集合論

集合論は、集合を研究する数理論理学の一分野であり、集合は非公式にはオブジェクトの集まりと表現できます。あらゆる種類のオブジェクトを集合に集めることができますが、数学の一分野としての集合論は、主に数学全体に関連するオブジェクトに関心があります。^{[ 1 ] [ 2 ]}

集合論の近代的研究は、1870年代にドイツの数学者リヒャルト・デデキントとゲオルク・カントールによって始められました。特に、ゲオルク・カントールは集合論の創始者として広く認められています。^{[ 3 ]}この初期段階で研究された非形式化された体系は、素朴集合論と呼ばれています。^{[ 4 ]}素朴集合論におけるパラドックス（例えば、ラッセルのパラドックス^{[ 5 ]} 、カントールのパラドックス^{[ 6 ]}、ブラリ＝フォルティのパラドックス^{[ 7 ]}など）が発見された後、 20世紀初頭に様々な公理系が提案され、その中でもツェルメロ＝フレンケル集合論（選択公理の有無にかかわらず）は、現在でも最もよく知られ、最も研究されています。^{[ 8 ]}

集合論は、数学全体の基礎体系として一般的に用いられており、^{[ 9 ]}特に選択公理を持つツェルメロ・フレンケル集合論の形で用いられています。 ^{[ 10 ]}基礎的な役割に加えて、集合論は無限の数学的理論を発展させるための枠組みも提供しており、^{[ 11 ]}関係代数の理論などコンピュータ科学、^{[ 12 ] [ 13 ]}哲学、^{[ 1 ]}形式意味論、^{[ 14 ]}および進化ダイナミクス^{[ 15 ]}において様々な応用があります。その基礎的な魅力、パラドックス、無限の概念に対するその意味、そしてその多様な応用により、集合論は論理学者や数学哲学者にとって大きな関心の的となっています。^{[ 16 ] [ 4 ]}集合論に関する現代の研究は、実数直線の構造から大きな基数の一貫性の研究まで、非常に幅広いトピックを網羅しています。^{[ 1 ]}

集合論は、対象oと集合Aの間の基本的な二項関係から始まります。o が A の要素 (またはメンバー) である場合、o ∈ Aという表記が使用されます。集合は、コンマで区切られた要素のリスト、または中括弧 { } 内にその要素の特徴的な性質を記述することによって表されます。^{[ 27 ]}集合は対象であるため、メンバーシップ関係は集合同士も関連付けることができ、つまり、集合自体が他の集合のメンバーになることができます。

2 つの集合間の派生的な二項関係は部分集合関係であり、集合包含とも呼ばれます。集合Aのすべての要素が集合Bの要素でもある場合、AはBの部分集合であり、A ⊆ Bと表記されます。たとえば、{1, 2}は{1, 2, 3}の部分集合であり、 {2} も部分集合ですが、{1, 4} は部分集合ではありません。この定義からわかるように、集合はそれ自身の部分集合です。この可能性が不適切である場合、または拒否することが理にかなっている場合には、真部分集合という用語が定義され、さまざまな形で表記されます。${\displaystyle A\subset B}$、${\displaystyle A\subsetneq B}$、 または${\displaystyle A\subsetneqq B}$（ただし、表記法には注意が必要です）${\displaystyle A\subset B}$は、時として同義語として使われる${\displaystyle A\subseteq B}$（つまり、AとBが等しい可能性を許容する）。AがBの真部分集合であるとは、 AがBの部分集合であるが、A がBと等しくない場合に限る。また、1、2、3 は集合{1, 2, 3}の要素であるが、その部分集合ではない。逆に、{1}のような部分集合は、集合{1, 2, 3}の要素ではない。より複雑な関係が存在する場合もある。たとえば、集合{1}は集合{1, {1}}の要素であり、かつ真部分集合でもある。

