてのねじれは無視されます。^{[1]これは、}デニス・サリバン (1977) とダニエル・キレン (1969)によって創始されました。 ^[1]ホモトピー理論のこの簡略化により、特定の計算がはるかに簡単になります。

単連結空間の有理ホモトピー型は、サリバン極小モデルと呼ばれる特定の代数的対象（の同型類）と同一視することができ、サリバン極小モデルは、特定の条件を満たす有理数上の可換微分次数代数である。

幾何学的な応用としては、サリバンとミシュリーヌ・ヴィゲ＝ポワリエの定理（1976年）がある。有理コホモロジー環が1つの要素によって生成されない単連結な閉 リーマン多様体 Xには、幾何学的に異なる閉測地線が無限個存在する。^{[2]この証明では、有理ホモトピー理論を用いて、} Xの自由ループ空間のベッティ数が無限であることを示した。この定理は、1969年のデトレフ・グロモルとヴォルフガング・マイヤー の結果から導かれる。

単連結位相空間の連続写像は、 有理数でテンソル化されたホモトピー群に同型写像を誘導する場合、有理ホモトピー同値と呼ばれます。^[1]同様に、f は、有理係数を持つ特異ホモロジー群に同型写像を誘導する場合に限り、有理ホモトピー同値です。^[3]有理ホモトピー圏(単連結空間) は、有理ホモトピー同値に関する単連結空間の圏の局所化として定義されます。有理ホモトピー理論の目標は、この圏を理解すること (つまり、有理ホモトピー同値から回復できる情報を決定すること) です。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

基本的な結果の 1 つは、有理ホモトピー圏が、位相空間のホモトピー圏の完全なサブカテゴリ、つまり有理空間のサブカテゴリと同値であるということです。定義により、有理空間は、そのホモトピー群がすべて有理数上のベクトル空間である単連結CW 複体です。任意の単連結 CW 複体に対して、ホモトピー同値を除いて一意で、有理数でテンソル化されたホモトピー群に同型を誘導するマップを持つ有理空間 が存在します。 ^[4]この空間はの有理化と呼ばれます。これは、与えられた素数集合 における空間の局所化のサリバンの構成の特別な場合です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\mathbb {Q}}}$${\displaystyle X\to X_{\mathbb {Q}}}$${\displaystyle X_{\mathbb {Q}}}$${\displaystyle X}$

ホモトピー群ではなくホモロジー群を使って同等の定義が得られる。つまり、単連結CW複体が有理空間であるための必要十分条件は、そのホモロジー群がすべての に対して有理ベクトル空間であるときである。^[5]単連結CW複体の有理化は、有理ホモロジー上に同型写像を誘導する唯一の有理空間（ホモトピー同値を除く）である。したがって、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle i>0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\to X_{\mathbb {Q}}}$${\displaystyle X\to X_{\mathbb {Q}}}$

${\displaystyle \pi _{i}(X_{\mathbb {Q} })\cong \pi _{i}(X)\otimes {\mathbb {Q} }}$

そして

${\displaystyle H_{i}(X_{\mathbb {Q} },{\mathbb {Z} })\cong H_{i}(X,{\mathbb {Z} })\otimes {\mathbb {Q} }\cong H_{i}(X,{\mathbb {Q} })}$

すべてに対して。 ${\displaystyle i>0}$

単連結空間に対するこれらの結果は、ほとんど変更なく冪零空間（基本群が冪零であり、高次のホモトピー群に冪零に作用する空間）に拡張される。また、有理空間と合理化関手の概念をすべての空間に拡張する非同値な拡張もいくつかある（Bousfield-Kanの-補完、Sullivanの合理化、Bousfieldのホモロジー合理化、Casacuberta-Peschkeの-合理化、Gómez-Tato-Halperin-Tanréの-ファイバーごとの合理化）。^[6]${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \pi_{1}}$

球面のホモトピー群を計算することはホモトピー理論における中心的な未解決問題である。しかし、球面の有理ホモトピー群は1951 年に Jean-Pierre Serreによって計算された。

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2a-1})\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &{\text{if }}i=2a-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

