グループのプレゼンテーション

数学において、表現は群を特定する方法の1つです。群Gの表現は、生成子の集合S （群のすべての要素がこれらの生成子のいくつかのべき乗の積として表される）と、それらの生成子間の関係の集合Rで構成されます。したがって、Gには表現があると 言えます。

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle .}$

非公式には、G がSによって関係Rのみに従って生成される「最も自由な群」である場合、 G は上記の表現を持ちます。 正式には、群G がS上の自由群を関係Rによって生成される正規部分群で割った商に同型である場合、群 G は上記の表現を持つと言われます。

簡単な例として、位数nの巡回群は次のように表される。

${\displaystyle \langle a\mid a^{n}=1\rangle ,}$

ここで1は群の単位元である。これは次のようにも書ける。

${\displaystyle \langle a\mid a^{n}\rangle ,}$

これは、等号を含まない項はグループの単位元と等しいとみなされるという慣例のおかげです。このような項は、等号を含む関係と区別するために、 関係子と呼ばれます。

どのグループにもプレゼンテーションがあり、実際にはさまざまなプレゼンテーションがあります。プレゼンテーションは、多くの場合、グループの構造を説明する最も簡潔な方法です。

密接に関連しているが異なる概念として、グループの絶対的な表現があります。

集合S上の自由群とは、各要素が次の形式の有限長積として 一意に記述できる群である。

${\displaystyle s_{1}^{a_{1}}s_{2}^{a_{2}}\cdots s_{n}^{a_{n}}}$

ここで、s _{i は}S の要素であり、隣接するs _iは異なり、a _{i は}ゼロ以外の整数です (ただし、n はゼロの場合があります)。より形式ばらない言い方をすると、グループは生成元とその逆元の単語で構成され、生成元が隣接する逆元の出現で打ち消されることのみが条件となります。

G が任意のグループであり、S がGの生成部分集合である場合、Gのすべての要素も上記の形式になります。ただし、一般に、これらの積はGの要素を一意に記述しません。

たとえば、位数 16 の二面体群D ₈は、位数 8 の回転rと位数 2 の反転fによって生成できます。また、 D ₈の任意の要素は、必ずrとfの積になります。

しかし、例えば、rfr = f ⁻¹、r ⁷ = r ⁻¹などがあり、そのような積はD _8では一意ではありません。このような積の同値性は、次のように恒等式と等式で表すことができます。

rfrf = 1、

r ⁸ = 1、または

f ^{‍ 2} = 1 です。

非公式には、左側のこれらの積を自由群F = ⟨ r , f ⟩の要素と見なし、R = ⟨ rfrf , r ⁸ , f ^{‍ 2} ⟩とすることができます。つまり、R を文字列rfrf、r ⁸、f ^{‍ 2}によって生成される部分群とし、各文字列は D ₈の積として考えた場合も 1 に相当します。

次に、N をRのすべての共役x ⁻¹ Rxによって生成されるFの部分群とすると、定義により、Nのすべての要素はそのような共役の要素の有限積x ₁ ⁻¹ r ₁ x ₁ ... x _m ⁻¹ r _m x _mになります。したがって、Nの各要素は、 D ₈の積として考えた場合、1 に評価されます。したがって、NはFの正規部分群です。したがって、 D _{8 は}商群F / Nと同型です。したがって、 D ₈にはプレゼンテーションがある と言えます。

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8}=1,f^{2}=1,(rf)^{2}=1\rangle .}$

ここで、生成子の集合はS = { r , f  } であり、関係の集合はR = { r ⁸ = 1, f ² = 1, ( rf ) ² = 1}である。Rは省略されて次のように表されること が多い。

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8}=f^​​{2}=(rf)^{2}=1\rangle .}$

さらに短い形式では、等号と等号を省略して、関係子の集合のみを列挙します。これは{ r ⁸ , f ² , ( rf ) ² }です。こうすると、次のようになります。

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8},f^{2},(rf)^{2}\rangle .}$