算術が数に対する二項演算を特徴としているのと同様に、集合論は集合に対する二項演算を特徴としている。^{[ 28 ]}以下はそれらの部分的なリストである。

• 集合AとBの和集合はA ∪ Bと表記され、 AまたはBまたは両方のメンバーであるすべてのオブジェクトの集合です^{。 [ 29 ]}例えば、 {1, 2, 3}と{2, 3, 4}の和集合は{1, 2, 3, 4}です。
• 集合AとBの共通部分( A ∩ Bと表記) は、 AとBの両方に属するすべてのオブジェクトの集合です。 ^{[ 30 ]}例えば、 {1, 2, 3}と{2, 3, 4}の共通部分は集合{2, 3}です。
• UとAの集合差はU ∖ Aと表記され、 Aの要素ではないUのすべての要素の集合です。 ^{[ 31 ]}集合差{1, 2, 3} ∖ {2, 3, 4}は{1}であり、逆に集合差{2, 3, 4} ∖ {1, 2, 3}は{4}です。AがUの部分集合である場合、集合差U ∖ AはUにおけるAの補集合とも呼ばれます文脈からUの選択が明確な場合は、特にU がベン図の研究のように普遍集合である場合、 U ∖ Aの代わりにA ^cという表記が使用されることがあります。 ^{[ 32 ]}
• 集合AとBの対称差は、 A △ BまたはA ⊖ Bと表記され、 AとBのいずれか一方にのみ属するすべてのオブジェクトの集合です(一方の集合には含まれるが、両方には含まれない要素)。たとえば、集合{1, 2, 3}と{2, 3, 4}の場合、対称差集合は{1, 4}です。これは、和集合と積集合の差集合、 ( A ∪ B ) ∖ ( A ∩ B )または( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A )です。
• AとBのデカルト積はA × Bと表記され、その要素はAの要素aとBの要素bであるすべての可能な順序対( a , b )である。例えば、{1, 2}と{red, white}のデカルト積は{(1, red), (1, white), (2, red), (2, white)}である。^{[ 33 ]}

中心的に重要な基本的な集合には、自然数の集合、実数の集合、そして空集合（要素を全く含まない唯一の集合）があります。空集合はヌル集合とも呼ばれますが^{[ 34 ]}、この名称は曖昧で、いくつかの解釈につながる可能性があります。空集合は空の括弧「${\displaystyle \{\}}$「または記号」${\displaystyle \varnothing }$" または "${\displaystyle \emptyset }$「。

集合Aの冪集合は、${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$は、 Aの可能なすべての部分集合をメンバーとする集合です。たとえば、{1, 2}の冪集合は{ {}, {1}, {2}, {1, 2} }です。特に、${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$Aと空集合の両方を含む。

集合が純粋であるとは、そのすべての要素が集合であり、その要素のすべての要素も集合であり、以下同様である場合をいう。例えば、空集合のみを含む集合は、空でない純粋集合である。現代の集合論では、純粋集合のフォン・ノイマン宇宙に注目を限定することが一般的であり、多くの公理的集合論体系は純粋集合のみを公理化するように設計されている。この制限には多くの技術的な利点があり、本質的にすべての数学的概念は純粋集合によってモデル化できるため、一般性はほとんど失われない。フォン・ノイマン宇宙の集合は、その要素、要素の要素などがどの程度深く入れ子になっているかに基づいて、累積的な階層構造に組織化されている。この階層構造内の各集合には、（超限再帰によって）順序数が割り当てられる。${\displaystyle \alpha }$純粋集合のランクとして知られています。${\displaystyle X}$は、その要素のランクよりも厳密に大きい最小の順序数として定義されます。たとえば、空集合にはランク 0 が割り当てられ、空集合のみを含む集合にはランク 1 が割り当てられます。各順序数に対して${\displaystyle \alpha }$セット${\displaystyle V_{\alpha }}$は、ランクが 未満のすべての純粋集合から構成されると定義される。${\displaystyle \alpha }$フォン・ノイマン宇宙全体は次のように表される。 ${\displaystyle V}$。

初等集合論は非公式かつ直感的に学習できるため、小学校でベン図を用いて教えることができる。直感的なアプローチでは、集合は任意の特定の定義条件を満たすすべてのオブジェクトのクラスから構成できると暗黙のうちに仮定している。この仮定はパラドックスを生み出し、その中で最も単純でよく知られているのがラッセルのパラドックスとブラリ＝フォルティのパラドックスである。公理的集合論は、もともと集合論からこのようなパラドックスを取り除くために考案された。^{[注1 ]}

最も広く研究されている公理的集合論の体系は、すべての集合が累積的な階層を形成することを示唆している。^{[ b ]}このような体系には2つの種類があり、その存在論は以下から構成される。

• 集合のみ。これには、最も一般的な公理的集合論である、選択公理を持つツェルメロ＝フレンケル集合論（ ZFC）が含まれます。ZFCの断片には以下が含まれます。
  • ツェルメロ集合論は、置換の公理図式を分離の公理図式に置き換えるものである。
  • 一般集合論、ツェルメロ集合論の小さな断片で、ペアノ公理と有限集合には十分である。
  • クリプキ＝プラテック集合論は、無限、冪集合、選択の公理を省略し、分離と置換の公理図式を弱めている。
• 集合と適切なクラス。これには、集合に関する定理のみに関してはZFCと同じ強さを持つフォン・ノイマン-ベルナイズ-ゲーデル集合論、および ZFC よりも強いモース-ケリー集合論とタルスキ-グロタンディーク集合論が含まれます。