そして

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2a})\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &{\text{if }}i=2a{\text{ or }}i=4a-1\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

これは、有理ホモトピー カテゴリ全体を実際に計算可能な方法で記述できる可能性を示唆しています。有理ホモトピー理論は、その目標の多くを実現しました。

ホモトピー理論では、球面とアイレンバーグ・マクレーン空間は、あらゆる空間を構築できる 2 つの非常に異なる種類の基本空間です。有理ホモトピー理論では、これら 2 種類の空間ははるかに近くなります。特に、セールの計算は、がアイレンバーグ・マクレーン空間であることを示しています。より一般的には、X を、有理コホモロジー環が自由次数可換代数 (偶数次生成子上の多項式環と奇数次生成子上の外積代数のテンソル積) である任意の空間とします。すると、合理化はアイレンバーグ・マクレーン空間の積になります。コホモロジー環に関する仮説は、任意のコンパクト リー群(またはより一般的には任意のループ空間) に適用されます。^[7]たとえば、ユニタリ グループSU( n )の場合、 ${\displaystyle S_{\mathbb {Q} }^{2a-1}}$${\displaystyle K(\mathbb {Q},2a-1)}$${\displaystyle X_{\mathbb {Q}}}$

${\displaystyle \operatorname {SU} (n)_{\mathbb {Q} }\simeq S_{\mathbb {Q} }^{3}\times S_{\mathbb {Q} }^{5}\times \cdots \times S_{\mathbb {Q} }^{2n-1}.}$

有理ホモトピー圏における空間Xの基本的な不変量は 2 つあります。有理コホモロジー環とホモトピー・リー代数です。有理コホモロジーは 上の次数付き可換代数であり、ホモトピー群はホワイトヘッド積を介して次数付きリー代数を形成します。(より正確には、Xのループ空間について と書くと、 は上の次数付きリー代数です。同型 を考慮すると、これは単に次数が 1 だけシフトすることになります。) たとえば、上記のセールの定理によれば、 は次数 の 1 つの生成元上の自由次数付きリー代数です。 ${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \オメガX}$${\displaystyle \pi _{*}(\Omega X)\otimes \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \pi _{i}(X)\cong \pi _{i-1}(\Omega X)}$${\displaystyle \pi _{*}(\Omega S^{n})\otimes \mathbb {Q} }$${\displaystyle n-1}$

ホモトピーリー代数を考える別の方法は、Xのループ空間のホモロジーがホモトピーリー代数の普遍包絡代数であると考えることである: ^[8]

${\displaystyle H_{*}(\Omega X,{\mathbb {Q} })\cong U(\pi _{*}(\Omega X)\otimes \mathbb {Q} ).}$

逆に、ループ空間のホモロジーからホップ代数の原始元の部分空間として有理ホモトピーリー代数を再構築することができる。^[9] ${\displaystyle H_{*}(\Omega S^{n})\otimes \mathbb {Q} }$

理論の中心的な結果は、有理ホモトピー圏が純粋に代数的な方法で記述できることである。実際には、2つの異なる代数的な方法で記述できる。まず、Quillen は、有理ホモトピー圏が連結した微分次数付きリー代数のホモトピー圏と同値であることを示した。(付随する次数付きリー代数はホモトピーリー代数である。) 次に、Quillen は、有理ホモトピー圏が 1 連結な微分次数付き余可換余代数のホモトピー圏と同値であることを示した。 [ ^10] (付随する余代数は、余代数としてのXの有理ホモロジーであり、双対ベクトル空間は有理コホモロジー環である。) これらの同値性は、Quillen のモデル圏の理論の最初の応用の 1 つであった。 ${\displaystyle \ker(d)/\operatorname {im} (d)}$

特に、2番目の記述は、次の形式の 任意の次数可換代数Aに対して、${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle A=\mathbb {Q} \oplus A^{2}\oplus A^{3}\oplus \cdots ,}$

