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数学において、二項演算の単位元または中立元とは、演算を適用してもすべての要素が変化しない要素のことです。[ 1 ] [ 2 ]例えば、0 は実数の加算の単位元です。この概念は、群や環などの代数構造で使用されます。単位元という用語は、混同の可能性がない場合、しばしばidentityと略されます( 0 の加法単位元や 1 の乗法単位元の場合など) [ 3 ]。ただし、その単位元は、暗黙のうちに関連付けられている二項演算に依存します。
( S , ∗)を二項演算∗を備えた集合Sとする。このとき、 Sの要素eは、 左の恒等式は、 Sのsに対してe∗s=sであり、 s∗e=s がSのすべてのs場合、それは右恒等式と呼ばれる。 [ 4 ] eが左恒等式かつ右恒等式である場合 二面性のあるアイデンティティ、あるいは単にアイデンティティ。 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]
加算に関する恒等式は、加法単位元（しばしば 0 と表記される）と乗法に関する単位元は、乗法単位元（しばしば 1 と表記される）。 [ 3 ]これらは通常の加算や乗算である必要はなく、基礎となる演算はかなり任意である可能性がある。たとえば群の場合、単位元は単に記号で表されることがある。加法単位元と乗法単位元の区別は、環、整域、体など、両方の二項演算をサポートする集合で最もよく使用されます。乗法単位元はしばしば次のように呼ばれます。後者の文脈では単位元（単位元を持つ環）である。 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]これは、環論における単位元（乗法逆元を持つ任意の要素と混同してはならない。単位元は、その定義により、必然的に単位元である。 [ 13 ] [ 14 ]記号e、ドイツ語で「単位」または「統一」を意味するEinheitの最初の文字であるため選ばれた。 [ 15 ]
等式が与えられた例S = { e,f } では、 Sは半群です。これは、 ( S , ∗)が複数の左単位元を持つ可能性があることを示しています。実際、すべての要素が左単位元になり得ます。同様に、複数の右単位元が存在する可能性があります。しかし、右単位元と左単位元の両方が存在する場合は、それらは等しくなければならず、結果として単一の両側単位元になります。
これを確認するには、lが左恒等式でrが右恒等式である場合、l = l ∗ r = rとなることに注意してください。特に、両側恒等式は 1 つしか存在できません。例えばeとfのように 2 つ存在する場合、e ∗ f はeとf の両方に等しくなければなりません。
( S , ∗)には単位元が存在しないことも十分にあり得る。[ 16 ]例えば、乗算演算における偶数の場合などである。[ 3 ]もう 1 つの一般的な例はベクトルの外積であり、単位元が存在しないのは、ゼロでない外積の方向が常に乗算される要素と直交するという事実に関係している。つまり、元のベクトルと同じ方向のゼロでないベクトルを得ることはできない。単位元を持たない構造のもう 1 つの例として、正の自然数の加法半群がある。
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