商が可換となる最小の正規部分群
数学 、より具体的には 抽象代数学 において 、 群 の 交換子部分群 または 導来部分群は 、群のすべての 交換子 によって 生成される 部分群 である。 [1] [2]
交換子部分群は、元の群 をこの部分群で割った商 群が アーベル となる 最小の 正規部分群 であるため重要です。言い換えると、 が アーベルである ため には、 の交換子部分群が含まれる必要があります。したがって、ある意味では、交換子部分群 は、群がアーベルからどれだけ離れているかを示す尺度となります。つまり、交換子部分群が大きいほど、群は「アーベル性が低く」なります。
グ
/
いいえ
{\displaystyle G/N}
いいえ
{\displaystyle N}
グ
{\displaystyle G}
整流子 群 G の元 とに対して 、 と の 交換子 はです 。 交換子が 単位元 e と等しいのは の場合のみ 、つまり と が可換である場合 に限ります 。一般に です 。
グ
{\displaystyle g}
h
{\displaystyle h}
g
{\displaystyle g}
h
{\displaystyle h}
[
g
,
h
]
=
g
−
1
h
−
1
g
h
{\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}
[
g
,
h
]
{\displaystyle [g,h]}
g
h
=
h
g
{\displaystyle gh=hg}
g
{\displaystyle g}
h
{\displaystyle h}
g
h
=
h
g
[
g
,
h
]
{\displaystyle gh=hg[g,h]}
しかし、表記法は多少恣意的であり、等式の右側に逆数を持つ交換子の非等価な異形定義があります。 その場合、 代わりに になります 。
[
g
,
h
]
=
g
h
g
−
1
h
−
1
{\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}}
g
h
≠
h
g
[
g
,
h
]
{\displaystyle gh\neq hg[g,h]}
g
h
=
[
g
,
h
]
h
g
{\displaystyle gh=[g,h]hg}
ある g と h に対する形式の G の元は 交換子と呼ばれます。単位元 e = [ e , e ] は常に交換子であり、 G がアーベルである場合に限り、唯一の交換子です 。
[
g
,
h
]
{\displaystyle [g,h]}
以下は、グループ Gの任意の元 s 、 g 、 h に当てはまる、単純だが便利な交換子恒等式です 。
[
g
,
h
]
−
1
=
[
h
,
g
]
,
{\displaystyle [g,h]^{-1}=[h,g],}
[
g
,
h
]
s
=
[
g
s
,
h
s
]
,
{\displaystyle [g,h]^{s}=[g^{s},h^{s}],}
ここで、 （または、それぞれ ）は 、 の 共役である。
g
s
=
s
−
1
g
s
{\displaystyle g^{s}=s^{-1}gs}
g
s
=
s
g
s
−
1
{\displaystyle g^{s}=sgs^{-1}}
g
{\displaystyle g}
s
,
{\displaystyle s,}
任意の準同型 に対して 、
f
:
G
→
H
{\displaystyle f:G\to H}
f
(
[
g
,
h
]
)
=
[
f
(
g
)
,
f
(
h
)
]
.
{\displaystyle f([g,h])=[f(g),f(h)].}
1 番目と 2 番目の恒等式は、 G の交換子の 集合が 反転と共役の下で閉じていることを意味します。3 番目の恒等式で H = G とすると、交換子の集合は G の 任意の自己準同型 の下で安定であることがわかります。これは実際には 2 番目の恒等式の一般化であり、 f を G 上の 共役 自己同型 、とする と 2 番目の恒等式が得られます。
x
↦
x
s
{\displaystyle x\mapsto x^{s}}
しかし、2つ以上の交換子の積は交換子である必要はありません。一般的な例としては、 a 、 b 、 c 、 d 上の 自由群における [ a 、 b ][ c 、 d ] が あります。積が交換子ではない2つの交換子が存在する有限群の最小位数は96であることが知られています。実際、この性質を持つ位数96の非同型群が2つあります。 [3]
意味 これにより、 Gの 交換子部分群 ( 導来部分群 とも呼ばれ、または と表記される ) が定義されます。これは、 すべての交換子によって
生成される 部分群です。
[
G
,
G
]
{\displaystyle [G,G]}
G
′
{\displaystyle G'}
G
(
1
)
{\displaystyle G^{(1)}}
この定義から、の任意の要素は次の形式であること
が分かる。
[
G
,
G
]
{\displaystyle [G,G]}
[
g
1
,
h
1
]
⋯
[
g
n
,
h
n
]
{\displaystyle [g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]}
ある 自然数 に対して、 g i と h i はG の元である 。さらに なので 、交換子部分群は G において正規である。任意の準同型写像 f : G → H に対して、
n
{\displaystyle n}
(
[
g
1
,
h
1
]
⋯
[
g
n
,
h
n
]
)
s
=
[
g
1
s
,
h
1
s
]
⋯
[
g
n
s
,
h
n
s
]
{\displaystyle ([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]}
f
(
[
g
1
,
h
1
]
⋯
[
g
n
,
h
n
]
)
=
[
f
(
g
1
)
,
f
(
h
1
)
]
⋯
[
f
(
g
n
)
,
f
(
h
n
)
]
{\displaystyle f([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])=[f(g_{1}),f(h_{1})]\cdots [f(g_{n}),f(h_{n})]}
、 となることによって 。
f
(
[
G
,
G
]
)
⊆
[
H
,
H
]
{\displaystyle f([G,G])\subseteq [H,H]}
これは、交換子部分群が 群のカテゴリ 上の 関数 として見ることができることを示し、その意味のいくつかは以下で検討されます。さらに、 G = Hをとると、交換子部分群は G のすべての自己準同型の下で安定であることがわかります 。つまり、[ G , G ] は G の 完全な特性部分群 であり、正規性よりもかなり強い特性です。