有限次元の各ベクトル空間に対して、有理コホモロジー環がAと同型である単連結空間Xが存在する。（対照的に、素数pに対する位相空間の積分コホモロジー環または mod pコホモロジー環には、完全には理解されていない多くの制限がある。）同じ考え方で、サリバンは、ポアンカレ双対性を満たす任意の次数可換-代数は、次元 4 aを除いて、単連結な滑らかな閉多様体のコホモロジー環であることを示した。その場合、 上の交差ペアリングが上の形式であると仮定する必要もある。^[11]${\displaystyle A^{i}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle A^{1}=0}$${\displaystyle A^{2a}}$${\displaystyle \sum \pm x_{i}^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

有理ホモトピー圏の 2 つの代数的記述の間をどのように行き来するかを尋ねる人がいるかもしれません。簡単に言うと、リー代数はリー代数コホモロジーによって次数可換代数を決定し、拡大可換代数は縮小アンドレ-キランコホモロジーによって次数リー代数を決定します。より一般的には、微分次数代数に対するこれらの構成のバージョンが存在します。可換代数とリー代数間のこの双対性は、 Koszul 双対性のバージョンです。

各次数の有理数ホモロジーが有限次元である空間について、サリバンはすべての有理数ホモトピー型をより単純な代数的対象であるサリバン代数で分類した。定義により、サリバン代数は有理数上の可換微分次数代数であり、その基礎となる代数は次数付きベクトル空間上の 自由可換次数代数である。${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \bigwedge (V)}$

${\displaystyle V=\bigoplus _{n>0}V^{n},}$

は、その微分d上で次の「冪零条件」を満たす。空間V は、 およびがに含まれる、増加する次数付き部分空間 の和集合である。微分次数付き代数Aの文脈では、「可換」は次数付き可換を意味するために使用される。つまり、 ${\displaystyle V(0)\subseteq V(1)\subseteq \cdots }$${\displaystyle d=0}$${\displaystyle V(0)}$${\displaystyle d(V(k))}$${\displaystyle \bigwedge (V(k-1))}$

${\displaystyle ab=(-1)^{ij}ba}$

aが で、b がの 場合。 ${\displaystyle A^{i}}$${\displaystyle A^{j}}$

サリバン代数は、dの像が（ はの正の次数の部分空間の直和）に含まれる場合、極小と呼ばれます。 ${\displaystyle \bigwedge ^{+}(V)^{2}}$${\displaystyle \bigwedge ^{+}(V)}$${\displaystyle \bigwedge (V)}$

可換微分次数代数Aのサリバンモデルは、コホモロジー上の同型性を誘導する準同型性を持つサリバン代数です。 の場合、A は同型性を除いて一意である極小サリバンモデルを持ちます。 (警告: Aと同じコホモロジー代数を持つ極小サリバン代数は、 Aの極小サリバンモデルである必要はありません。コホモロジーの同型性が微分次数代数の準同型性によって誘導されることも必要です。同型コホモロジー代数を持つ非同型極小サリバンモデルの例があります。) ${\displaystyle \bigwedge (V)}$${\displaystyle \bigwedge (V)\to A}$${\displaystyle A^{0}=\mathbb {Q} }$

任意の位相空間Xに対して、サリバンは可換微分次数代数を定義しました。これは、有理係数を持つX上の多項式微分形式の代数と呼ばれます。この代数の要素は、（おおよそ） Xの各特異単体上の多項式形式で構成され、面写像と退化写像と互換性があります。この代数は通常非常に大きい（非可算次元）ですが、はるかに小さな代数で置き換えることができます。より正確には、 と同じサリバン極小モデルを持つ任意の微分次数代数は、空間Xのモデルと呼ばれます。 Xが単連結である場合、このようなモデルは、 Xの有理ホモトピー型を決定します。 ${\displaystyle A_{PL}(X)}$${\displaystyle A_{PL}(X)}$

有限次元のすべての有理ホモロジー群を持つ任意の単連結 CW 複体Xに対して、の極小サリバンモデルが存在し、これは、およびすべての が有限次元を持つという性質を持つ。これはXのサリバン極小モデルと呼ばれ、同型を除いて一意である。^[12]これにより、そのような空間とそのような代数の有理ホモトピー型の間に同値性が与えられ、次の性質を持つ: ${\displaystyle \bigwedge V}$${\displaystyle A_{PL}(X)}$${\displaystyle V^{1}=0}$${\displaystyle V^{k}}$