上記のシステムは、集合の要素となり得るが、それ自体は集合ではなく、要素も持たないオブジェクトである「ウレエレメント」を許容するように変更することができる。ツェルメロ集合論は、もともと集合とウレエレメントの両方を含む領域上で定義された。

ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインに関連する、新基礎論のNFU (要素を許容する) とNF (要素を欠く)のシステムは、累積的な階層に基づいているわけではない。NF と NFU は「すべてのものの集合」を含み、それに対してすべての集合は補集合を持つ。これらのシステムでは要素が重要であり、NF は選択公理が成り立たない集合を生成するが、NFU は生成しない。NF の存在論は伝統的な累積的な階層を反映しておらず、健全性に違反しているにもかかわらず、トーマス・フォースターは、NF は集合の反復的な概念を反映していると主張している。^{[ 35 ]}

CST、CZF、IZFなどの構成的集合論の体系は、集合公理を古典論理ではなく直観主義論理に埋め込んでいる。しかし、古典論理を受け入れつつも非標準的なメンバーシップ関係を特徴とする体系もある。これらには、メンバーシップ関係を体現する原子式の値が単純に真または偽ではないラフ集合論やファジー集合論が含まれる。ZFCのブール値モデルは、これに関連する主題である。

ZFCの拡張である内部集合論は、 1977年にエドワード・ネルソンによって提案された。 ^{[ 36 ]}

多くの数学的概念は、集合論的概念のみを用いて正確に定義できます。たとえば、グラフ、多様体、環、ベクトル空間、関係代数といった多様な数学的構造はすべて、さまざまな（公理的）性質を満たす集合として定義できます。同値関係と順序関係は数学において遍在しており、数学的関係の理論は集合論で記述できます。^{[ 37 ] [ 38 ]}

集合論は、数学の多くの分野にとって有望な基礎体系でもある。プリンキピア・マテマティカの第1巻が出版されて以来、集合論の適切に設計された公理系に多くの定義を加え、一階述語論理または二階述語論理を用いることで、ほとんど（あるいはすべて）の数学定理を導出できると主張されてきた。例えば、自然数と実数の性質は集合論の中で導出できる。なぜなら、これらの数体系はそれぞれ、要素を特定の形式の集合として表現することで定義できるからである。^{[ 39 ]}

集合論が数学解析、位相幾何学、抽象代数学、離散数学の基礎であることは、同様に議論の余地のない事実です。数学者は、これらの分野の定理が集合論の関連する定義と公理から導出できることを（原則として）認めています。しかし、集合論からの複雑な数学定理の完全な導出は、形式的に検証されたものはほとんどありません。なぜなら、そのような形式的な導出は、数学者が通常提示する自然言語による証明よりもはるかに長くなることが多いからです。検証プロジェクトの一つであるMetamathには、 ZFC集合論、一階述語論理、命題論理から始まる 12,000 を超える定理の、人間が記述しコンピュータで検証した導出が含まれています。^{[ 40 ]}

集合論は数学における主要な研究分野であり、多くの相互に関連する下位分野が存在する。

集合論の黎明期から、一部の数学者はそれを数学の基礎として用いることに反対してきた。集合論に対する最も一般的な反対意見は、クロネッカーが集合論の初期の頃に表明したもので、数学は計算と緩やかに関連しているという構成主義的な見解から始まる。この見解が認められると、素朴集合論と公理的集合論の両方において無限集合を扱うと、原理的にも計算不可能な方法や対象が数学に導入されることになる。数学の代替基礎としての構成主義の実現可能性は、エレット・ビショップの影響力のある著書『構成的解析の基礎』によって大きく高まった。^{[ 44 ]}

アンリ・ポアンカレが提起した別の反論は、指定と置換の公理図式、および冪集合の公理を用いて集合を定義すると、数学的対象の定義に非述語性、つまり一種の循環性が導入されるというものである。述語的に基礎づけられた数学の範囲は、一般的に受け入れられているツェルメロ＝フレンケル理論の範囲よりは小さいものの、構成的数学の範囲よりははるかに広く、ソロモン・フェファーマンは「科学的に適用可能な分析はすべて（述語的方法を用いて）展開できる」と述べている。^{[ 45 ]}

ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインは、集合論が数学的プラトン主義を暗示しているとして、哲学的に集合論を非難した。^{[ 46 ]}彼は、「集合論は間違っている」と書き、それは架空の記号論の「ナンセンス」の上に成り立っており、「有害な慣用表現」があり、「すべての数」について語ることはナンセンスであると述べた。^{[ 47 ]}ヴィトゲンシュタインは、数学をアルゴリズム的な人間の演繹と同一視した。 ^{[ 48 ]}数学に確固たる基礎が必要であるという考えは、彼にとってナンセンスに思えた。^{[ 49 ]}さらに、人間の努力は必然的に有限であるため、ヴィトゲンシュタインの哲学は、徹底的な構成主義と有限主義への存在論的コミットメントを必要とした。メタ数学的命題（ヴィトゲンシュタインにとっては、無限領域を定量化するあらゆる命題、したがって現代の集合論のほぼすべてを含む）は、数学ではない。^{[ 50 ]}『数学の基礎に関する考察』における重大な誤りの後、ウィトゲンシュタインの見解を採用した現代の哲学者はほとんどいない。ウィトゲンシュタインは、要約を読んだだけでゲーデルの不完全性定理を反駁しようとした。批評家のクライゼル、ベルネイズ、ダメット、グッドスタインが指摘したように、彼の批判の多くは論文全体には当てはまらなかった。クリスピン・ライトなどの哲学者がウィトゲンシュタインの議論を再評価し始めたのはごく最近のことである。^{[ 51 ]}

圏論者は、従来の公理的集合論の代替としてトポス理論を提案した。トポス理論は、構成主義、有限集合論、計算可能集合論など、その理論のさまざまな代替を解釈することができる。^{[ 52 ] [ 53 ]}また、トポスは、強制と選択の ZF からの独立性の議論のための自然な設定を提供するとともに、無点位相とストーン空間の枠組みを提供する。^{[ 54 ]}

活発な研究分野の一つに、一価基礎論とそれに関連するホモトピー型理論がある。ホモトピー型理論では、集合はホモトピー 0 型とみなすことができ、集合の普遍的な性質は、より高次の帰納型の帰納的性質と再帰的性質から生じる。選択公理や排中律などの原理は、集合論における古典的な定式化に対応する形で、あるいは型理論に特有のさまざまな形で定式化することができる。これらの原理の中には、他の原理の結果であることが証明できるものもある。これらの公理的原理の多様な定式化により、さまざまな数学的結果を導出するために必要な定式化を詳細に分析することができる。^{[ 55 ] [ 56 ]}

集合論が現代数学の基礎として人気を集めるにつれ、数学教育の早い段階で素朴な集合論の基礎を導入するという考え方が支持されるようになった。

1960年代の米国では、ニューマス実験が小学校の生徒に基本的な集合論をはじめとする抽象的な概念を教えることを目的としていましたが、多くの批判に遭いました。 ^{[ 57 ]}ヨーロッパの学校の数学カリキュラムはこの傾向に倣い、現在ではすべての学年でさまざまなレベルでこの科目が含まれています。ベン図は、小学校の生徒に基本的な集合論的関係を説明するために広く使用されています（ジョン・ベンがもともと用語論理における推論の妥当性を評価する手順の一部として考案したものではありますが）。

集合論は、論理演算子（NOT、AND、OR）や、集合の意味論的または規則的な記述（厳密には内包的定義）^{[ 58 ]} （例：「 Aで始まる月」）を学生に紹介するために使用され、ブール論理はさまざまなプログラミング言語で使用されているため、コンピュータプログラミングを学ぶ際に役立つ可能性があります。同様に、集合や、多重集合やリストなどの他のコレクションのようなオブジェクトは、コンピュータサイエンスやプログラミングで一般的なデータ型です。^{[ 59 ]}

それに加えて、特定の集合は数学教育でよく使用されます（例えば、集合など）。${\displaystyle \mathbb {N} }$自然数の、${\displaystyle \mathbb {Z} }$整数の、${\displaystyle \mathbb {R} }$（実数など）これらは、数学関数をある集合（定義域）から別の集合（値域）への関係として定義する際によく使用されます。 ^{[ 60 ]}

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• クラス（集合論）
• 集合の圏の初等理論
• 集合論の用語集
• 集合論のトピック一覧
• 関係モデル – 集合論から着想を得ている
• 構造集合論
• ベン図

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