交換子部分群は、積g = g 1 g 2 ... g k として表現され、 並べ替えると恒等式を与えることができる
群の元 g の集合として定義することもできます。
派生シリーズ この構造は反復可能です:
G
(
0
)
:=
G
{\displaystyle G^{(0)}:=G}
G
(
n
)
:=
[
G
(
n
−
1
)
,
G
(
n
−
1
)
]
n
∈
N
{\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N} }
これらの群は、 第2導来サブグループ 、 第3導来サブグループ など と呼ばれ、降順 正規系列
G
(
2
)
,
G
(
3
)
,
…
{\displaystyle G^{(2)},G^{(3)},\ldots }
⋯
◃
G
(
2
)
◃
G
(
1
)
◃
G
(
0
)
=
G
{\displaystyle \cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G}
は導来級数 と呼ばれます。これを、 項が である 下中心級数 と混同しないでください 。
G
n
:=
[
G
n
−
1
,
G
]
{\displaystyle G_{n}:=[G_{n-1},G]}
有限群の場合、導来級数は 完全群 で終了するが、これは自明な場合もそうでない場合もある。無限群の場合、導来級数は有限段階で終了する必要はなく、 超限再帰を介し て無限 順序数 まで継続することができ、その結果、最終的に群の 完全コア で終了する 超限導来級数 が得られる。
アーベル化 群 が与えられたとき 、 のときのみ 商群 は アーベル群となる。
G
{\displaystyle G}
G
/
N
{\displaystyle G/N}
[
G
,
G
]
⊆
N
{\displaystyle [G,G]\subseteq N}
商は アーベル群であり、 アーベル化 または アーベル化された と呼ばれます。 [4] 通常はまたは と 表記されます 。
G
/
[
G
,
G
]
{\displaystyle G/[G,G]}
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
G
ab
{\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}
G
ab
{\displaystyle G_{\operatorname {ab} }}
写像 には便利なカテゴリカルな解釈があります 。つまり、から アーベル群 への準 同型写像に対して は普遍的です。つまり、任意の アーベル群 と群の準同型写像に対して、 と なる唯一の準同型写像が存在します。 普遍写像特性によって定義されるオブジェクトの場合と同様に、これは標準同型写像までのアーベル化の一意性を示し 、明示的な構成は 存在を示します。
φ
:
G
→
G
ab
{\displaystyle \varphi :G\rightarrow G^{\operatorname {ab} }}
φ
{\displaystyle \varphi }
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
H
{\displaystyle H}
f
:
G
→
H
{\displaystyle f:G\to H}
F
:
G
ab
→
H
{\displaystyle F:G^{\operatorname {ab} }\to H}
f
=
F
∘
φ
{\displaystyle f=F\circ \varphi }
G
ab
{\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}
G
→
G
/
[
G
,
G
]
{\displaystyle G\to G/[G,G]}
アーベル化関数は、 アーベル群のカテゴリから 群のカテゴリへの包含関数の 左随伴です。アーベル化関数 Grp → Ab の存在により、 カテゴリ Abは群のカテゴリの 反射サブカテゴリ になり 、包含関数が左随伴を持つ完全なサブカテゴリとして定義されます。
のもう一つの重要な解釈は、整数係数を持つ の 最初の ホモロジー群 として解釈することです 。
G
ab
{\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}
H
1
(
G
,
Z
)
{\displaystyle H_{1}(G,\mathbb {Z} )}
G
{\displaystyle G}
グループのクラス 群が アーベル 群 となるのは、導来群が自明である場合に限ります: [ G , G ] = { e }。同様に、群がそのアーベル化に等しい場合に限ります。群のアーベル化の定義については上記を参照してください。
G
{\displaystyle G}
群が 完全群 となる のは、導出された群が群自体と等しい場合のみです: [ G , G ] = G 。同様に、群のアーベル化が自明である場合のみです。これはアーベルの「反対」です。
G
{\displaystyle G}
N 内の 任意の n に対してとなる群は 可解群 と呼ばれます。これは、 n = 1の場合であるアーベル群よりも弱い群です 。
G
(
n
)
=
{
e
}
{\displaystyle G^{(n)}=\{e\}}
N 内の 任意の n に対してとなる群は 、解けない群 と呼ばれます 。
G
(
n
)
≠
{
e
}
{\displaystyle G^{(n)}\neq \{e\}}
ある 順序数 （無限大の場合もある）に対して となる群は、 準可換群 と呼ばれます。これは、 α が有限（自然数）
の場合である可解群よりも弱い群です。
G
(
α
)
=
{
e
}
{\displaystyle G^{(\alpha )}=\{e\}}
完璧なグループ 群が それ自身に等しい導来部分群を持つ場合、その群は 完全群 と呼ばれます 。これには、非可換 単純群 や 固定体 の 特殊線型群 が含まれます。
G
{\displaystyle G}
G
(
1
)
=
G
{\displaystyle G^{(1)}=G}
SL
n
(
k
)
{\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}
k
{\displaystyle k}
例 任意のアーベル群 の交換子部分群は 自明で ある 。 体 または 分割環 k 上の 一般線型群 の交換子部分群は 、 kが 2つの元を持つ体 でない 場合、 特殊線型群 に等しい 。 [5]
GL
n
(
k