• 空間の有理コホモロジーはそのサリバン極小モデルのコホモロジーである。
• V内の不可分空間は、空間Xの有理ホモトピー群の双対である。
• 有理ホモトピー上のホワイトヘッド積は、微分dの「二次部分」の双対です。
• 2 つの空間が同じ有理ホモトピー型を持つのは、それらの最小サリバン代数が同型である場合のみです。
• および有限次元のすべての可能なサリバン代数に対応する単連結空間Xが存在します。${\displaystyle V^{1}=0}$${\displaystyle V^{k}}$

X が滑らかな多様体である場合、 X上の滑らかな微分形式の微分代数( de Rham 複体) は、ほぼXのモデルです。より正確には、 Xのモデルと実数のテンソル積であり、したがって実ホモトピー型を決定します。さらに進んで、素数pに対するXのp完全ホモトピー型を定義することもできます。サリバンの「算術平方」は、ホモトピー理論の多くの問題を、すべての素数pに対する有理数ホモトピー理論とp完全ホモトピー理論の組み合わせに還元します。^[13]

単連結空間のサリバン極小モデルの構成は、冪零空間にまで拡張されます。より一般的な基本群の場合、状況はより複雑になります。たとえば、有限 CW 複体の有理ホモトピー群 (くさびなど) は、無限次元ベクトル空間になることがあります。 ${\displaystyle S^{1}\vee S^{2}}$

可換微分次数代数Aは、やはり であり、 A が微分が消えるモデルを持つ場合、形式的と呼ばれます。これは、 Aのコホモロジー代数(自明な微分を持つ微分代数として見た場合) がAのモデルである (ただし、最小モデルである必要はありません) ことを要求するのと同じです。したがって、形式空間の有理ホモトピー型は、そのコホモロジー環によって完全に決定されます。 ${\displaystyle A^{0}=\mathbb {Q} }$

形式空間の例には、球面、H空間、対称空間、コンパクトなケーラー多様体などがある。^[14]積とウェッジ和によって形式性が保たれる。多様体の場合、連結和によって形式性が保たれる。

一方、閉じたニル多様体は形式的であることはほとんどありません。M が形式的なニル多様体である場合、 Mはある次元のトーラスでなければなりません。^[15]非形式的なニル多様体の最も単純な例は ハイゼンベルク多様体であり、これは対角線上に 1 がある実 3×3 上三角行列のハイゼンベルク群を整数係数を持つ行列の部分群で割ったものです。閉じたシンプレクティック多様体は形式的である必要はありません。最も単純な例は小平–サーストン多様体 (ハイゼンベルク多様体と円の積) です。非形式的で単連結なシンプレクティック閉多様体の例もあります。^[16]

非形式性は、多くの場合、マッシー積によって検出できます。実際、微分次数代数A が形式的である場合、すべての (高次の) マッシー積は消えなければなりません。逆は真ではありません。形式性とは、大まかに言えば、すべてのマッシー積が「均一に」消えることを意味します。ボロミアン環の補空間は非形式空間です。つまり、非自明な 3 重マッシー積をサポートします。