これら 3 つのプレゼンテーションはすべて同等です。

この記事で使用されている表記法⟨ S | R ⟩ は現在では最も一般的なものですが、以前の著者は同じ形式の異なるバリエーションを使用していました。そのような表記法には次のものがあります。^[要出典]

• ⟨ S | R ⟩
• ( S | R )
• { S ; R }
• ⟨ S ; R ⟩

S を集合とし、 F S を S 上の自由群とする。R_をS上の単語の集合とすると、 Rは自然にの部分集合を与える。 の表示を持つ群を形成するには、 をRの各要素を含む最小の正規部分群で割る。(この部分群はにおけるRの正規閉包Nと呼ばれる。) 群は商群として定義される。${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle =F_{S}/N.}$

Sの元はの生成元と呼ばれ、 Rの元はの関係元と呼ばれます。群Gが に同型である場合、その群G はの表示 を持つと言われます。^[1]${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$

関係子をxとy がS上の語である形で表記するのが一般的です。これは を意味します。これは、 xとyの像が商群で等しいはずであるという直感的な意味を持ちます。したがって、たとえば、関係子のリストのr ^{n は}と同等です。^[1]${\displaystyle x=y}$${\displaystyle y^{-1}x\in R}$${\displaystyle r^{n}=1}$

有限群Gについては、次のように群の乗法表からGの表現を構築することができます。 S をGの集合元、R を という形式のすべての単語とします。ここで は乗法表のエントリです。 ${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle g_{i}g_{j}g_{k}^{-1}}$${\displaystyle g_{i}g_{j}=g_{k}}$

グループ表現の定義は、アルファベット上の単語の同値類の観点から言い換えることもできる。この観点では、2つの単語が等価であるとは、一連の移動によって一方から他方へ移動することが可能であり、各移動が、 S内の何らかのxに対して連続するペアの追加または削除、または関係子の連続するコピーの追加または削除で構成される場合を指す。グループ要素は同値類であり、グループ操作は連結である。^[1]${\displaystyle S\cup S^{-1}}$${\displaystyle xx^{-1}}$${\displaystyle x^{-1}x}$

この見方は、組合せ群論の分野では特に一般的です。

Sが有限で、 Rが有限の場合、表現は有限生成であると言われます。両方が有限の場合、有限表現であると言われます。グループは有限生成（それぞれ有限関連、有限に生成された表現（それぞれ有限に関係している、有限の表現）を持つ場合、そのグループは有限に提示されていると言えます。単一の関係を持つ有限の表現を持つグループは、1関係子グループ。

S がすべての自然数Nまたはその有限部分集合からなる集合Iによってインデックス付けされている場合、 S上の自由群から自然数への単純な 1 対 1 コーディング (またはゲーデル番号付け) f  : F _S → Nを設定するのは簡単で、 f ( w )が与えられたときにwを計算するアルゴリズムやその逆のアルゴリズムを見つけることができます。 f ( U ) が再帰的(それぞれ再帰的に列挙可能) である場合、F _Sの部分集合U を再帰的(それぞれ再帰的に列挙可能)と呼ぶことができます。 Sが上記のようにインデックス付けされ、R が再帰的に列挙可能である場合、表現は再帰的表現であり、対応する群は再帰的に表現されます。 この使用法は奇妙に思えるかもしれませんが、群がRが再帰的に列挙可能な表現を持つ場合、 Rが再帰的な別の表現を持つことを証明することは可能です。

すべての有限生成群は再帰的に提示されるが、有限に提示できない再帰的に提示された群も存在する。しかし、グラハム・ヒグマンの定理によれば、有限生成群が再帰的提示を持つのは、有限に提示された群に埋め込むことができる場合のみである。^[2]このことから、有限生成の再帰的に提示された群は（同型を除いて）可算個しかないと推論できる。ベルンハルト・ノイマンは、同型でない2つの生成群が無数に存在することを示した。したがって、有限生成群の中には再帰的に提示できないものがある。

