デーンツイスト

数学の一分野である幾何学的位相幾何学において、デーンツイストは、表面（2次元多様体）の特定の種類の自己同相写像です。

cが閉じた有向面S内の単純な閉曲線であるとします。Aをcの管状近傍とします。すると、Aは円と単位区間Iの直積に同相な環状領域になります。

${\displaystyle c\subset A\cong S^{1}\times I.}$

A座標 ( s , t )を与えます。ここでs はの形式の複素数であり、t ∈ [0, 1]です。 ${\displaystyle e^{i\theta}}$${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$

fをSからそれ自身への写像とし、これはAの外側では恒等写像であり、Aの内側では

${\displaystyle f(s,t)=\left(se^{i2\pi t},t\right).}$

このとき、f は曲線c を中心としたデーンツイストになります。

デーンツイストは、 S上の2辺の単純閉曲線cから開始すれば、非向き付け面S上でも定義できます。

辺aと辺bを持つ基本多角形で表されるトーラスを考える。

${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.}$

辺aに沿った線を閉じた曲線 と呼びます。 ${\displaystyle \gamma_{a}}$

図の同相を接着するという選択をすると、曲線の管状の近傍はドーナツの周りにリンクされた帯のように見える。この近傍は、例えば 環状の円環に同相である。${\displaystyle \gamma_{a}}$

${\displaystyle a(0;0,1)=\{z\in \mathbb {C} :0<|z|<1\}}$

複素平面上。

環状体のねじり写像をトーラスに拡張すると、環状体の開円筒への同相写像を介して の近傍に、トーラスの によるデーンねじれが生じます。 ${\displaystyle \left(e^{i\theta },t\right)\mapsto \left(e^{i\left(\theta +2\pi t\right)},t\right)}$${\displaystyle \gamma_{a}}$

${\displaystyle T_{a}:\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T} ^{2}}$

この自己同相はbに沿った閉曲線に作用します。管状近傍では、 bの曲線がaの曲線に一度沿って 移動します。

位相空間間の同相写像は、それらの基本群間の自然な同型写像を誘導する。したがって、自己同型写像​​が存在する。

${\displaystyle {T_{a}}_{\ast }:\pi _{1}\left(\mathbb {T} ^{2}\right)\to \pi _{1}\left(\mathbb {T} ^{2}\right):[x]\mapsto \left[T_{a}(x)\right]}$

ここで、[ x ] はトーラス内の閉曲線xのホモトピー類です。および に注目してください。ここで はb の周りを移動し、次にa を移動する経路です。 ${\displaystyle {T_{a}}_{\ast }([a])=[a]}$${\displaystyle {T_{a}}_{\ast }([b])=[b*a]}$${\displaystyle b*a}$

この形式の写像は、任意の閉じた有向種数-曲面の向きを保存する同相写像の同位類の写像類群を生成するというのが、マックス・デーンの定理である。WBRリコリッシュは後に、より簡単な証明でこの結果を再発見し、さらに明示的な曲線に沿ったデーンのねじれが写像類群を生成することを示した（これは「リコリッシュのねじれ定理」という語呂合わせで呼ばれる）。この数は後にスティーブン・P・ハンフリーズによって （ ）に対してに改良され、これが最小数であることが示された。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle 3g-1}$${\displaystyle 2g+1}$${\displaystyle g>1}$

リコリッシュは、デーンねじれだけでなく「Y同相写像」も必要とする非有向曲面に対しても同様の結果を得ました。

• フェンチェル・ニールセン座標
• ランタン関係

• Andrew J. Casson、Steven A Bleiler、「Automorphisms of Surfaces After Nielsen and Thurston」、Cambridge University Press、1988年。ISBN  0-521-34985-0。
• Stephen P. Humphries、「マッピング クラス グループの生成子」、低次元多様体のトポロジー(第 2 回サセックス会議 Proc. 、Chelwood Gate、1977)、pp. 44–47、数学の講義ノート、722、Springer、ベルリン、1979。MR 0547453
• WBR Lickorish、「有向組み合わせ3次元多様体の表現」Ann. of Math. (2) 76 1962 531—540. MR 0151948
• WBR Lickorish 、「2次元多様体のホモトピー群の生成元の有限集合」、Proc. Cambridge Philos. Soc. 60 (1964)、769–778。MR 0171269