• X が奇数次元の球面である場合、その最小のサリバンモデルには、次数の 1 つの生成元aと、要素 1、 aの基底があります。${\displaystyle 2n+1>1}$${\displaystyle 2n+1}$${\displaystyle da=0}$
• X が偶数次元の球面である場合、その最小のサリバンモデルには、、、および要素、、の基底を持つ、次数およびの 2 つの生成元 a と b があります。ここで、矢印はdの作用を示します。${\displaystyle 2n>0}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle 4n+1}$${\displaystyle db=a^{2}}$${\displaystyle da=0}$${\displaystyle 1,a,b\to a^{2}}$${\displaystyle ab\to a^{3}}$${\displaystyle a^{2}b\to a^{4},\ldots }$
• X がを満たす複素射影空間 である場合、その極小サリバンモデルには、および を満たす、次数 2 および の2 つの生成元uおよびxがあります。これは、要素、 、の基底を持ちます。${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle 2n+1}$${\displaystyle du=0}$${\displaystyle dx=u^{n+1}}$${\displaystyle 1,u,u^{2},\ldots ,u^{n}}$${\displaystyle x\to u^{n+1}}$${\displaystyle xu\to u^{n+2},\ldots }$
• V に、次数が 2、3、3、4 で、微分が 、 、 、 である4つの元a 、 b 、 x 、 y があるとします。この代数は形式的ではない極小サリバン代数です。コホモロジー代数は、次元 2、3、6 にのみ、それぞれa、b、によって生成される非自明な成分を持ちます。V からそのコホモロジー代数への任意の準同型写像は、 yを 0 に、x をbの倍数にマッピングするため、 0 にマッピングされます。したがって、 V はコホモロジー代数のモデルにはなり得ません。対応する位相空間は、同型有理コホモロジー環を持ちながら有理ホモトピーの種類が異なる 2 つの空間です。 がマッセイ積 に含まれていることに注意してください。${\displaystyle da=0}$${\displaystyle db=0}$${\displaystyle dx=a^{2}}$${\displaystyle dy=ab}$${\displaystyle xb-ay}$${\displaystyle xb-ay}$${\displaystyle xb-ay}$${\displaystyle \langle [a],[a],[b]\rangle }$

有理ホモトピー理論は有限 CW 複体の間に予期せぬ二分法があることを明らかにした。つまり、有理ホモトピー群が十分に高い次数でゼロになるか、指数関数的に増加するかのどちらかである。つまり、X を単連結空間とし、 が有限次元 -ベクトル空間であるとする (たとえば、有限 CW 複体はこの特性を持つ)。 が有限次元 -ベクトル空間でもある場合、 X を有理楕円型と定義し、そうでない場合は有理双曲型と定義する。次に、Félix と Halperin は次を示した。X が有理双曲型である場合、実数と整数Nが存在し、 ${\displaystyle H_{*}(X,\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle C>1}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\dim _{\mathbb {Q} }\pi _{i}(X)\otimes {\mathbb {Q} }\geq C^{n}}$

全てのために。^[17]${\displaystyle n\geq N}$

たとえば、球面、複素射影空間、コンパクトリー群の同次空間は楕円型です。一方、「ほとんどの」有限複体は双曲型です。たとえば、

• 楕円空間の有理コホモロジー環はポアンカレ双対性を満たす。^[18]
• Xが楕円空間であり、そのトップの非零有理コホモロジー群がn次である場合、各ベッティ数は最大でも二項係数である（ n次元トーラスの場合は等式）。^[19]${\displaystyle b_{i}(X)}$ ${\displaystyle {\binom {n}{i}}}$
• 楕円空間Xのオイラー特性は非負である。オイラー特性が正であれば、すべての奇ベッティ数はゼロであり、Xの有理コホモロジー環は完全な交差環である。^[20]${\displaystyle b_{2i+1}(X)}$

楕円空間の有理コホモロジー環には他にも多くの制限がある。^[21]

ボットの予想は、非負の断面曲率を持つ単連結な閉リーマン多様体はすべて有理楕円型であるはずだと予測する。この予想についてはほとんど知られていないが、そのような多様体の既知の例すべてに当てはまる。 ^[22]

ハルペリン予想は、非ゼロのオイラー特性を持つ有理楕円ファイバーを持つ単連結空間のファイバー列の 有理セールスペクトル列が2 ページ目で消えることを主張します。

単連結有限複体Xが有理楕円体であるための必要十分条件は、ループ空間の有理ホモロジーがせいぜい多項式的に増大することである。より一般的には、任意の素数pに対して、 X のmod pホモロジーがせいぜい多項式的に増大する場合、 X は整楕円体と呼ばれる。非負の断面曲率を持つ既知のリーマン多様体はすべて、実は整楕円体である。^[23]${\displaystyle \Omega X}$${\displaystyle \Omega X}$

• マンデルの定理 – p進設定における有理ホモトピー理論の類似物
• 色彩ホモトピー理論

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