)
{\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}
SL
n
(
k
)
{\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}
n
≠
2
{\displaystyle n\neq 2}
交代群 A 4 の交換子部分群は クラインの 4 群 である 。 対称群 S n の交換子部分群は 交代群 A n です 。 四元数群 Q = {1, −1, i , − i , j , − j , k , − k } の交換子部分群は[ Q , Q ] = {1, −1}です。
アウトからの地図 導来部分群は特性 なので、 G の任意の自己同型は アーベル化の自己同型を誘導する。アーベル化はアーベルなので、 内部自己同型は 自明に作用し、したがって写像
Out
(
G
)
→
Aut
(
G
ab
)
{\displaystyle \operatorname {Out} (G)\to \operatorname {Aut} (G^{\mbox{ab}})}
参照
注記
^ ダミット＆フット（2004） ^ ラング（2002） ^ スアレス・アルバレス ^ フレイリー（1976年、108ページ） ^ Suprunenko, DA (1976)、 行列群 、数学モノグラフの翻訳、アメリカ数学会 、定理II.9.4
参考文献
外部リンク 
![{\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87495055902ee8caee67b2645802bd3192d68c5)
![{\displaystyle [g,h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f333f57962c0c7a4f1f9caa3c965a48437d8544)
![{\displaystyle gh=hg[g,h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd56cfe6eaeab5a364a1f4a39ad6090b6fee18a2)
![{\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1961e7629b74db72c10639ec6f71fdf70a4c6163)
![{\displaystyle gh\neq hg[g,h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/399fa5e528e2a5968aa7399567aa950cd32bf160)
![{\displaystyle gh=[g,h]hg}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/995a960c8f521e5543abd39a0cbaae4300edc196)
![{\displaystyle [g,h]^{-1}=[h,g],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd81f083f7c30aa1e16c041658e6f5c5b9a5750)
![{\displaystyle [g,h]^{s}=[g^{s},h^{s}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38ed06e15e18efbfe86c7633e9c625b659c00fd)
![{\displaystyle f([g,h])=[f(g),f(h)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d20d1a1e5883690634a6c57fc1ad64b3b194d1)
![{\displaystyle [G,G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ddf7a724a331d1e12ffa6571ba246ebf08f1335)
![{\displaystyle [g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c06725986ed3b3c12d7464b4fd4aa9ca519985)
![{\displaystyle ([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30bd70d0cc28f0dd14964308e01565a77ae93a88)
![{\displaystyle f([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])=[f(g_{1}),f(h_{1})]\cdots [f(g_{n}),f(h_{n})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/395f7030b9ea3e6fb2efa1954cd2bcbd6970fcb8)
![{\displaystyle f([G,G])\subseteq [H,H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda17f00885eb853f5fbe77a4f478d561bd80e42)
![{\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52ef2cb916cce0b357a95ee734be242ea1a3d737)
![{\displaystyle G_{n}:=[G_{n-1},G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b52513a2ec52c658b2630a3209588d71cd440e)
![{\displaystyle [G,G]\subseteq N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c2fbaaa4367d77150cf65adf348b6c8608489aa)
![{\displaystyle G/[G,G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169489000a5a3370a8d0a56d35924011e53b6ab1)
![{\displaystyle G\to G/[G,G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceead0a94124820b8210a7c92498bffcb1f7d165)