生成元と関係による群の最も初期の提示の1つは、1856年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって行われたイコシアン計算（イコサヘドロン群の提示）です。^[3] 最初の体系的な研究は、 1880年代初頭にフェリックス・クラインの弟子であるヴァルター・フォン・ダイクによって行われ、組合せ群論の基礎を築きました。^[4]

次の表は、一般的に研究されるグループのプレゼンテーションの例をいくつか示しています。各ケースでは、他にも多くのプレゼンテーションが可能であることに注意してください。記載されているプレゼンテーションは、必ずしも最も効率的なプレゼンテーションであるとは限りません。

有限生成群だが有限提示でない群の例としては、整数群とそれ自身との花輪積 が挙げられます。 ${\displaystyle \mathbf {Z} \wr \mathbf {Z} }$

定理。各グループにプレゼンテーションがあります。

これを確かめるために、群Gが与えられたとき、 G上の自由群F _Gを考えてみましょう。自由群の普遍的性質により、一意の群準同型φ : F _G → Gが存在し、そのGへの制限は恒等写像です。この準同型の核をKとします。するとK はF _Gにおいて正規なので、その正規閉包に等しくなり、⟨ G | K ⟩ = F _G / Kとなります。恒等写像は全射なので、φも全射であり、第一同型定理により、⟨ G | K ⟩ ≅ im( φ ) = Gとなります。この表現は、 GとKの両方が必要以上に大きい 場合、非常に非効率的になる可能性があります。

系。すべての有限群には有限の表現がある。

グループの要素を生成元として、ケイリー表を関係として取ることができます。

群の単語問題の否定解は 、2つの単語u、vが与えられたときに、 uとvが群内の同じ要素を表すかどうかを決定するアルゴリズムが存在しない有限表現 ⟨ S | R ⟩が存在することを述べています。これは1955年にピョートル・ノビコフによって示され^[5] 、 1958年にウィリアム・ブーンが別の証明を得ました^[6]。

Gのプレゼンテーションが⟨ S | R ⟩で、Hのプレゼンテーションが⟨ T | Q ⟩で、SとTが互いに素で あるとする。

• 自由積 G ∗ Hは表現⟨S 、T | R 、 Q⟩を持ち、
• 直積G × Hは⟨S , T | R , Q , [ S , T ]⟩という表現を持ち、ここで[ S , T ]はSのすべての要素がTのすべての要素と可換であることを意味する（交換子を参照）。

有限表現⟨ S | R ⟩の不足は単に| S | − | R |であり、有限に表現された群Gの不足はdef( G ) と表記され、 Gのすべての表現にわたる不足の最大値である。有限群の不足は非正である。有限群Gのシュアー乗法子は −def( G ) 個の生成子によって生成でき、この数が必要な場合、 Gは効率的である。 ^[7]

群の表現は、幾何学的群論の意味での幾何学を決定します。つまり、ケーリー グラフがあり、ケーリー グラフにはメトリック(メトリックという言葉で表現されます) があります。また、結果として生じる 2 つの順序、弱順序とブルハット順序、および対応するハッセ図があります。重要な例として、コクセター群が挙げられます。

さらに、このグラフのいくつかの特性（粗い形状）は本質的であり、つまり生成元の選択に依存しません。

• ニールセン変換
• モジュールのプレゼンテーション
• モノイドの表現
• 集合構築記法
• ティーツェ変換

• Coxeter, HSM ; Moser, WOJ (1980)。離散群の生成元と関係。ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 0-387-09212-9。― この便利な参考書には、すべての小さな有限群、反射群などの表現表が掲載されています。
• ジョンソン、DL (1997)。グループのプレゼンテーション（第2版）。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-58542-2。― シュライアー法、ニールセン法、自由表現、サブグループとHNN拡張、ゴロド・シャファレヴィッチの定理など。
• シムズ、チャールズ C. (1994)。有限提示群による計算(第 1 版)。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-13507-8。― 理論計算機科学、計算数論、計算可換代数などの基礎アルゴリズム。

• ド・コルヌリエ、イヴ。 「グループプレゼンテーション」。マスワールド。
• 小グループとGroupNamesでのプレゼンテーション